Аналитическая геометрия
..pdfN
N
Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, и наоборот, если векторы N и N коллинеарны, то плоскости и
параллельны. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
2 |
|
1 |
|
1 |
. |
4 |
2 |
|
|||
|
|
2 |
Равенства верны, следовательно, векторы коллинеарны, а плоскости параллельны.
Чтобы найти расстояние от плоскости до плоскости , необходимо взять какую-либо точку плоскости и найти расстояние от нее до плоскости .
Возьмем какую-либо точку плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим какие-либо значения двух переменных и найдем соответствующее им значение третьей переменной. Например, возьмем x 0 и y 0, тогда уравнение плоскости примет вид z 4 0или z 4. Таким
образом, точка A(0;0;4) принадлежит плоскости .
Найдем расстояние от этой точки до плоскости . Для этого приведем уравнение плоскости к нормальному виду:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
7 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4x |
|
2y |
|
2z |
|
7 |
|
0 |
: |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
24 |
|
24 |
|
24 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим координаты точки в левую часть полученного нормального уравнения и возьмем полученное число по модулю:
; A; |
4 |
0 |
2 |
0 |
2 |
4 |
7 |
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
24 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2.11. Взаимное расположение плоскостей
Вз. расположение плоскостей
Две плоскости могут быть параллельны, перпендикулярны и могут пересекаться под некоторым углом. Взаимное расположение плоскостей определяется взаимным расположением их направляющих векторов.
29
|
Пусть |
заданы |
плоскости |
: |
A1x B1y C1z D1 0 |
|
и |
: |
|||||
|
A2x B2 y C2z D2 0. |
Плоскости |
заданы |
общими уравнениями, |
которые |
||||||||
определяют |
нормальные |
векторы |
этих |
плоскостей: |
|
A1;B1;C1 |
и |
||||||
N |
|||||||||||||
|
|
A2;B2;C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1. Пусть |
плоскости |
|
и параллельны, тогда векторы |
|
и |
|
|
|||||
|
N |
N |
|||||||||||
коллинеарны (ссылка): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N
N
Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:
A1 B1 C1 .
A2 B2 C2
Последнее равенство является условием параллельности плоскостей.
Частным случаем параллельности плоскостей является случай совпадения плоскостей. Два линейных уравнения определяют одну и ту же плоскость, если все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого уравнения:
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
C1 |
|
D1 |
. |
|
|
|
||
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
B |
2 |
|
C |
2 |
|
D |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
1. Пусть плоскости и |
|
перпендикулярны, тогда векторы |
|
и |
|
||||||||||
N |
N |
перпендикулярны.
30
N
N
Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение (ссылка) равно 0:
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0. |
|
|
||||||||||||||||
2. Пусть плоскости и пересекаются под некоторым углом |
, тогда |
|||||||||||||||||
угол между векторами (ссылка) |
|
и |
|
|
|
|
равен , т.е. |
|
|
|||||||||
N |
N |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
arccos |
|
|
N |
N |
|
. |
|
(2.11.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
||||||
Пример. Найти угол |
между |
|
|
|
|
плоскостями |
3x 2y z 5 0 и |
|||||||||||
4x y 2z 3 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Координаты нормальных векторов определяются коэффициентами
при переменных в общем уравнении прямой, т.е. N1 3; 2;1 ; N2 4;1; 2 . Найдем искомый угол по формуле (2.11.1):
N1 N2 3 4 2 1 1 2 8;
N1 32 2 2 12 14;
N2 42 12 2 2 21;
arccos |
|
8 |
arccos |
4 6 |
. |
|
21 |
21 |
|||
14 |
|
|
31
Ответ. Угол между плоскостями равен arccos4216 .
§2.12. Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве
Вз. распол. пр. и пл. Угол между ними
Нахождение точки пересечения прямой и плоскости
Расст. от точки до прямой в пространстве |
x 1 |
|
z 3 |
|
||
Задача 1. Найти точку пересечения прямой |
y 2 |
и плоскости |
||||
3 |
|
4 |
||||
4x y z 2 0. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Решение. Координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют и уравнению прямой и уравнению плоскости, т.е. являются решением системы
x 1 |
z 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
3 y 2 |
4 ; |
||||
|
|||||
|
4x y z 2 |
0. |
|||
|
Для решения системы удобно уравнение прямой привести к параметрическому виду:
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
t; |
|
x 3t 1; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
|
z 3 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y 2 |
|
|
t |
|
y 2 |
t; |
|
y t 2; |
|||
3 |
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t; |
|
z 4t 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда система примет вид:
4x
x 3t 1; y t 2;
z4t 3;
y z 2 0;
|
|
x 3t 1; |
|
x 3t 1; |
|
|
|
y t 2; |
|
|
y t 2; |
|
|
|
|
||
|
z 4t 3; |
|
|
||
|
|
|
z 4t 3; |
||
|
4(3t 1) (t 2) (4t 3) 2 0; |
|
7t 11 0; |
||
|
|
|
|
|
|
Находим значение t и подставляем его в формулы для x, y, z :
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
26 |
|
|||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
1; |
|
x |
|
|
; |
||
7 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||
|
|
|
11 |
|
|
|
|
25 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y 7 2; |
|
7 ; |
||||||||||||
|
|
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
65 |
|
|||||
z 4 |
|
|
3; |
|
z |
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
7 |
|||||||||
7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|||
|
t |
|
; |
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
7 |
|
|||||||||||
|
7 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Ответ. точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты
26; 25; 65 .7 7 7
Задача 2. Найти проекцию точки A( 2;3;6) на плоскость x 3y z 4 0.
