![](/user_photo/_userpic.png)
12
.docIV. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 10. Основы дифференцирования функции двух переменных
Частная производная
от функции
по переменной x
– это предел
.
Частная производная от функции по переменной y – это предел
.
Соответствующие
обозначения:
и
,
или же
и
.
Производная – это скорость изменения функции при малом изменении переменной x, когда переменная y постоянна. Очевидно, – новая функция.
При поиске
считаем, что y
– это число, выраженное буквой (параметр).
Тогда получаем функцию одной переменной
,
а производную от неё находим по правилам
дифференцирования функции одной
переменной.
Так же
– это скорость изменения функции при
малом изменении y
и постоянном x,
а при поиске
составляем функцию
и дифференцируем её как функцию одной
переменной.
Пример 1.
Частные производные от функции
:
;
.
Пример 2.
Найдём частные производные от функции
:
;
.
В 1-м случае вынесли
постоянный множитель
,
не зависящий от x,
а во 2-м случае – множитель
,
не зависящий от y.
Пример 3.
Для функции
найдём
;
.
Полный дифференциал
показывает, как примерно
изменится функция, если увеличить x
на величину
и одновременно
y
– на величину
(если
или
,
то речь об уменьшении x
или y).
Пример 4.
Найдём полный дифференциал функции
в общем виде и в точке
:
а)
– при
получается производная степенной
функции;
б)
– при
получается
производная показательной функции.
Таким образом, в
общем виде
,
или, если вынести общий множитель,
.
Чтобы найти полный
дифференциал в точке, подставив её
координаты
и
,
тогда
.
Смысл
результата.
Пусть надо найти, например, значение
функции
в точке
,
или, что то же самое, найти величину
.
Если взять точку
,
то
.
При переходе в точку N
изменение аргументов составило
и
(разность старых и новых координат).
Полный дифференциал в точке M (не в N!)
равен приращению функции при переходе из точки в .
Поэтому
.
Более точно,
.
Пример 5. Найдём для нескольких функций полные дифференциалы в общем виде и в конкретной точке M:
а)
пусть
;
,
тогда
.
Дифференциал в общем виде
;
в точке M будет
.
б) пусть
даны
и
;
тогда
.
Дифференциал в общем виде:
;
в точке:
;
в)
если даны
и
,
то
;
.
Упростим числители:
;
.
В полном дифференциале вынесем общий множитель:
,
подставим координаты точки:
,
или
.
Так, чтобы найти
,
считаем
,
затем
и
,
после чего
и соответственно
.
Пример 6.
При помощи полного дифференциала найдём
значение функции
при
(угол выражен в радианах).
Подберём точку
как можно ближе к
,
чтобы в ней легко вычислялось значение
.
Это точка
:
.
Частные производные в общем виде:
,
,
а в точке
будет
,
и
.
Значит, около
точки
функция меняется примерно так же, как
меняется переменная x.
В нашем случае
.
Новое значение
функции
.
Более точное
значение
почти совпадает с приближённым. Отличие
вызвано тем, что
,
а не 1;
Ответ:
.
Пример 7.
При помощи полного дифференциала найдём
.
Представим это
число как значение функции
в точке
.
При этом
и
,
а для таких аргументов функцию
легко посчитать:
.
Итак,
,
,
,
.
Тогда
при
и
.
Для частные производные
;
.
В точке M
и
,
тогда
(функция растёт в 2 раза быстрее, чем 2-й аргумент).
Итак,
.
Ответ:
(более точное значение равно
).
ЧП1. Найдите частные производные для функций
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
; г)
;
4) а)
; б)
;
в)
; г)
;
5) а)
; б)
;
в)
; г)
;
6)
;
7)
.
ЧП2. Найдите полные дифференциалы функций в указанной точке:
1) а)
; б)
;
в)
; г)
;
2) а)
; б)
;
в)
; г)
;
3) а)
; б)
;
в)
г)
.
ЧП3. Найдите при помощи полного дифференциала приближённые значения
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
Экстремум функции двух переменных
Точка M
называется точкой минимума функции
,
если можно указать открытую область D
(часть плоскости xOy),
в которой значение
– наименьшее из всех. Более строго, M
– точка минимума, если существует D,
что
а)
(точка входит в эту область и не принадлежит
её границе);
б)
(в любой другой точке этой же области
значение функции меньше, чем в интересующей
нас точке).
При замене на
условие
получим определение точки максимума.
Например,
– точка минимума функции
,
поскольку в ней
,
а в любой другой точке
.
Схема поиска точек экстремума для функции
1) Найдём
и
,
затем – точки
,
где обе производные равны 0;
2) найдём 2-е
производные
,
т.е. соответственно
;
3) координаты точки
подставим во 2-е производные. Получим
числа
;
4) если
,
в точке
экстремума нет. Если
,
то смотрим, каков знак A:
если
,
то
– точка минимума,
если же
,
то
– точка максимума;
5) если в
оказалось, что
,
необходимы другие методы решения,
выходящие за рамки пособия (разложение
в ряд Тейлора);
6) таким же образом 3-й, 4-й и 5-й шаги выполняем для остальных точек.
Пример 8.
Найдём экстремумы функции
.
1)
решаем систему
(уравнения решены независимо, и подходят все сочетания координат);
2) находим 2-е производные
;
;
;
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Проверяем точку
,
подставив
и
:
3)
;
;
;
4)
,
экстремум в
есть.
Поскольку
,
то данный экстремум – это минимум. Можно
найти его значение
.
Ответ: минимум при и , равный –50.
Пример 9.
Исследуем на экстремум функцию
.
1) Находим
решаем систему
Здесь
.
У 2-го уравнения 3 корня: –1, 0 и 1, но координаты зависимы:
если
,
то
,
если
,
то
,
если
,
то
.
Получаем 3 точки:
;
2) берём 2-е производные
;
;
;
проверяем точку :
3)
;
;
;
4)
,
в
есть экстремум, а поскольку
,
то этот экстремум – минимум. Его значение
;
проверяем точку :
3)
;
;
;
4)
,
экстремума в
нет.
Легко видеть, что
для точки
результаты те же, что и для
.
Ответ:
минимум, равный –2, при
и
,
а также при
и
.
Замечание 1.
Если в записи функции поменять все
знаки, точки минимума станут точками
максимума, и наоборот. При этом координаты
точек не изменятся. Так, из примера 9
следует, что для
получим максимум, равный 2, при
и
,
а также при
и
.
Если же к функции
добавить (или отнять) любое число,
изменится лишь значение экстремума, но
не его тип. Так, у функции
окажется максимум при
и
,
а также при
и
,
равный 2+50=52.
ЧП4.
Найдите точку экстремума функции
при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции в этой точке
и определите тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
ЧП5.
Найдите точку экстремума функции
при указанных параметрах a,
b.
Найдите значение функции, определите
тип экстремума:
а) a = 2; b = 3; б) a = 3; b = 2; в) a = 2; b = 5; г) a = 5; b = 4;
д) a = 6; b = 1; е) a = 1; b = 2; ж) a = 0; b = 4; з) a = 3; b = 0.
Замечание 2. Функции двух переменных ведут себя сложнее, чем функции одной переменной. Так, при решении задач на экстремум:
а) даже у непрерывных функций могут быть несколько точек максимума и ни одной точки минимума (или наоборот);
б) все стационарные точки могут оказаться седловыми точками, из которых функция растёт при изменении x и убывает при изменении y (или наоборот). Тем самым у функции не окажется ни максимума, ни минимума.