книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdfdCA _ dt
dCя _
-
dt
(3.24)
dCs_ _ dt
dCи _
— k{CACB + k2CRCs,
l dt
где k\, k2 - константы скоростей соответственно прямой и об ратной реакций; СА, Св, Сд, Cs - концентрации соответствующих веществ.
Ставится задача определить кинетические кривые для из
вестных |
констант скоростей |
к{ =0,5; |
к2 =0,25 и начальных |
|||||
концентраций реагентов: |
|
|
|
|
|
|
||
СА0) = Св0) = 1 (нормальные концентрации); |
|
|
||||||
С}°} =С(.0) = 0 |
(в начале реакции |
вещества R и S |
отсут |
|||||
ствуют). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следуя работе [17], введём степень превращения х(0 |
ос- |
|||||||
новного |
исходного |
вещества |
А в момент |
времени |
t |
(при |
||
С{Г = О: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%(0 = Сл(0г! |
^ |
(t) = (1 - с , (0). |
(3.25) |
||||
Если |
принять |
условные |
обозначения |
СA(t) = y(t) = |
= у{х) = y \ t = x и учесть (3.25), то систему (3.24) можно преоб
разовать к виду |
|
— + (&, - к 2) у 2 + 2к2у - к 2 =0. |
(3.26) |
dx |
|
Уравнение (3.26) есть частный случай общего уравнения Риккати типа
— + bx(x)y2 + b2 (x)y - b3 (x) =0, |
(3.27) |
|||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
где bx(*) = bx=k2 - k x; |
b2(x) = b2 = 2k2; |
b3(x) = b3 = - k 2 = const. |
||||||
Тогда уравнение (3.26) допускает разделение переменных, |
||||||||
которое позволяет сразу получим общий интеграл |
|
|||||||
|
|
|
|
dy |
|
|
||
|
|
b,y2 + b2y + b , |
|
|||||
Для нашего случая |
|
|
|
|
|
|
||
с - х = J |
|
dy |
|
(3.28) |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
(к, к2)у +2к2у к2 |
|
|||||
Преобразуем квадратный трехчлен знаменателя (3.28) пу |
||||||||
тем выделения полного квадрата: |
|
|
|
|
||||
(*i ~к2) у 2 + 2к2у - к 2 = (кх- к 2) |
У +к \ - к 2 j |
кгк\ |
||||||
(кх- к 2) |
||||||||
|
|
|
|
\ |
||||
Используя табличный интеграл вида |
|
|
||||||
, |
г |
бы |
1 |
In |
и - а |
+с,, |
|
|
1= |
Г—=----т = |
|
и + а |
|
||||
|
и 2- а 2 |
2а |
|
|
||||
получим для (3.28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
J- |
d \ У |
+ к} |
к2 |
|
|||
(*1 к2) |
У + |
|
|
|
7*2 *i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
к2 j |
(кх - к2 |
|
|||
|
|
к] |
|
|
Подставим исходные данные в уравнение (3.28): 7*i -к2 =70,5-0,75 = 0,35;
k2 -yfQTy |
_ 0,25-0,35 |
кх- к 2 |
~ 0,5-0,25 ' |
к2 ■*"yjк2кх ^ 0,25 + 0,35 |
|
кх- к 2 |
~ 0,5-0,25 |
Получим с —JC= 1,43 - In У-0,4 у + 2,4
Найдем теперь постоянную С] из начальных условий у(0) = 1; отсюда С, = 1,43-lnO, 176 = -2,47.
Выражая у как функцию от х, получим
0,4 + 0,118-е~°’7*
1-0,49-е43'7-'
Сделаем окончательную замену
0,4 + 0,118-е~°'7'
1-0 ,49-е'0'7'
Взаключение отметим, что рассмотренные задачи п. 3.2 привели нас к трансцендентным функциям, взятым над полем
действительных чисел.
3.3. Некоторые нелинейные системы дифференциальных уравнений первого порядка
вприкладных задачах химической кинетики
Врамках этого пункта остановимся лишь на задачах, встречающихся в химической кинетике, которые классифициро ваны в табл. 3.1. При этом будем придерживаться общих заме чаний, сформулированных в п. 3.1.
Задача 1. Найти концентрации С|} С2, С3 реагирующих веществ для реакций типа I табл. 3.1 при постоянной температу ре Т =Т0 = const и приведенных скоростях реакций К* - К \ =
= К] = 1 для заданных начальных условий:
^ ( 0 ) Л ; у2(0) = ^ ; у3(0) = | .
С учетом табл. 3.1 составим следующую систему:
dу,
- ± = -у 2+У3,
ах
^ = У ? ~ У г - r , ( 0) = Уг(0) = J , У,(0) = J |
(3.29) |
dy3
dx = ^i -З'з-
Легко проверить, что система (3.29) удовлетворяет услови ям теорем Пеано и Осгуда. Следовательно, она разрешима.
