![](/user_photo/_userpic.png)
- •Содержание
- •Если события А, В, С совместны, то
- •Формула полной вероятности имеет вид
- •ТЕМА 3. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
- •Пусть С – постоянная величина. Тогда
- •Для вычисления дисперсии используется формула
- •Дисперсия обладает свойствами
- •Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то
- •Плотность нормального распределения имеет вид
- •Дисперсия нормального распределения
- •Правило трех сигм записывается в виде равенства
- •1. Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.
- •В предельной форме утверждения теоремы Бернулли имеют вид
- •На практике для вычисления дисперсии применяется формула
- •Легко установить, что
- •Вычислим размах товарооборота по формуле (9.14). Получим, что
- •ТЕМА 10. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
- •ТЕМА 11. КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ
- •Непосредственно из этого определения следует, что
- •Найденные из систем (11.16) и (11.17) параметры подставляют, соответственно, в (11.14) и (11.15). В итоге получим искомое теоретическое уравнение регрессии Y на Х, предполагаемая кривая которого выравнивает эмпирическую кривую регрессии Y на Х.
- •Уравнение (11.11) очевидным образом преобразуется к виду
- •ТЕМА 12. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ37x1.jpg)
39
ТЕМА 5. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.
Л и т е р а т у р а
[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством
n |
|
|
М(Х) = |
xi pi |
(5.1) |
i |
1 |
|
и в случае счетного числа значений – равенством |
|
|
М(Х) = |
xi pi , |
(5.2) |
i |
1 |
|
при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой
М(Х) = |
b ( |
) x f (x) dx. |
(5.3) |
|
a ( |
) |
|
Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.
Пусть С – постоянная величина. Тогда
М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ38x1.jpg)
40
Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных
величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: |
|
|||
|
М(Х Y) = М(Х) М(Y). |
|
(5.5) |
|
Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых. |
||||
Если Х и Y независимы, то |
|
|
|
|
|
М(ХY) = М(Х) М(Y). |
|
(5.6) |
|
Математическое |
ожидание |
произведения |
нескольких |
взаимно |
независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Случайная величина Х-М(Х) называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
М[X-М(Х)] = 0. |
(5.7) |
Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее
центра (математического ожидания): |
|
|
|
|
|
Д(Х) = М[Х-М(Х)]2. |
(5.8) |
||
Для вычисления дисперсии используется формула |
|
|||
|
Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2. |
(5.9) |
||
Дисперсия обладает свойствами |
|
|
|
|
|
Д(С) = 0, Д(СХ)=С2Д(Х). |
(5.10) |
||
Если Х и Y независимы, то |
|
|
|
|
|
Д(Х Y) = Д(Х) + Д(Y). |
(5.11) |
||
Среднее |
квадратическое отклонение |
(Х) случайной |
величины Х |
|
определяется равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X) = |
Д ( Х ) . |
(5.12) |
|
Число |
k , определяемое равенством |
|
|
|
|
k = М[(X-C)k], |
(5.13) |
||
называется моментом k-го порядка случайной величины Х. |
Если С=0, то |
момент называется начальным. Само математическое ожидание есть начальный момент первого порядка. Если С=М(Х), то момент называется центральным. Легко видеть, что центральный момент второго порядка есть не что иное, как дисперсия.
Коэффициентом корреляции r(Х, Y) между случайными величинами Х
и Y называется число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
r(Х, Y) = |
M ( X |
M ( X )) (Y |
M (Y )) |
. |
|
(5.14) |
||||
|
|
|
|
( X ) |
(Y ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если Х |
и Y нормировать, |
т.е. |
ввести величины Х1= |
X |
M ( X ) |
, |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( X ) |
|
Y1= |
Y M (Y ) |
, |
то r(Х, Y)=М(Х1Y1). Если Х и Y независимы, то очевидно, |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
(Y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
что r(Х, Y)=0. Можно доказать, что |
r( X ,Y ) |
|
1. |
|
|
|
|
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ39x1.jpg)
41
Часто приходится находить закон распределения случайной величины Y=y(Х) при известном законе распределения Х. Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения хi с вероятностями рi, полагают, что Y=y(Х) принимает значения yi=y(xi) с теми же вероятностями рi. При этом, если некоторым хi будут соответствовать равные между собой значения yi, то в ряде распределения случайной величины Y эти yi записываются только один раз с вероятностью, равной сумме соответствующих вероятностей.
