554
.pdfНа рис. 1.22 приведена графическая интерпретация нечеткого вывода по Ларсену.
Нечеткий вывод по Цукамото
В данном варианте нечеткого вывода используется тот же алгоритм, что и при выводе по Мамдани, но требуется, чтобы функции принадлежности выхода были монотонны (убывающие или возрастаю-
щие) [5].
Пусть продуктивные правила П1 …П 4 записаны в следующейформе:
П1: если х есть A1 и y есть B1, то z естьC1,
П2: если х есть A2 и y есть B2 , то z естьC2 ,
где х, у, z – имена переменных входа и выхода соответственно, а A1, B1, A2 , B2 A3 , B3 , A4 , B4 , С1,С2 – упрощенная запись заданных непрерывных функций принадлежности, при этом четкое значение z0 необ-
ходимо определить при текущих переменных x0 и y0 .
1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил: (П1…П4): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .
2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле
μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]
или
1 min[A1 (x0 ), B1 ( y0 )] A1 (x0 ) B1 ( y0 ),
2 min[A2 (x0 ), B2 ( y0 )] A2 (x0 ) B2 ( y0 ).
3.Определяем заключения с заменой аргумента на функцию и на-
оборот
z |
|
1 |
, z |
|
|
1 |
. |
μC |
α1 |
|
μC 2 α2 |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
4. Четкое значение выходной переменной определяется сразу как взвешенная комбинация
z0 1z1 2 z2 .
1 2
Пример 1.20. Рассмотрим нечеткий вывод по Цукамото.
61
Пусть дана система управления нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:
Rule1: IF x is A1 AND y is B1 THEN z is C1 , Rule 2 : IF x is A2 AND y is B2 THEN z is C2 .
Предположим, что величины xi и yi , считываемые с датчиков, яв-
ляются четкими входными величинами для лингвистических переменных х и y . При этом заданы следующие термы для нечетких подмно-
жеств A1 , A2 , B1 , B2 ,С1 ,С2 этих переменных:
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 2 x 4, |
||
μA |
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|||
1 |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
при 4 |
x 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
при 1 x 4, |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
μA |
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|||
2 |
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 4 |
x 7. |
||
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y 0 |
при 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
y 3, |
||
μB |
|
|
|
3 |
|
|
|
y |
6 |
|
|
|
|||
1 |
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
при 3 |
y 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
при 1 y 4, |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
μB |
|
|
3 |
|
|
|
|
y |
7 |
|
|
|
|||
2 |
|
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при 4 |
y 7. |
||
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
C z 2z2 ; C z 2 z |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
На рис. 1.23 приведена иллюстрация нечеткого вывода поЦукамото. Предположим, что в момент времени t1 были считаны значения
датчиков x0 t1 3 и y0 t1 2 . Определяем срезы для обоих правил на основе заданных функций и с учетом x0 t1 3 и y0 t1 2 :
62
μA1 x0 3 0,5 ; μB1 y0 2 0,7 ; μA2 x0 3 0,6 ; μB2 y0 2 0,3 .
Рис. 1.23. Иллюстрация нечеткого вывода по Цукамото
Затем в соответствии с правилом вывода алгоритма Мамдани определяем уровни среза (нечеткая импликация):
α1 min μA1 x0 ,μВ1 y0 min 0,5 0,7 0,5 ,
α2 min μA2 x0 ,μВ2 y0 min 0,6 0,3 0,3.
Определяем
z |
1 |
12; z |
|
|
1 |
|
0,5. |
μC α1 |
|
μC 2 |
α2 |
||||
1 |
|
2 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Четкое значение выходной переменной определяется сразу как взвешенная комбинация:
z |
0 |
|
α1z1 |
α2 z2 |
|
0,5 12 0,3 0,5 |
7,7. |
|
|
|
α α |
2 |
|
0,5 0,3 |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Нечеткий вывод по Сугено-Такаги
Пусть продуктивные правила П1 …П4 записаны в следующей форме:
П1: если х есть A1 и y есть B1, то z1 а1x1 b1 у1,
63
П2: если х есть A2 и y есть B2 , то z2 а2 x2 b2 у2 ,
где х, у, z |
– имена переменных входа и |
выхода соответственно, а |
A1 , B1 , A2 , B2 |
– упрощенная запись заданных непрерывных функций |
|
принадлежности, при этом четкое значение |
z0 необходимо определить |
через x0 и y0 .
1.Введение нечеткости: находим текущие степени принадлежности для предпосылок правил (П1…П4): А1 x0 , А2 x0 , В1 у0 , В2 у0 .
2.Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле
μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]
или
α1 min[A1 (x0 ), B1 ( y0 )] A1 (x0 ) B1 ( y0 ),
α2 min[A2 (x0 ), B2 ( y0 )] A2 (x0 ) B2 ( y0 ).
3.Определяем «индивидуальные выходы»
z1 а1 x b1 у; z2 а2 x b2 у,
где коэффициенты аi и bi задаются.
