- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2. Определение частотных характеристик динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Определить y(t), если у(0) = 0; у{0) = 0.
- •ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7. Фазовый портрет (фазовые траектории) динамической системы
- •Теоретические сведения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Р.А. Файзрахманов, И.Н. Липатов
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО КУРСУ «ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ»
Часть 1 Линейные детерминированные системы
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
УДК 681.51 Ф17
Рецензенты:
д-р экон. наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ Н.И. Артемов (Государственный научно-исследовательский институт
управляющих машин и систем); д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Информационные техноло
гии и математические методы в экономике» А.Н. Румянцев (Пермский государственный университет)
Фанзрахманов, Р.А.
Ф17 Решение задач по курсу «Теоретические основы автомати зированного управления». Ч. 1. Линейные детерминированные системы: учеб, пособие / Р.А. Файзрахманов, И.Н. Липатов. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 95 с.
ISBN 978-5-88151-916-2
Изложены вопросы практического применения теории автоматического управления. Приводятся теоретические сведения, решения типовых задач и зада чи для самостоятельного решения по основным разделам курса «Теория автома тического управления».
Предназначено для студентов специальности 230102 «Автоматизирован ные системы обработки информации и управления», направления 230100 «Ин форматика и вычислительная техника» дневного и заочного обучения.
УДК 681.51
ISBN 978-5-88151-916-2 © ГОУ ВПО «Пермский государственный технический университет», 2008
ВВЕДЕНИЕ.............................................................................. |
4 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1. Определение дви |
|
жения динамической системы..................................................... |
6 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2. Определение час |
|
тотных характеристик динамической системы........................ |
16 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3. Определение весовых |
|
Mt) и переходных h(t) функций динамических систем.............. |
24 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4. Проверка динами |
|
ческой системы на устойчивость по критерию Гурвица....... |
31 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5. Точность линейных |
|
систем управления (установившаяся или статическая ошиб |
|
ка системы управления) |
39 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6. Определение сиг |
|
нала на выходе системы управления (определение ошибки |
|
системы управления) |
45 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7. Фазовый портрет |
|
(фазовые траектории) динамической системы......................... |
61 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8. Определение пара |
|
метра динамической системы, обеспечивающего минимум |
|
интегрального показателя качества............................................. |
81 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................................... |
92 |
ПРИЛОЖЕНИЕ. Таблица преобразований Лапласа..... |
93 |
Вокружающем нас мире повсюду протекают различные процес сы управления. Управление - организация того или иного процесса, которая обеспечивает достижение определенных целей. Наука о про цессах управления и их общих закономерностях называется теорией управления.
Всвязи с повышением требований к эффективности управления всеми отраслями народного хозяйства возникла необходимость науч ной организации всех процессов управления, в том числе и осущест вляемых с участием людей. Это выдвинуло перед теорией управле ния новые задачи. Если раньше было достаточно уметь исследовать процессы автоматического управления техническими устройствами, то теперь необходимо исследовать и рассчитывать также процессы управления сложными системами, содержащими коллективы людей,
спомощью систем управления, в которых главную роль играют люди
-соответствующие руководители. Поэтому теория управления пере стала быть только теорией автоматического управления. В ней поя вилось новое научное направление - теория автоматизированных систем управления (АСУ). Теория автоматического управления стала лишь частью общей теории управления.
Теория автоматического управления - это наука об управлении, изучающая задачи анализа и синтеза систем автоматического управле ния (САУ). Основные задачи теории автоматического управления - это:
- анализ САУ, т.е. анализ устойчивости, структурных свойств, динамических показателей качества, точности;
- синтез САУ, т.е. синтез алгоритмов (аналитических выраже ний), описывающих блоки системы и их связи и обеспечивающих заданное (может быть, оптимальное) качество управления.
Современная теория управления занимает одно из ведущих мест
втехнических науках и в то же время относится к одной из отраслей прикладной математики.
Вучебном пособии рассматриваются линейные детерминиро ванные системы управления.
Детерминированной называется система, которая отвечает на один и тот же входной сигнал всегда одним и тем же вполне опреде ленным выходным сигналом.
Так как любая система осуществляет преобразование функций - каждой данной функции на входе ставит в соответствие определен ную функцию на выходе, - то каждой детерминированной системе соответствует вполне определенный оператор. Этот оператор называ ется оператором системы. Оператор системы обычно коротко обо значают одной буквой. Тогда соответствие между входной функцией системы x(t) и ее выходной функцией y(t) можно корректно запи сать в виде
y(t) = Ax(t),
где А - оператор системы. Буквой А обозначена вся совокупность математических действий, которые нужно произвести, чтобы по дан ной входной функции x(t) найти соответствующую выходную функ цию системы y{t) .
