Кривая А отвечает тому случаю, когда определяемое ве щество полярографически активно, а реагент, используемый при титровании, не дает полярографической волны.
Кривая Б отвечает полярографическому титрованию, когда определяемое соединение и реагент способны давать по лярографическую волну.
Кривая В относится к полярографически неактивному веществу, титруемому раствором полярографически активного реагента, дающему диффузионный ток.
Метод полярографического титрования обладает несо мненными преимуществами перед прямой полярографией. Этот метод требует более простой аппаратуры, а точность его выше метода прямой полярографии.
10. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
В строительстве необходимо исследовать не только де терминированные, но и случайные вероятностные процессы. Те или иные события могут произойти или не произойти. В связи с этим приходится анализировать случайные и статистические связи, в которых каждому аргументу соответствует множество значений функций. Наблюдения показали, что, несмотря на слу чайный характер связи, рассеивание имеет вполне определенные закономерности.
Случайный характер событий подчиняется закономерно стям, рассматриваемым в теории вероятности. Теория вероятно сти базируется на следующих основных показателях:
Совокупность - множество однородных событий. Сово купность случайной величины х составляет первичный ста
тистический материал. Совокупность, содержащая самые различные варианты массового явления называют большой выборкой N.
Вероятностью Р{х) события х называют отношение числа случаев N{x), которые приводят к наступлению события х к об
щему числу случаев:
Р(х) = а д
м ’
Частота события - у(х) это отношение случаев п(х),
при которых имело место событие, к общему числу событий п:
Я *) = Ф )
п
При неограниченном возрастании числа событий - у{х) стремится к Р(х).
Допустим, имеются статистические данные наблюдений за количеством автомобилей, прибывающих ежечасно на склад:
Количество ав |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
томобилей X/ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
Частота |
|
|
4 |
10 |
14 |
|
|
|
|
|
|
абсолютная |
2 |
7 |
5 |
4 |
3 |
1 |
0 |
||||
Частота |
отно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сительная |
уы |
0,04 |
0,08 |
0,20 |
0,28 0,14 0,10 0,08 0,06 0,02 0 |
||||||
Абсолютная частота у, или относительная уы характери |
|||||||||||
зует вероятность появления случайной величины. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
У« = |
у> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т у, |
|
|
|
|
|
|
Относительные частоты представляют собой ряд распре делений (рис. 12), а плавная кривая - закон (функцию) распре деления F(x).
Рис. 12. Функция распределения
Вероятность случайной величины - это количественная оценка возможности ее появления. Достоверное событие имеет вероятность Р = 1, невозможное событие - Р = 0. Следователь но, для случайного события 0< Р(х) < 1, а сумма вероятностей
всех возможных событий |
П |
= 1 |
о
В исследованиях иногда недостаточно знать одну функ цию распределения, необходимо еще иметь ее характеристики:
1.Среднеарифметическое значение - х
Пусть среди п событий случайная величина х\ повторяет ся П\ раз, величина х2- п2раза и т.д.
1п
2.Размах - можно использовать для ориентировочной
оценки вариации ряда событий:
R~~-^шах
3.Если вместо эмпирических частот у |, у2...уп применять их вероятности Р\, Р2 Рп, получим математическое ожида-
п
ние т{х) = Y .xi^i
1 Для непрерывных случайных величин математическое
+оо ожидание равно т(х) = fxP(x)dx.
-С О
4.Дисперсия - характеризует рассеивание случайной ве
личины по отношению к математическому ожиданию:
д= ^ £ ( * ,- - * ) 2
2 1
5.Среднеквадратическое отклонение (стандарт):
9 (Х) = 4 Д М -
Стандарт является мерой точности измерений.
6. Коэффициент вариации
применяется для сравнения интенсивности рассеяния в различ ных совокупностях, определяется в относительных единицах Кв< 1 .
Выше были рассмотрены основные характеристики теоре тической кривой распределения, которые анализирует теория вероятности.
В статистике оперируют с эмпирическими распределе ниями.
Пусть в результате п измерений случайной величины по лучен вариационный ряд х и *з х„. Обработка сводится к
следующему:
1) группируют х, в интервалы и устанавливают для каж дого из них частоты у, и у ы;
2) по значениям х, и у oi строят ступенчатую гистограмму
частот; 3) вычисляют характеристики эмпирической кривой рас
пределения.
Значениям х, Д, 5 эмпирического распределения соответ ствуют величины Д (х), 8 (х) теоретического распределения.
Рассмотрим основные теоретические кривые распреде ления.
Наиболее часто в исследованиях применяют закон нор мального распределения (рис. 13):
1 |
х - т(х)2 |
|
f (х) — /— ехР ” |
I |
• |
8V2я |
25 |
|
Это уравнение соответствует функции нормального рас пределения при т(х) Ф0. Если совместить ось ординат с точкой т, т.е. т(х) = 0, и принять 5 = 1, то закон нормального распреде
ления описывается зависимостью (за единицу масштаба принята дисперсия 82).