4. Методом центроида приводим к четкости переменной вывода:
|
2 |
|
|
z0 |
|
αi zi |
|
i 1 |
. |
||
2 |
|||
|
|
αi |
i 1
Пример 1.21. Пусть дана система управления модуля нечеткой логики с двумя правилами нечеткого управления:
Rule 1: IF x is A11 AND y is A21 THEN z1 4 2x 2y , Rule 2 : IF x is A12 AND y is A22 THEN z2 2 4x 2y .
Предположим, что величины x и y , считываемые с датчиков, являются четкими входными величинами. При этом заданы следующие термы нечетких подмножеств A11 , A21 , A12 , A22 этих переменных.
64
Предположим, что в момент времени |
t были считаны значения |
x t 4 и y t 5 . |
x t 4 и y t 5 с учетом |
Определим выходные сигналы для z |
|
графиков (рис. 1.24). |
|
Рис. 1.24. Иллюстрация к модулю управления Сугено-Такаги
μA11 4 0,25 ; μA12 4 0,8 ,
μA21 5 1; μA22 5 0,5 .
Затем в соответствии с правилом Мамдани рассчитываем нечеткую импликацию:
α1 min 0,25 1 0,25 , α2 min 0,8 0,5 0,5.
Кроме того, рассчитываем «индивидуальные» выходы: z1 f1 4, 5 4 2 4 2 5 2 ,
z2 f2 4, 5 2 4 4 2 5 8 .
Рассчитываем значение z по формуле метода центроида
|
N |
|
|
|
z |
αk zk |
0,25 2 |
0,5 8 6 . |
|
k 1 |
||||
N |
||||
|
0,25 |
0,5 |
||
|
αk |
|||
|
|
|
k
Пример 1.22. Рассмотрим контур управления напряжением бесщеточного синхронного генератора (БЩСГ) с применением нечеткого регулятора, реализующего, например, алгоритм Сугено-Такаги(рис. 1.25) [8].
65
Рис. 1.25. Структурная схема САР с нечетким регулятором напряжения БЩСГ
Линейные терм-множества фаззификатора регулятора приведены на (рис. 1.26).
Пусть текущее значение отклонения напряжения Ui = –0,17 ак-
тивизирует терм Н степенью принадлежности 0,66 и терм ОМ – степенью принадлежности 0,34.
Рис. 1.26. Линейное терм-множество фаззификатора: а – по отклонению напряжения; б – по производной отклонения напряжения
μUi Н Ui А13 0,66,
μUi ОМ Ui А12 0,34 ,
где Ui – дельта-функция; Ui – текущее значение отклонения напряжения; Ui 0,17; μ Ui H – степень принадлежности U i А13 (терм Н); μ Ui ОМ – степень принадлежности U i А12 (терм ОМ).
Пусть текущее значение производной отклонения напряженияU i = –0,17 активизирует терм Н степенью принадлежности 0,66 и терм ОМ – степенью принадлежности 0,34 или как показано на рис. 1.26.
μ Ui Н Ui А23 0,66,
66
μ Ui ОМ Ui А22 0,34, ,
где Ui – дельта-функция; U i – текущее значение производной отклонения напряжения; U i 0,17 ; μ Ui Н – степень принадлежности Ui А23 (терм Н); μ U i ОМ – степень принадлежности
Ui А22 (терм ОМ).
Находим степени принадлежности после операции минимум, где нечеткая импликация Т-типа (по Мамдани) определяется по формуле
μA B (x, y) μA (x) μB ( y) min[μA (x),μB ( y)]
или
α1 min[μ Ui Н ,μ Ui Н ] min 0,66;0,66 0,66,
α2 min[μ Ui Н ,μ Ui ОМ ] min 0,66;0,34 0,34,
α3 min[μ Ui ОМ ,μ Ui Н ] min 0,34;0,66 0,34,
α4 min[μ Ui ОМ ,μ Ui ОМ ] min 0,34;0,34 0,34
иопределяем «индивидуальные выходы»:
z1 μ Ui Н Ui μ Ui Н Ui 0,66 0,17 0,66 0,17 0, 22,
z2 μ Ui H Ui μ Ui ОМ Ui 0,66 0,17 0,34 0,17 0,17, z3 μ Ui ОМ Ui μ Ui Н Ui 0,34 0,17 0,66 0,17 0,17, z4 μ Ui ОМ Ui μ Ui ОМ Ui 0,34 0,17 0,34 0,17 0,12.
По методу центроида определяем выход:
4 |
|
|
|
|
z0напр |
i zi |
|
0,66 0, 22 2 0,34 0,17 0,34( 0,12) |
0,38. |
i 1 |
||||
4 |
2(0,66 0,34) |
|||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i 1
67
Иерархические системы нечеткого логического вывода
Для моделирования многомерных зависимостей «входы – выход» целесообразно использовать иерархические системы нечеткого вывода [6]. В таких системах выход одной базы знаний подается на вход другой, более высокого уровня иерархии. В таких системах отсутствуют обратные связи. Применение иерархических нечетких баз знаний позволяет преодолеть «проклятие размерности». При большом количестве входов эксперту трудно описать нечеткими правилами причинноследственные связи. Это обусловлено тем, что в оперативной памяти человек может одновременно хранить не более 7 2 понятийпризнаков. При большом количестве информации ее необходимо иерархически классифицировать, так как человек перерабатывает информацию по иерархическому принципу.