Оператор системы является полной, исчерпывающей ее характе ристикой. Оператор А называется линейным, если при любых чис лах п9с19---9с„ и при любых функциях х,(0,---,хл(0
л| Е с/*До| = Е с,л*,(0-
Динамическая система называется линейной, если ее оператор линеен. С целью более глубокого изучения теории линейных детермини рованных систем управления в учебном пособии решаются практиче ские задачи по определению движения динамической системы, нахо ждению временных характеристик (весовая функция и переходная функция) системы, определению частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) системы, исследованию на устойчивость системы по крите рию Гурвица, нахождению статической ошибки системы управления, определению сигнала на выходе системы управления, нахождению ошибки системы управления, построению фазового портрета системы; определению какого-либо параметра системы управления, при кото
ром обеспечивается минимум интегрального показателя качества.
По каждому практическому занятию приводятся теоретические сведения, дается решение типовых задач и предлагаются задачи для самостоятельного решения. В учебном пособии имеется приложение, в котором приведена таблица преобразований Лапласа.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1. Определение движения динамической системы
Теоретические сведения
Поведение динамической системы описывается дифференциаль ным уравнением второго порядка
|
m + Pyit) + qy{t) = kJ{t), |
(1.1) |
где |
d 2y(t) |
dy(t) |
р, q, к0 - постоянные коэффициенты К 0 = — - — ; |
y(t) = —-— ; |
|
|
at |
at |
f(t) |
- некоторая входная функция времени; t - время. |
|
|
Решение y(t) уравнения (1.1) состоит из двух частей |
|
|
у(0 = уЛ 0 + уМ |
(1-2) |
где yc(t) - собственное движение динамической системы; y B(t) |
-вы |
|
нужденное движение. |
|
|
Для (1.1) известны начальные условия: |
|
|
j'CO)= |
Х ° ) = д'о- |
С1-3) |
Определим сначала соотношения для определения собственного движения. В (1.1) полагаем правую часть равной нулю. Тогда (1.1)
примет вид |
|
КО+рКО + яу(0 = 0. |
(1.4) |
Дифференциальному уравнению (1.4) соответствует характери |
|
стическое уравнение |
|
r2 + pr + q = 0. |
(1.5) |
Собственное движение yc(t) определяется соотношением |
|
yc(t) = C ^ l +C2er^ |
(1.6) |
где гр г2 -вещественные различные корни уравнения (1.5). |
|
Для случая комплексных корней гх2 = а ± /р, yc(t) |
имеет вид |
Ус(*) = еШ(Р\cosp/ +C2sinPO- |
(1.7) |
Для случая гх=г2 = г имеем |
|
Л (0 = (С1+С 2/К / |
(1.8) |
Если уравнение (1.4) принимает вид
y(t) + k2y(t) = 0, |
(1.9) |
ТО |
|
ус(/) = (С, cos Xt + С2 sin Xt). |
(1-10) |
Пусть уравнение (1.1) имеет вид |
|
Я 0 + Ж 0 + « К 0 = д А |
(1-П) |
где а и к -постоянные величины.
Определим вынужденное движение yB(t). Введем обозначение
Ф(г) = r2 + pr + q. |
0 - 12) |
Вынужденное движение ищем в виде |
|
* ( /) = V , |
(1-13) |
где А} - искомый коэффициент.
Подставим (1.13) в (1.11). В результате получим
(р(к)Л1= а
или
4 = Ф(к) (1.14)
Если к не есть корень уравнения (1.5), т.е. ср(к) * О, то из уравнения
(1.14) определяется А}. |
|
Из (1.2) имеем |
|
Я 0 = Л (0 + 4 Л |
(1.15) |
где yc(t) определяется (1.6) или (1.7) или (1.8) или (1.10). Определим
СРС2 для случая, когда yc(t) определяется (1.6). Получим
У(0) = Уо=С]+С2 + А1,
У(0) ~ Уо ~ |
+ ^2гг |
4^\ |
Из системы уравнений (1.6) определяем |
С,,С2. Таким образом, ре |
шение у(0 определено. Положим, что к есть простой корень уравне
ния (1.5), т.е. ф(А) = 0, но ф(А)*о. В данном случае будем |
искать |
решение уравнения (1.11) в виде |
|
У.(0 = 4 * ь |
(U 7 ) |