Пусть Х и Y – дискретные случайные величины, при этом Х принимает значения хi с вероятностями Р(Х=хi), а Y – значения yj с вероятностями Р(Y=yj). Тогда их сумма Х+Y, разность Х-Y, произведение XY соответственно принимают всевозможные значения хi + yj, хi – yj , хi yj с вероятностями рij, определяемыми формулой
рij = Р(Х=хi) |
PX x |
(Y=yj), |
(5.15) |
|
|
i |
|
а для независимых случайных величин – формулой |
|
||
рij = Р(Х=хi) |
Р(Y=yj). |
(5.16) |
|
При этом, если при некоторых i и j величины хi + yj, хi – yj , хi yj |
примут |
равные значения, то соответствующая вероятность есть сумма вероятностей по этим индексам i, j.
Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч
Задача 1. Урожайность пшеницы в некотором районе определяется
рядом распределения |
|
|
|
|
|
Х |
27 |
32 |
40 |
|
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
где Х – урожайность в ц/га. Найти математическое ожидание урожайности, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение. Так как данная случайная величина дискретна, то согласно формуле (5.1) получим:
М(Х) = 27 0,3 + 32 0,5 + 40 0,2 = 32,1.
Таким образом, математическое ожидание урожайности пшеницы в этом районе составило 32,1 ц/га. Дисперсию найдем по формуле (5.9). М(Х) найдено, для нахождения М(Х2) запишем закон распределения Х2:
|
Х2 |
|
729 |
|
1024 |
|
1600 |
|
|
|
Р |
|
0,3 |
|
0,5 |
|
0,2 |
|
|
Тогда М(Х2) = 729 03 + 1 024 0,5 |
+ 1 600 0,2 = 1 050,7. Следовательно, |
||||||||
Д(Х)=1 050,7- (32,1)2 = 20,29. Среднее квадратическое отклонение |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
находится по формуле (5.12): |
(Х) = 20,29 |
4,504. |
Задача 2. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая может принимать только два значения: х1 с известной
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ40x1.jpg)
42
вероятностью р1=0,4 и х2, при этом х1<х2. Известны также математическое ожидание и дисперсия: М(Х)=3,2; Д(Х)=0,96.
Решение. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
Х х1 х2
Р0,4 0,6
Значения х1 и х2 подлежат определению. По определению математического ожидания М(Х) =х1 0,4+х2 0,6, а по условию задачи М(Х)=3,2. Следовательно, 0,4х1+0,6х2=3,2 или 2х1+3х2=16. По условию Д(Х)=0,96. Поэтому, применяя формулу (5.9), получим: х12 0,4+х22 0,6-(3,2)2=0,96 или 2х12+3х22=56. Значения х1 и х2 найдем как решение системы уравнений
2x1 |
|
3x2 |
|
16, |
|
||
2x |
2 |
|
3x 2 |
56. |
|
||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
Выражая из первого уравнения x1 |
|
16 |
3x2 |
и подставляя это значение во |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
второе уравнение, получим после упрощения уравнение 5х22 – 32х2+48=0. Корнями этого квадратного уравнения будут числа х2=4 и х2=2,4. Для х2=4
находим х1= |
1 |
(16-3 4)=2. Для х2=2,4 находим х1=4. По условию задачи |
|
2 |
|||
|
|
х1<х2, поэтому остается принять, что х1=2, х2=4. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
Х |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,4 |
|
0,6 |
|
|
|
|
||
|
Задача |
3. |
Независимые |
случайные величины Х и Y заданы |
||||||||||||
следующими законами распределения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Х |
|
1 |
2 |
|
5 |
|
|
|
Y |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
||
Р |
|
0,15 |
0,55 |
|
0,3 |
|
|
|
P |
|
0,1 |
0,35 |
0,15 |
0,4 |
Составить закон распределения случайной величины Z=Х-Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии разности случайных величин.