/ |
2\ |
|
JC |
/00 = |
ехр |
Рис. 13. Общий вид кривой нормального распределения: а) т(х) Ф0; б) т(х) =0
Эта формула более проста и чаще применяется при анализе. Для оценки рассеяния обычно пользуются величиной 8.
Чем меньше 8, тем меньше рассеяние, т.е. большинство наблю дений мало отличается друг от друга (см. рис. 13).
С увеличением 8 рассеяние возрастает, вероятность появ ления больших погрешностей увеличивается, а максимум кри вой распределения (ордината),
уменьшается. |
|
Поэтому величину у = — |
при 8 = 1 или у = —J = на- |
8V27C |
V2л |
зывают мерой точности.
Таким образом, чем меньше 8, тем больше сходимость ре зультатов измерений, а ряд измерений более точен. Как видно из уравнений, среднеквадратичное отклонение определяет закон распределения.
Среднеквадратичное отклонение +8 и -8 соответствует точкам перегиба кривой (заштрихованная площадь на рис. 14). Вероятность того, что случайные события не выйдут за эти пре делы, равна 0,683. Для предела е вероятность того, что событие
х попадает в данный предел, вычисляется по распределению Ла
пласа:
/(* ) =
Функция J{x) табулирована и используется в исследо
ваниях.
Рис. 14. Характер рассеяния кри- |
Рис. 15. Общий вид кривой |
вой нормального распределения: |
распределения Пуассона |
/ - 5 = 0,5; 2 - 5 = 1,0; 3 - 5 = 2,0 |
|
При анализе многих случайных дискретных процессов пользуются распределением Пуассона. Например, поток авто мобилей, прибывающих на асфальтобетонный завод, поток ав томобилей перед светофором и другие краткосрочные события,
происходящие в единицу времени. |
|
|
Вероятность появления числа событий х = 1, 2, 3 |
за |
|
единицу времени выражается законом Пуассона (рис. 15): |
|
|
т |
(* 0 Хе-XI |
|
Р(х) = — е “ |
|
хX
где х - число событий за данный отрезок времени /; X - плот
ность, т.е. среднее число событий за единицу времени; Xt - среднее число событий за время (, Xt = т.
Распределение Пуассона относят к редким событиям, т.е. Р(х) - вероятность того, что событие в период какого-то испы
тания произойдет х раз при очень большом числе событий т.
Для закона Пуассона дисперсия равна математическому ожида нию числа наступления события за время /, т.е. S2 = т. Как вид
но из формулы, пуассоновский процесс можно задать двумя па раметрами х и т . Табличные значения вероятностей Р(х) для х от 0 до 25 и т от 0,1 до 18 составляет соответственно от 0,904
до 0,023.
Рассмотрим пример. С помощью наблюдений установле но, что за пять минут на погрузку под экскаватор поступает 6 автосамосвалов.
Какова вероятность поступления 10 автомобилей за 5 ми нут? В этом случае
б10^”6
JC= 10; 51/ = 6; Р(х) = — ?— = 0,041.
10
Как видно, эта вероятность очень мала.
Рассмотрим второй пример. Вероятность возникновения брака составляет 0,02. Какова вероятность того, что в партии из 100 единиц окажется пять бракованных изделий? Имеем
100 0,02 = 2;
2 " V 2
х = 5, тогда Р(х) = — -— = 0,036,
т.е. вероятность очень мала.
Для исследования количественных характеристик некото рых процессов (время обслуживания строительных машин в ре монтных мастерских и автомобилей на станции технического обслуживания, время отказов машин и изделий, длительность телефонных разговоров между диспетчером и передвижными оперативными пунктами т.д.) можно применять показательный закон распределения (рис. 16).
Плотность вероятности показательного закона выражается зависимостью
f( x ) = X e ^ ,
где X - плотность или интенсивность (среднее число) событий в
единицу времени.
показательного распределения |
распределения Вейбулла |
В показательном законе плотность является величиной, обратной математическому ожиданию:
т(х)'
Кроме того, имеет место соотношение 82 = [m(.v)]2 В раз личных областях исследований широко применяется закон рас пределения Вейбулла (рис. 17).
/ ( х ) = щ1пхп-'е~>‘’х"
Здесь и, (I - параметры закона; х - аргумент, чаще прини
маемый как время.
Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением параметров (ухудшение свойств материалов во времени, дефор мация конструкций, процессы старения, износовые отказы в
машинах |
и |
др.), применяют закон гамма-распределения |
(рис. 18). |
|
|
|
|
а |
где X, а - |
параметры. |
|
Если а = 1, гамма-функция превращается в показательный |
||
закон (см. рис. |
16). |
/( * ) = Хе~и