Решение. Проекцией точки на плоскость является точка пересечения плоскости и перпендикуляра к плоскости, проходящего через данную точку.
A
P
Поэтому план такой.
1)Запишем уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной плоскости;
2)Найдем точку пересечения полученной прямой и данной плоскости. Полученная точка и будет являться проекцией точки A на данную плоскость.
Реализуем описанный план.
1)Плоскость задана общим уравнением. Коэффициенты при x, y, z в
общем уравнении плоскости определяют координаты нормального вектора плоскости N 1;3; 1 .
A
N
Проведем через точку A прямую перпендикулярно к данной плоскости:
33
N
Записать уравнение прямой – значит связать координаты произвольной точки прямой некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку прямой M x;y;z :
A
N M
Определим вектор AM :
A
N M
Найдем координаты вектора AM (ссылка):
AM x ( 2);y 3;z 6 x 2;y 3;z 6 .
Векторы AM и N коллинеарны, следовательно, их координаты пропорциональны:
x 2 y 3 z 6.
1 3 1
Полученное равенство является уравнением прямой, проходящей через точку A перпендикулярно к данной плоскости.
34
2)Найдем координаты точки P – точки пересечения полученной прямой
изаданной плоскости.
A
N
P
Координаты точки пересечения являются решением системы
x 3y z 4 0; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 |
|
z 6 |
|
|
x 2 |
|
|
. |
||||
|
1 |
3 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
Для решения системы перейдем к параметрическому уравнению прямой (см. предыдущую задачу)
x 3y z 4 0; |
|
|
|
||
|
x 2 |
t; |
|
x 3y z 4 0; |
|
|
|
||||
1 |
|
||||
|
|
|
|
x t 2; |
|
y 3 |
|
|
|
||
|
t; |
|
y 3t 3; |
||
|
|
|
|
||
3 |
|
||||
|
|
z t 6; |
|||
|
z 6 |
|
|
|
|
|
t; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( t 2) 3(3t 3) ( t 6) 4 0; |
|
|
|
x t 2; |
|
|
|
|
y 3t 3; |
|
|
|
|
|
|
z t 6. |
|
|
Решая первое уравнение системы, получаем t 119 . Подставляя полученное
значение |
|
t в формулы для x,y,z , получаем координаты точки пересечения |
||||||||||||||||
|
|
|
13 |
; |
6 |
; |
75 |
|
, или проекции точки A на заданную плоскость. |
|
||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
11 |
11 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ответ. |
Проекцией |
точки A на |
заданную плоскость |
является точка |
|||||||||
|
|
|
13 |
|
6 |
|
75 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P |
|
|
|
|
; |
|
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|||
11 |
11 |
11 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Задача |
|
|
3. Найти |
проекцию |
точки D 1; 1;2 на |
прямую l : |
|||||||
|
x 7 |
y 4 |
z 8 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение. Проекцией точки на прямую является точка пересечения перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку. Но в пространстве через данную точку проходит бесконечное множество прямых, перпендикулярных данной. Все эти прямые образуют плоскость,
35
перпендикулярную к данной прямой. Поэтому проекцию точки на прямую будем искать как точку пересечения данной прямой и плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. План такой:
1)записать уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой;
2)найти точку пересечения найденной плоскости и данной прямой. Полученная точка и будет являться проекцией точки D на прямую l .
1) Прямая задана каноническим уравнением, следовательно, задан направляющий вектор прямой p 3;1;0 . Сделаем рисунок.
p
D
l
Построим плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно к данной прямой.
p
D
l
Записать уравнение плоскости – значит связать координаты произвольной точки плоскости некоторым равенством. Поэтому возьмем произвольную точку плоскости M x;y;z .
36
p
D
l
M
Определим вектор DM .
p
D
l
M
Векторы |
|
x 1;y 1;z 2 и |
|
перпендикулярны, следовательно, их |
||
DM |
p |
|||||
скалярное произведение равно 0: |
|
|
|
|
||
|
|
x 1 3 y 1 1 z 2 0 0 |
|
3x y 2 0. |
Последнее равенство является уравнением плоскости, проходящей через точку
Dперпендикулярно к прямой l .
2)Найдем точку пересечения полученной плоскости и заданной прямой (см. задачу 1).
37
p
D
l
P |
Координаты точки пересечения являются решениями системы
|
|
|
|
|
3x y 2 0; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 8 |
|
|
|
x 7 |
y 4 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для решения системы приведем уравнение прямой к каноническому виду |
|||||||||
3x y 2 0; |
|
|
|||||||
|
|
x |
7 |
t; |
3x y 2 0; |
||||
|
|
|
|
|
|
x 3t 7; |
|||
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y 4 t; |
|
y t 4; |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
z 8 |
|
|
|
z 8. |
|||
|
|
|
|
|
t; |
|
|||
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив значения x;y;z |
в первое уравнение системы, определив значение t и |
сделав обратную подстановку, получим координаты точки пересечения прямой и плоскости.
|
|
|
|
|
|
|
3 3t 7 t 4 2 0; |
t 1,9; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3t 7; |
x |
1,3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y t 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 5,9; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 8; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная точка является проекцией точки D на прямую l . |
|
||||||||||
|
|
|
Ответ. P 1,3;5,9;8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача |
|
4. Найти |
расстояние от точки |
T 2; 3;6 до прямой |
l : |
|||
|
x 3 |
|
y 1 |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Решение. Расстояние от точки до прямой определяется расстоянием от |
||||||||
точки до ее проекции на прямую. Найдем проекцию точки T на прямую l |
(см. |
||||||||||
задачу 3). |
|
|
|
|
|
|
1) Построим плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно к данной прямой. Прямая задана каноническим уравнением,
38