Решение. Для составления закона распределения разности случайных величин найдем все возможные значения величины Z=X-Y, для чего от каждого значения величины Х вычтем каждое значение величины Y. Вероятность каждого из полученных значений определяется как произведение вероятностей слагаемых (см. формулу (5.16)). Например,
Р(Z=1-0)=Р(Z=1)=Р(Х=1) Р(Y=0)=0,15 0,1=0,015. В результате получим
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ41x1.jpg)
43
Одинаковые значения величины Z объединяем, складывая их вероятности. Тогда закон распределения Z запишется так:
Z |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0,06 |
0,22 |
0,0 225 |
0,0 825 |
0,1 725 |
0,1 925 |
0,06 |
0,055 |
0,105 |
0,03 |
По формуле (5.1) найдем М(Х), М(Y), М(Z): |
|
|
|
|
||||||
М(Х) = 1 0,15+2 0,55+5 0,3=2,75, |
|
|
|
|
|
М(Y) = 0 0,1+2 0,35+4 0,15+6 0,4=3,7, М(Z) = -5 0,06+(-4) 0,22+…+ 5 0,03 = -0,95.
Отсюда М(Х)-М(Y) = -0,95. Таким образом, для разности случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.5) математического ожидания:
М(Х-Y) = М(Х) - М(Y).
Дисперсии случайных величин Х, Y, Z найдем по формуле (5.9). Для этого
запишем законы распределения Х2, Y2, Z2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Х2 |
1 |
|
4 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
16 |
36 |
||||||
Р |
0,15 |
|
0,55 |
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
0,1 |
|
|
0,35 |
|
0,15 |
0,15 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Z2 |
25 |
|
16 |
|
9 |
|
4 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
4 |
|
|
9 |
|
25 |
|||||||||||
P |
0,06 |
|
0,22 |
|
0,0 225 |
|
0,0 825 |
|
0,1 725 |
|
0,1 925 |
|
0,06 |
|
0,055 |
|
0,105 |
|
0,03 |
||||||||||||
Таблицу для Z2 можно переписать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Z2 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
16 |
|
25 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
P |
|
0,1 925 |
|
0,2 325 |
|
0,1 375 |
|
0,1 275 |
|
0,22 |
|
0,09 |
|
|
|
|
Тогда
М(Х2) = 1 0,15+4 0,55+25 0,3 = 9,85, Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2 = 9,85 – 7,5 625 = 2,2 875,
М(Y2) = 0,1 0+4 0,35+16 0,15+36 0,4 = 18,2,
Д(Y) = М(Y2) – [М(Y)]2 = 18,2 – 13,69 = 4,51,
М(Z2) = 25 0,09+16 0,22+…+0 0,1925 = 7,7,
Д(Z) = М(Z2) – [М(Z)]2 = 7,7 – 0,9 025 = 6,7 975.
Отсюда Д(Х) + Д(Y) = 6,7975. Совпадение значений Д(Х) + Д(Y) и Д(Z) иллюстрирует выполнение свойства (5.11) дисперсии разности двух случайных величин: Д(Х-Y) = Д(Х) + Д(Y).
Задача 4. Две независимые случайные величины заданы следующими
законами распределения: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Х |
1 |
3 |
|
4 |
|
Y |
0 |
2 |
4 |
|
Р |
0,3 |
0,5 |
|
0,2 |
|
P |
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Составить закон распределения произведения этих случайных величин. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ42x1.jpg)
44
Решение. Для составления закона распределения случайных величин найдем произведения каждого значения случайной величины Х на каждое значение величины Y. Вероятности полученных значений определяют как произведения вероятностей сомножителей. Тогда имеем
Z=Х Y |
1 0 |
1 2 |
1 4 |
3 0 |
3 2 |
3 4 |
4 0 |
4 2 |
4 4 |
P |
0,3 0,1 |
0,3 0,6 |
0,3 0,3 |
0,5 0,1 |
0,5 0,6 |
0,5 0,3 |
0,2 0,1 |
0,2 0,6 |
0,2 0,3 |
Учитывая, что значение Z=0 получается в результате нескольких комбинаций (1 0; 3 0; 4 0), эту таблицу можно упростить. После упрощений получим следующий ряд распределения XY:
Z=Х Y |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
12 |
16 |
P |
0,1 |
0,18 |
0,09 |
0,3 |
0,12 |
0,15 |
0,06 |
По формуле (5.1) определим М(Х), М(Y), М(Z):
М(Х) = 1 0,3+3 0,5+4 0,2 = 0,3+1,5+0,8 = 2,6; М(Y) = 0 0,1+2 0,6+4 0,3 = 1,2+1,2 = 2,4;
М(Z) = 0 0,1+2 0,18+4 0,09+6 0,3+8 0,12+12 0,15+16 0,06 = 6,24.