Второе преимущество иерархических баз знаний – компактность. На рис. 1.27 показана иерархическая система нечеткого вывода.
x1 |
|
|
|
|
f1 |
|
|
|
|
x2 |
|
у |
|
|
|
|
1 |
|
|
x3 |
у2 |
|
у |
|
f2 |
f4 |
|||
|
||||
x4 |
у3 |
|
|
|
x5 |
|
|
||
|
|
|
f3 x6
Рис. 1.27. Иерархическая система нечеткого вывода
Небольшим количеством нечетких правил в иерархических базах знаний можно адекватно описать многомерные зависимости «входвыход». Пусть для пяти лингвистических переменных используется по шесть терм. Тогда максимальное количество правил для задания зависимости у f x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 с помощью одной базы знаний будет
равно 56 15625. Как показано, для иерархической базы знаний количество правил будет 52 52 52 53 = 200.
68
1.10. Деффазификация. Способы реализации
Дефаззификация – операция перевода нечеткой информации в четкую информацию [9]. Известны методы дефаззификации; центр тяжести (centroid), центр медианы (bisector), наибольшего из максимумов (lom), наименьшего из максимумов (som) и центр максимумов (mom). На практике чаще применяют метод центроида и центр максимумов. Рассмотрим модифицированный метод центроида с целью сокращения объема вычислений и повышения быстродействия.
Дефаззификация модифицированным методом центроида
Необходимо определить минимальную координату абсцисс, соответствующую максимальной высоте (ординате) нелинейного объединенного усеченного множества после нечеткой импликации и нечеткой композиции.
Известны разные формулы расчета координат ЦТ фигуры по методу центроида. Одна из них [10]
x |
|
x x dx |
. |
(1.5) |
|
||||
цт |
|
x dx |
|
Формула (1.5) удобна в случае, когда функции принадлежности дефаззификатора есть синглетоны.
Известна формула вычисления абсциссы ЦТ линейных объединенных усеченных множеств (фигуры) с фиксацией координат ее характерных точек [11].
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЦТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
1 |
|
|
|
1 |
|
yi 1 yi |
|
|
|
|
|
0,5 |
yi xi2 1 |
xi2 0,5xi xi 1 xi yi 1 yi |
|
xi3 1 |
xi3 |
|||||
|
3 |
|
||||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
xi 1 xi |
|
, (1.6) |
|||
|
|
|
|
n 1 |
xi 1 xi yi 1 yi |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
i 1
где xi , yi – координаты характерных точек элементарных фигур, опре-
деляющих границы i -результирующего нечеткого множества (фигуры). Расчет координат ЦТ фигуры по формуле (1.6) требует знания координат характерных точек элементарных фигур и имеет фиксирован-
ную точность, которая зависит от формы фигуры.
69
Далее приводятся формулы определения координат ЦТ фигуры, которые предполагают равномерное разбиение фигуры по оси абсцисс с построением i -прямоугольников разной высоты с расчетом центра тяжести каждого прямоугольника [9].
|
|
x |
= Si xцтi , |
|
(1.7) |
|||
|
|
цт |
Si |
|
|
|
|
|
|
|
y = |
0,5 f ( yi )Si |
, |
|
(1.8) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
цт |
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Si = f(xi ) xi |
– площадь i-прямоугольника; |
f xi – высота i-пря- |
||||||
моугольника; x |
i |
– ширина i-прямоугольника; |
x |
= |
xi+1 xi |
– значение |
||
|
||||||||
|
|
|
|
цтi |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
абсциссы ЦТ i -прямоугольника.
Недостатком применения формул (1.7) и (1.8) является большой объем вычислений и снижение быстродействия формирования управляющего воздействия на объект.
С целью повышения быстродействия расчета координат ЦТ и снятия ограничений на характер функции y f x рассмотрим прибли-
женный алгоритм на основе неравномерного разбиения по оси абсцисс фигуры объединенного усеченного множества с построением i -прямоугольников равной площади [20].
Пусть объединенное усеченное множество описывается функцией y f x и сложная фигура расположена на интервале [a, b] по оси абс-
цисс.
Предлагается следующий алгоритм вычисления координат ЦТ фигуры:
–площадь S 1;
–разбиваем сложную фигуру на n простых фигур с неравномерным разбиением по оси абсцисс, причем площади этих фигур должны
быть одинаковыми и равными S n 1 . Число разбиений n определяется из соотношения n 2 F 1 , где F – абсолютная погрешность воспроизведения функции y f x ;
– задаемся приращением C изменения координаты абсциссы, которое должно быть хотя бы на порядок меньше, чем в a n 1 ;
70