554
.pdfКомпозиционное правило нечеткого логического вывода Заде
Если известно нечеткое отношение переменных х и у, то при нечетком значении входной переменной х А нечеткое значение выход-
ной переменной определяется так: y |
= A R , где – знак max-min ком- |
||||||||||||||||||||||||||
позиции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.17. Пусть заданы нечеткие подмножества |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0,1 |
|
0,5 |
|
0,8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0,8 |
|
0, 4 |
|
0, 2 |
||||||
A |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
, |
|
|
B |
5 |
10 |
15 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
||||||||||
Определить значение выходной переменной у при |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x C |
0,3 |
|
0,5 |
|
1 |
|
0, 7 |
|
0, 4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вначале рассчитываем нечеткое отношение R согласно правилу: «Если х = A , то у = B ». Применяя в качестве t-нормы операцию min, получим
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
R |
|
0,5 |
0,5 |
0, 4 |
0, 2 |
|
|
|
|
0,8 |
0,8 |
0, 4 |
0, 2 |
|
|
|
|
1 |
0,8 |
0, |
4 |
0, 2 |
|
По формуле y C R рассчитываем нечеткое значение функции принадлежности выходной переменной у:
B ( y) sup {[ A (x) T R (x, y)]} sup {min [ A (x), R (x, y)]}= |
|
x X |
x X |
max {min А x , R x, y },
x X
B ( y) max min[ А(x), RA B (x, y)] ,
x X
т.е. функция принадлежности заключения B равна максимальному значению функции принадлежности пересечения посылки А и импликации
А В.
51
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0,3 |
|
0,5 |
|
1 |
|
0,7 |
|
0,4 |
|
|
|
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
|
|
y |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0,5 |
0,5 |
0,4 |
0,2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
0,8 |
0,4 |
0,2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0,8 |
0,4 |
0,2 |
|
|
0,7 0,7 0,4 0,2 .5 10 15 20
Доказательство:
q1 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,5), min(0,7;0,8),min(0,4;1)) 0,7;
q2 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,5), min(0,7;0,8),min(0,4;0,8)) 0,7;
q3 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,4), min(0,7;0,4),min(0,4;0,4)) 0,4;
q4 max(min(0,3;0), min(0,5;0,1),min(1;0,2), min(0,7;0,2),min(0,4;0,2)) 0,2.
Рассмотрим наиболее важные варианты модификации нечеткого вывода, где алгоритмы нечеткого вывода различаются в основном видом используемого правила нечеткой импликации и терм-множеством функций принадлежности лингвистической переменной выхода нечеткого вывода.
Нечеткий логический вывод по Заде
Это модификации нечеткого вывода, где нечеткая импликация реализуется операцией взятия минимума и терм-множество управления задано синглетонами [5, 6].
Пусть продуктивные правила П1, П2 представлены в следующей форме:
52
П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,
где х, у, z – имена переменных входа и выхода, соответственно, а A1 , B1 , A2 , B2 С1 ,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функ-
ций принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить при входных переменных x0 и y0 .
1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил: (П1, П2): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .
2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле
μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]
или
1 min A1(x0 ), B1( y0 ) A1 (x0 ) B1( y0 ),
2 min A2 (x0 ), B2 ( y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).
3.Находим степень принадлежности одноименных функций принадлежности после операции минимум, используя операцию максимум.
Рис. 1.19. Графическая интерпретация нечеткого вывода по Заде
53
4. Определяем выход после нечеткой композиции
n
αi Ci , i 1
где функции принадлежности терм-множества лингвистической переменной выхода (синглетоны) С1, С2 задаются.
5. Методом центроида приводим к четкости переменную выхода
|
|
n |
|
z0 |
|
αiСi |
|
i 1 |
. |
||
n |
|||
|
|
αi |
i 1
Графическая интерпретация нечеткого вывода показана нарис. 1.19.
Нечеткий вывод по Мамдани
В этом варианте нечеткого вывода используем фаззификацию на несинглетонной базе и операцию взятия минимума в качестве нечеткой импликации (рис. 1.20) [6].
Рис. 1.20. Иллюстрация нечеткого вывода Мамдани, где фаззификация выполнена на несинглетонной базе
54
Пусть продуктивные правила П1, П2 записаны в следующей форме:
П1: если х есть A1 и y есть B1, то z есть C1 , П2: если х есть A2 и y есть B2, то z есть C2 ,
где х, у, z – имена переменных входа и выхода, соответственно, а A1 , B1 , A2 , B2 С1 ,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функций принадлежности, при этом четкое значение z0 необходимо определить при текущих переменных x0 и y0 .
1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил (П1, П2): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .
2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле
A B (x, y) A (x) B ( y)
min A (x), B ( y)
или
1 min A1(x0 ), B1( y0 ) A1 (x0 ) B1( y0 ),
2 min A2 (x0 ), B2 ( y0 ) A2 (x0 ) B2 ( y0 ).
3.Находим «усеченные» функции принадлежности С*1(z) , C*2 (z) для предпосылок каждого правила при нечеткой композиции:
С1 [ 1 C1 ] min 1,С1 , С2 [ 2 C2 ] min 2С2 .
4. Нечеткая композиция (свертка) производится объединением найденных усеченных функций С1 , С2 с помощью поточечного суммирования:
C C1 C2 .
5. Приведение к четкости модифицированным методом центроида:
|
1 n 1 |
|
x |
i+1 |
x |
||
xцт = |
n |
xi + |
|
i |
, |
||
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
2 |
55
yцт |
|
0,5 |
Si . |
||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
Пример 1.18. Рассмотрим нечеткий вывод по Мамдани.
Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления, где фаззификация выполнена на синглетонной базе:
Rule1: IF x этоA1 AND, y это B1 THEN z это C1, ; Rule 2 : IF x это A2 AND, y это B2 THEN z это C2.
Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-
ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-
жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:
|
(x 2) |
при 2 x 4, |
|||
A |
|
|
2 |
|
|
(x) |
|
|
|
||
1 |
(6 |
x) |
|
|
|
|
|
|
2 |
при 4 x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
при 1 x 4, |
|
||
A |
|
|
3 |
|
|
(x) |
(7 |
|
|
||
2 |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
при 4 x 7. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y 0) |
при 0 y 3, |
|||
B |
|
|
3 |
|
|
( y) |
|
|
|
||
1 |
(6 y) |
при3 x 6. |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y 1) |
при 1 y 4, |
|
||
B |
|
|
3 |
|
|
( y) |
(7 |
|
|
||
2 |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
при 4 y 7. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
56
|
|
|
|
(z 0) |
при 0 |
z |
3, |
|
C |
(z) |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
(6 |
z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
при3 z 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 0) |
при 0 |
z |
4, |
|
C |
(z) |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
(8 |
z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
при 4 z 8. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения |
||||||||
датчиков x0 t1 3 и |
y0 t1 2 . Определяем срезы для обоих правил на |
|||||||
основе заданных функций и с учетом x0 t1 3 |
и y0 t1 2 . |
|||||||
A |
x0 |
3 0,5; |
μB1 y0 |
2 0,7 , |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
μA |
x0 |
3 0, 6; |
μB2 y0 |
2 0,3 . |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Затем в соответствии с правилом вывода Мамдани определяем уровни среза (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Иллюстрация нечеткого вывода по Мамдани
α1 min μA1 x0 ,μВ1 y0 min 0,5 0,7 0,5 ,
α2 min μA2 x0 ,μВ2 y0 min 0,6 0,3 0,3.
57
Окончательно, поточечно суммируя функции принадлежности выхода С1 и С2 и используя формулу метода центроида, получим
zцт 1 0,5 2 0,5 3 0,5 4 0,5 5 0,3 6 0,3 7 0,3 8 0 4,98 . 0,5 4 0,3 3
Нечеткий вывод по Ларсену
Пример 1.19. Рассмотрим нечеткий вывод по Ларсену [5].
Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:
Rule1: IF x это A1 AND, y это B1 THEN z это C1 , Rule 2 : IF x это A2 AND, y это B2 THEN z это C2 .
Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-
ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-
жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:
|
(x 2) |
при 2 |
x 4, |
|||
A |
|
|
2 |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
||
1 |
(6 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
при 4 x 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
при 1 x 4, |
|
|||
A |
|
|
3 |
|
|
|
(x) |
(7 |
|
|
|
||
2 |
|
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при 4 x 7. |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( y 0) |
при 0 |
y 3, |
|||
B |
|
|
3 |
|
|
|
( y) |
|
|
|
|
||
1 |
(6 y) |
|
|
|
||
|
|
|
3 |
при3 y 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( y 1) |
при 1 |
y 4, |
|
||
B |
|
|
3 |
|
|
|
( y) |
(7 |
|
|
|
||
2 |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при 4 y 7. |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
58
|
|
|
|
(z 0) при 0 |
z 3, |
|||
μC |
(z) |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
(6 z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
при 3 |
z 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(z 0) при 0 |
z 4, |
|||
μC2 |
(z) |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(8 z) |
при 4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
z 8. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения |
||||||||
датчиков x0 t1 3 и y0 |
t1 2. Определяем срезы для обоих правил на |
|||||||
основе заданных функций и с учетом x0 t1 3 и y0 t1 2. |
||||||||
μA x0 3 0,5; μB y0 2 0, 7, |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
μA x0 3 |
0, 6; μB y0 2 0,3. |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Затем в соответствии с правилом вывода алгоритма Мамдани оп- |
||||||||
ределяем уровни среза (нечеткая импликация): |
|
|||||||
α1 min μA1 |
x0 ,μВ1 |
y0 min 0,5 |
0, 7 0,5, |
|||||
α2 min μA2 |
x0 ,μВ2 |
y0 min 0, 6 |
0,3 0,3. |
Находим усеченные функции принадлежности С*1 (z) , C*2 (z) для
предпосылок каждого правила при нечеткой композиции. В данном алгоритме нечеткая импликация моделируется с использованием оператора умножения:
|
|
|
z 0 |
при 0 |
|
|
|
|
|
|
|
z 3, |
|||
μC |
z 1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
6 z |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
при 3 z 6. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 0 z 4, |
||
μC2 |
z 2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8 z |
при 4 |
z 8. |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
59
или
|
0,5 |
z 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
при 0 |
z 3, |
||
|
|
|
|
|
|||||
μC |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
z |
0,5 |
|
|
|
|
||||
1 |
|
6 z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
при 3 z 6. |
|||
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,3 |
z 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
при 0 z 4, |
||
|
|
|
|
4 |
|
||||
μC2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
8 z |
|
|
|
||||
|
0,3 |
при 4 |
z 8. |
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нечеткая композиция (свертка) производится объединением найденных усеченных функций С1 z , С1 z с помощью поточечного суммирования:
μ (z) C(z) C1* (z) C2* (z) .
Приведение к четкости модифицированным методом центроида:
|
1 n 1 |
|
|
x |
i+1 |
x |
|
||
xцт = |
xi + |
|
|
i |
, |
||||
|
|
|
|
||||||
yцт |
n 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0,5 |
|
|
Si . |
|
|||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
Рис. 1.22. Иллюстрация нечеткого вывода по Ларсену
60