Следовательно, М(Х) М(Y) = 2,6 2,4 = 6,24 = М(Z). Таким образом, для случайных величин Х и Y выполняется свойство (5.6) математического ожидания.
Задача 5. Независимая случайная величина Х имеет следующий закон распределения:
|
|
|
|
|
Х |
|
-1 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Р |
|
0,25 |
|
0,5 |
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составить закон распределения случайных величин Y=X2 |
и |
Z=X X и |
||||||||||||||||||
убедиться, что Y и Z – различные случайные величины, т.е. X2 |
X X. |
|||||||||||||||||||
|
Решение. Закон распределения случайной величины Y=X2 может быть |
|||||||||||||||||||
записан в виде следующей таблицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Y=X2 |
1 |
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Р |
|
|
0,25 |
0,5 |
|
|
0,25 |
|
|
|
|
|
|
|||
Закон распределения случайной величины Z=Х Х находится как закон |
||||||||||||||||||||
распределения произведения случайных величин. Имеем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Z=Х Х |
(-1) (-1 |
(-1) 0 |
(-1) 2 |
|
0 (-1) |
0 0 |
|
0 2 |
|
2 (-1) |
2 0 |
2 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0,25 0,25 |
0,25 0,5 |
0,25 0,25 |
|
0,5 0,25 |
0,5 0,5 |
|
0,5 0,25 |
|
0,25 0,25 |
0,25 0,5 |
0,25 0,25 |
|
После упрощений получим следующий закон распределения величины
Z=Х Х:
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ43x1.jpg)
45
Z |
-2 |
0 |
1 |
4 |
P |
0,125 |
0,75 |
0,0 625 |
0,0 625 |
Получили, что случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 имеют разные законы распределения. Следовательно, случайные величины Z=Х Х и Y=Х2 различные.
Задача 6. |
Непрерывная |
случайная |
величина задана функцией |
|||
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при х |
0, |
|
|
F(х) = |
2х |
х2 при 0 |
х |
1, |
|
|
|
|
1 |
при х |
1. |
|
Найти М(Х), |
Д(Х), (Х). |
|
|
|
|
|
Решение. Сначала найдем плотность f(х) по формуле (4.8). Получим |
||||||
|
|
|
0 |
при х |
0, |
|
|
f(х) = |
2 |
2х |
при 0 |
х |
1, |
|
|
|
0 |
при х |
1. |
|
Тогда математическое ожидание М(Х) найдется по формуле (5.3):
М(Х) = 1 х(2 2х) dx |
1(2х 2х2 ) dx |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
х2 |
х3 |
1 |
|
. |
|||||
|
3 |
3 |
|||||||
0 |
0 |
3 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсию будем находить не по определению (5.8), а по формуле (5.9). Тогда
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д(Х)= 1 х2 (2 2х) dx |
1 |
|
|
|
|
1(2x2 2x3 ) dx |
1 |
|
2 |
x3 |
x4 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
. |
|
3 |
|
9 |
3 |
2 |
|
|
9 |
3 |
2 |
9 |
18 |
|||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно (5.12) (Х)= |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, дифференциальная функция которой определяется равенством
|
0 |
при х |
0, |
|
|
|
||
f(х) = |
1 |
sin x |
при 0 |
х , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
при х . |
|
|
|
|||
Решение. Согласно формуле (5.3) |
М(Х)= |
1 |
x sin x dx. |
Для |
||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
вычисления интеграла надо применить формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:
|
|
bu dv |
|
b |
bv du. |
|
|
|
|
uv |
|
|
|
||
|
|
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим u=х, dv=sin x dx. Отсюда du=dx, v= -cos x. Тогда |
|||||||
x sin x dx x cos x |
|
cos x dx |
( cos |
0) sin x |
|
( ) (sin sin 0) . |
|
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ44x1.jpg)
46
Следовательно, М(Х)= |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|||
Для нахождения дисперсии сначала найдем М(Х2)= |
1 |
x2 sin x dx, для |
|||
2 |
|||||
|
|
|
0 |
||
чего применим дважды формулу интегрирования |
|
по частям. В |
|||
результате получим следующее: |
|
|
M (X 2 ) |
|
1 |
( |
x2 cos x |
|
2 |
x cos x dx) |
||||||||
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
2 |
|
sin x dx |
1 |
|
2 |
2cos x |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
0 |
2 |
|
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда согласно (5.9) |
Д(Х)= |
1 |
2 |
2 |
|||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
2 x cos x dx |
1 |
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
2 |
|
2(cos |
cos 0) |
|
1 |
|||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 xsin x |
sin x dx |
|
0
0
2 2.
