![](/user_photo/_userpic.png)
- •1.1. Понятие определителя
- •Пусть дана матрица
- •1.2. Основные свойства определителя
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.1. Определения
- •2.2. Решение систем линейных уравнений
- •2.3. Однородные системы
- •2.4. Действия над матрицами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Вычисление ранга матрицы
- •Матрица (3.1) имеет ступенчатый вид, где embed Equation.3 , * - некоторые числа.
- •3.2. Вычисление обратной матрицы
- •3.3. Матричная форма системы уравнений.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5.1. Понятие вектора
- •5.2. Линейные операции над векторами
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6.1. Проекции вектора на ось. Свойства проекций
- •6.2. Декартова прямоугольная система координат
- •6.3. Действия над векторами в координатах.
- •6.4. Координаты вектора
- •6.5. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.
- •6.6. Деление отрезка в данном отношении.
- •6.7. Разложение вектора по базису
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Пример 8.1. Упростить выражение
- •Находим площадь треугольника
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •10.1. Общее уравнение плоскости.
- •10.2. Нормальное уравнение плоскости.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11.1. Уравнение плоскости в отрезках.
- •11.2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
- •11.3. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •12.1. Общее и канонические уравнения прямой в пространстве.
- •12.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
- •12.3. Параметрические уравнения прямой.
- •12.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13.1. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •13.2. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •13.3. Условие принадлежности прямой к плоскости. Пересечение прямой и плоскости
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.1. Общее уравнение прямой.
- •14.2. Каноническое уравнение прямой.
- •14.3. Параметрические уравнения прямой.
- •14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •14.5. Угол между двумя прямыми.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2. Эллипс.
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для самостоятельного решения
- •16 1. Гипербола.
- •16.2. Парабола.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Типовые расчеты
- •Правила выполнения и оформления типовых расчетов
- •1 . Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений
- •2. Векторная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •4. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.15. Через точку м (2,-1) провести прямую, параллельную прямой embed Equation.3
- •5. Кривые второго порядка
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
14.2. Каноническое уравнение прямой.
Введем
понятие направляющего
вектора прямой,
это любой ненулевой вектор, параллельный
данной прямой EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
.
Очевидно, что точка EMBED Equation.3
(
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
)
лежит на этой прямой тогда и только
тогда, когда векторы EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
и
EMBED Equation.3
=
EMBED Equation.3
коллинеарны, т. е., когда координаты этих
векторов пропорциональны:
EMBED
Equation.3
(14.4)
– каноническое уравнение прямой.
(Отношение
следует понимать как EMBED Equation.3
,
т. е. если l = 0, а m ¹ 0, то х – х1 = 0).
Отсюда уравнение прямой, проходящей через две данные точки EMBED Equation.3 (х1, у1), EMBED Equation.3 (х2,у2):
EMBED
Equation.3
(14.5)
Пример 14.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(—1; 3) и N(2; 5).
. Решение.
В уравнении
EMBED Equation.3
берем
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
,
EMBED Equation.3
.
Получаем
EMBED Equation.3
или
EMBED Equation.3
. Итак, искомое уравнение имеет вид
2х-3у+11=0.
Пример
14.3. Составить
каноническое уравнение медианы АЕ
треугольника,
вершинами которого являются точки
EMBED Equation.3
Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.9), найдем координаты точки Е.
EMBED
Equation.3
EMBED Equation.3
Зная
координаты точки EMBED Equation.3
и
координаты вершины EMBED Equation.3
,
составим каноническое уравнение прямой,
проходящей через две точки
EMBED
Equation.3
.
Тогда EMBED Equation.3
или EMBED Equation.3
-
каноническое уравнение медианы АЕ.
Пример
14.4. Даны
вершины
треугольника
: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Составить
уравнение биссектрисы угла А.
Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла
треугольника
следует, что EMBED Equation.3
.Но
EMBED Equation.3
,
EMBED
Equation.3
Следовательно,
EMBED Equation.3
Так
как известно отношение, в котором точка
D
делит отрезок
ВС,
то координаты
точки D
определятся по формулам EMBED Equation.3
,
или EMBED Equation.3
,
т.е. EMBED Equation.3
.
Задача сводится к составлению уравнения
прямой, проходящей через точки А
и D:
EMBED
Equation.3
,
т.е. EMBED Equation.3
14.3. Параметрические уравнения прямой.
Примем за параметр EMBED Equation.3 величину EMBED Equation.3 = t, тогда область определения t: -¥ < t < ¥. Мы получим х – х1 = lt; у – у1 = mt и параметрическое уравнение прямой
х
= EMBED Equation.3
у = EMBED Equation.3
(14.6)
14.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Тангенс
угла наклона прямой к оси EMBED Equation.3
назовем угловым
коэффициентом
этой прямой: EMBED Equation.3
.
Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1, у1) и имеющей заданный угловой коэффициент k, запишется в виде : у – у1 = k(х – х1) (5.7)
Если обозначить постоянную у1 – kx1 = b, то (5.7) примет вид
у = kx + b (14.8)
Пример
14.5. Составить
уравнение прямой, отсекающей на оси
ординат отрезок b=
- 3 и образующей
с положительным направлением оси абсцисс
угол α
=
EMBED Equation.3
.
Решение.
Находим
угловой коэффициент:
EMBED Equation.3
.
Воспользовавшись
уравнением прямой с угловым коэффициентом,
получаем
EMBED Equation.3
;
освобождаясь от знаменателя и перенося
все члены в левую сторону, получаем
общее уравнение прямой
EMBED Equation.3
.