- •Тема IV. Производная и её применение Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица производных
- •Геометрический, физический и экономический смысл производной
- •Полный дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Применение производной для нахождения пределов
- •Применение производной для нахождения промежутков монотонности функции
- •Применение производной для нахождения экстремумов функции
- •Применение производной для нахождения точек перегиба
- •Полное исследование функции и построение её графика
Тема IV. Производная и её применение Определение производной. Правила дифференцирования. Таблица производных
Пусть функция определена на промежутке X. Выберем точку и зададим приращение аргумента (независимой переменной) . Тогда приращение функции составит .
Определение 4.1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю (при условии, что указанный предел существует). Обозначается
.
Определение 4.2. Если функция имеет в точке конечную производную, то она называется дифференцируемой в данной точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка Х, называется дифференцируемой на данном промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Продифференцируем некоторые функции, пользуясь определением производной.
Пример 4.1. Пусть - некоторая постоянная (константа), тогда , то есть .
Пример 4.2. Пусть , тогда
= , то есть дифференцируема на и .
!Самостоятельно найти производные для функций !
Пример 4.3. Пусть , тогда = = = (первый предел имеет место как «замечательный», второй – в силу непрерывности функции ). Таким образом, дифференцируемая на и .
!Самостоятельно найти производную для функции !
Пример 4.4. Пусть , тогда =
= = = = в силу непрерывности логарифма = = в силу второго «замечательного» предела = , или, в более удобной записи, .
Следствие. - доказать самостоятельно.
Теорема 4.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке , то она является непрерывной в данной точке. Так, например, функция не является дифференцируемой в точках , поскольку она является разрывной в этих точках.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Так, например, функция непрерывна в точке , однако не является дифференцируемой в данной точке. Покажем это
предел слева не равен пределу справа, следовательно, у функции не существует производной в точке .
Теорема 4.2 (арифметические свойства производной). Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда функции , и также дифференцируемы в точке и их производные вычисляются по формулам
, (1)
, (2)
. (3)
Доказательство. (1) =
= ;
(2) = =
= =
= = .
Заметим, что предельное соотношение имеет место в силу дифференцируемости, а значит и непрерывности, функции в точке .
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла (доказать самостоятельно).
Пример 4.5. Пусть , тогда получим
.
!Самостоятельно найти производную для функции !
Теорема 4.3 (производная сложной функции). Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке и .
Другими словами, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции соответствующего аргумента на производную внутренней функции. Привести пример функций и .
Пример 4.6. Пусть , тогда или . Продифференцировав обе части, получим или , то есть на области определения.
Теорема 4.4 (производная обратной функции). Если функция имеет в точке отличную от нуля производную , то обратная функция также имеет производную в точке , вычисляемую по формуле .
Пример 4.7. Поскольку функция является обратной к функции , то , .
Замечание. Аналогично выводятся формулы для остальных обратных тригонометрических функций.
Пример 4.8. Поскольку функция является обратной к функции , то .
Следствие. .
Таблица производных
Пример 4.9. Пользуясь таблицей производных, правилами дифференцирования и теоремой о производной сложной функции, найти производную следующей функции
.