За д а ч и
1.Независимая случайная величина имеет следующий закон распределения:
Х |
1 |
3 |
4 |
6 |
Р |
0,1 |
0,2 |
|
0,5 |
Определить вероятность, с которой случайная величина Х принимает значение 4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
2.Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая
может принимать только два значения: х1 с известной вероятностью р1=0,3 и х2, причем х1<х2. Известны также М(Х)=4,1 и Д(Х)=1,89.
3.Автомобиль должен проехать по улице, на которой установлены четыре светофора, дающие независимо друг от друга зеленый сигнал в течение 1,5 мин., желтый – в течение 0,3 мин., красный – в течение 1,2 мин. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – числа светофоров, пройденных машиной без остановки.
4.Законы распределения независимых случайных величин Х и Y даны в
таблицах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
1 |
2 |
4 |
5 |
|
Y |
0 |
3 |
4 |
Р |
0,1 |
0,35 |
0,25 |
0,3 |
|
P |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
Составить закон распределения случайной величины Z=Х+2Y. Проверить на этом примере свойства математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин и произведения постоянной величины на случайную величину.
5. Дан закон распределения случайной величины Х:
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ45x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
Х |
|
-2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
Р |
|
0,4 |
|
0,2 |
|
0,3 |
0,1 |
|
|
|
Требуется: 1) составить закон |
распределения |
случайной |
величины |
||||||||
Z=Х+Х и Y=2Х |
и убедиться, |
что Y и |
Z – |
различные |
случайные |
величины, т.е. 2Х Х+Х; 2) вычислить математические ожидания величин Y и Z; 3) определить дисперсии случайных величин Y и Z. Можно ли утверждать, что Д(Х+Х)=Д(Х)+Д(Х)?
6.Независмые случайные величины имеют следующие законы распределения:
Х |
2 |
3 |
5 |
7 |
|
Y |
0 |
1 |
4 |
Р |
0,2 |
0,25 |
0,15 |
0,4 |
|
P |
0,7 |
0,2 |
0,1 |
Составить ряд распределения случайной величины Z=XY. Проверить на этом примере свойство математического ожидания произведения случайных величин.
7. Потребление электроэнергии цехами №1 и №2 завода в течение суток
характеризуется следующими данными: |
|
|
|
|
||||||
|
Х |
900 |
950 |
1200 |
|
Y |
600 |
640 |
700 |
720 |
|
Р |
0,15 |
0,6 |
0,25 |
|
P |
0,1 |
0,2 |
0,05 |
0,2 |
где Х – количество потребляемой энергии цехом №1 в кВт-час, Y- количество потребляемой энергии цехом №2 в кВт-час. Требуется: 1) составить закон распределения количества электроэнергии, потребляемой в течение суток обоими цехами вместе; 2) найти математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной величины и на этом примере проверить справедливость свойства математического ожидания и дисперсии суммы независимых случайных величин.
8.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной дифференциальной функцией
|
0 |
при х |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
f(х) = |
1 |
cos x |
при |
|
|
|
|
х |
|
, |
||
2 |
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
при |
х |
|
|
. |
|
|
||||
|
2 |
|
|
9. Найти центральные моменты второго и третьего порядков (см.(5.13)), если случайная величина задана функцией распределения
|
|
0 |
при |
х |
0, |
|
F(х) = |
1 |
х2 |
при 0 |
х 3, |
||
9 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
при |
х |
3. |
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ46x1.jpg)
48
ТЕМА 6. ОСНОВНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Равномерное дискретное распределение. Гипергеометрическое распределение. Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Распределение Пуассона. Относительная частота события как случайная величина.
Л и т е р а т у р а
[2], гл.3, § 1, 2, гл.4, § 1,5; [3], гл.5, 5.9, гл.10, 10.3; [5], гл.6, § 4-6, гл.7, § 5, гл.8, § 6; [6], гл.4, § 18, гл.5, § 23; [8], гл.3, § 1,5; [9], гл.2, § 2, 3, 7; [11], гл.29, § 203, 206; [12], ч.2, гл.3, § 11; [13], гл.20, § 8, [14], § 3, 3.1-3.6; [15], гл.6, § 1-3; [16], гл.2, 2.3-2.5.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Пусть {х1, …, х2} – множество значений случайной величины Х, принимающей n значений. Распределение такой дискретной случайной величины называется равномерным, если вероятности появления значений
определяются формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Х=хi) = |
1 |
(i=1,…, n). |
(6.1) |
|||||
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция распределения этой случайной величины Х имеет вид |
||||||||
|
0, |
|
если |
х |
х1; |
|
||
F(х) = |
i |
, если |
х |
х |
х |
х ; |
||
|
||||||||
|
n |
|
i |
|
i 1 |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
если |
х |
хn . |
|
График функции представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=хi (i=1,…,n). Величина скачка в каждой точке равна 1/n. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной дискретной случайной величины могут быть найдены по формулам
М(Х) = |
|
x1 |
|
|
xn |
, |
|
|
(6.3) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||
Д(Х) = |
|
i |
|
|
|
|
|
i |
(6.4) |
|
i 1 |
|
|
|
i |
1 |
. |
||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
Пусть n – число различных элементов некоторого множества, из которых s элементов обладают определенным свойством. Из всего множества производится выборка без возвращения объема k. Пусть m – число элементов, обладающих этим же свойством и оказавшихся в
![](/html/65386/291/html_97LEDoMTUs.pLji/htmlconvd-gztRXJ47x1.jpg)
49
выборке, причем m может принимать значения m=0, 1, …, s, если s k. Случайная величина Х называется гипергеометрически распределенной, если вероятности появления ее значений находятся по формуле
|
m |
k m |
|
|
Р(Х=m) = |
Cs |
Cn s |
. |
(6.5) |
|
|
|||
|
|
C k |
|
|
|
|
n |
|
Значения m определяются смыслом формулы (6.5) для каждой конкретной задачи. Для математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения справедливы соотношения
М(Х) = k |
s |
, Д(Х) = k |
s |
1 |
s |
1 |
k |
. |
(6.6) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
n 1 |
|
n |
|
n |
|
Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m появления события А при проведении n повторных независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления А постоянна и равна р. В зависимости от случая m может принимать все целочисленные значения от 0 до n включительно. Вероятности принятия этих значений находятся по формуле Бернулли
Р(Х=m) Рn(m)= Cnm pm (1 p)n m . (6.7)
Такое дискретное распределение называется биномиальным. Функция F(х) этого распределения имеет следующий вид:
0, если х 0;
F(х) = |
Pn (m), если 0 |
х n; |
(6.8) |
m |
x |
|
|
|
1, если х |
n. |
|
Суммирование здесь ведется по всем целым числам m, меньшим х. График функции распределения представляет собой ступенчатую линию со скачками в точках х=0, 1, …, n. Величина скачка в точке х=m равна Рn(m). Для биномиально распределенной случайной величины числовые
характеристики находятся по формулам |
|
М(Х) = np, Д(Х) = np (1-р). |
(6.9) |
Пусть Х – случайная величина, значениями которой являются возможные значения числа m проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, причем опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое событие появилось. Геометрическое
распределение вероятностей задается формулой |
|
|||||||||
Р(Х=m) = р (1-р)m-1 |
(m=1, 2, 3, …). |
(6.10) |
||||||||
Функция распределения F(х) имеет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
0, если х 1; |
|
|
|
|
||||
F(х) = |
p(1 |
|
p) |
m 1 |
, если х |
1. |
|
(6.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если случайная величина Х имеет геометрическое распределение, то |
|
|||||||||
М(Х) = |
1 |
, |
|
|
Д(Х) = |
|
1 p |
. |
(6.12) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
p |
|
|
|
|
p2 |
|