Решаем эту систему методом интегрируемых комбинаций [9]. Вычитая из первого уравнения (3.29) системы второе и складывая с третьим, получим
— - |
= |
0. Отсюда у, у 2 + у 3 =с,. |
(3.30) |
dx |
dx |
dx |
|
Используя это равенство, находим |
|
||
|
у, =с, +с2ех, |
|
|
|
<у 2 =С\ + (2с,с2х + с3)ех + с\е1х, |
(3.31) |
|
|
Уъ=У7-У\+С\' |
|
Выделим теперь из общего решения системы (3.31) частное решение, используя начальные условия (3.29)
Г1 2 - с 2 +С|,
<^ = с ? + с з - с 2, |
(3.32) |
Решение системы (3.32) дает с, =1; |
с2 = |
с3= — |
Подставим найденные значения с,, |
с2 и с3 в систему (3.31) |
Л “ 1- * + — е - х - - * е - 2 * ,
ч
у 3=1-хе-х - - е ~ 2х
34
Сучетом обозначений кинетики химических реакций полу чаем ответ:
с,(0 = 1-0,5<Г',
<c2(0 = l-Oc + 0,5)e''-0,25e"2\ |
(3.33) |
c3(t) = 1-хе~‘ - 0 , 25е~2'
Задача 2. Задача о нахождении концентраций реагирую щих веществ как функций времени t при постоянной темпера туре и приведенных скоростях реакций (равных единице).
Остановимся на задаче второго типа системы (3.6) из табл. 3.1. Система имеет вид
а^у- = ф - с ) у 2у 3,
QX
. Ь^ = (с - а )у 1Уз, |
(3.34) |
ах |
|
с ~т^ = (а ~Ь)У\У2, |
|
due |
|
где у {, у 2, у 3 - концентрации реагирующих веществ, |
t = х - |
время, а, Ь, с - некоторые действительные произвольные пос
тоянные.
ешаем систему, как и в случае задачи 1, методом интегри руемых комбинаций. Система (3.34) удовлетворяет условиям теорем Пиано и Осгуда, следовательно, она разрешима. Умно жим первое уравнение системы (3.34) на у х, соответственно
второе ~на у 2 и третье - на у ъ и сложим. Приходим к первой комбинации
dy |
dy |
|
|
dx |
dx |
dx: |
|
Отсюда |
|
|
|
аУ\ + by2 + су2 —c ,. |
(3.35) |
Составим теперь вторую интегрируемую комбинацию, для чего первое уравнение системы (3.34J умножим на а , второе
уравнение умножим на Ъ и третье уравнение умножим на с и сложим
a V , ^ |
+ 6!>! |
^ |
+ c1> , ^ |
= 0. |
Hr |
2 |
дх |
J |
|
Отсюда |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
a 2y l + b 2y l + c 2y l = c 2. |
(3.36) |
Объединим полученные комбинации в систему
\ау2+Ьу\ +су2 =с„
(3.37)
\ a 2y 2+b ly 2 y c 2y l = c 2.
Для простоты дальнейшего изложения положим в системе (3.37) о = 1; b = - 1; с = 2. Тогда система имеет вид
у] - у 2+ 2у\ = с,,
(3.38)
у \ + у \ + *у\ =с2.
Решаем систему (3.38) относительно у 2 и у3. Складываем пер вое уравнение системы со вторым
2у] + 6уг |
= с, + с2, |
_Cj+c2 - 2 у,2 |
(3.39) |
отсюда у\ = |
Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второ го, получим
- у ] + Зу2 = с 2 - 2сI. отсюда у\ =^ —2с-' +- У] . (3.40)
Тогда из (3.39) и (3.40) найдем
у з =± 1 |
< |
; Т2 =±1 |
\сг - 2 с {+у, |
(3.41) |
Условимся в дальнейшем в равенстве (3.41) выбирать только положительные знаки. Найденные значения у 2 и у3 подставим в первое уравнение данной системы
dyL = _3 /с, + с22yf |
|
\с2- 2 с х+уI2 |
(3.42) |
|||
dx |
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|||
Возведем в квадрат равенство (3.42) и преобразовав |
||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
4У| |
= 1 ( с\ + С2 ~ 2У\ )(С2 ~ 2с\ +У\)- |
(3-43) |
||||
dx |
||||||
|
|
|
|
|
||
Для уравнения (3.43) введем обозначения |
|
|||||
|
\с,+с2=а, |
|
|
|||
|
[с2 - 2 с( = Ь. |
|
||||
С учетом обозначений уравнение (3.43) запишется так: |
||||||
|
|
f г, |
\ |
. ab |
|
|
|
( y \ ) 2 = y t - |
61 |
L |
У, + у |
(3.44) |
|
|
—+ 6 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
Если теперь ввести дополнительные обозначения
то равенство (3.44) можно записать так: |
|
|||
(т!) |
= У\ + АУ\ +В |
(3.45) |
||
|
||||
Пусть правая часть (3.45) |
есть |
функция Ц>(У\) = У? + АУ\ +В- |
||
Если подвергнуть у , дробно-линейному преобразованию [6] |
||||
а и, + р |
|
(3.46) |
||
уи]+6 , D = |
||||
|
||||
то рациональная функция |
ф(>,1) |
превратится в некоторую ра |
циональную функцию от и, и корня квадратного из какого-то нового многочлена. При подходящем подборе чисел а , Р, у
и 6 можно получить этот многочлен в виде
'¥ (и\) = Ъ0и? + 46lwI3 + 662м,2 + 4Ь3у + Ь4 |
(3.47) |
Коэффициентами преобразования (3.46) естественно рас порядиться так, чтобы новый многочлен имел особо удобную форму. Такой формой является каноническая форма, записанная в виде
'r(«,) = 4 « ! - g 2u , - g 1. |
(3.4S) |
В (3.48) g 2 и g 3 назовем инвариантами, которые определяются
через коэффициенты функции |
равенства (3.47) |
|
ёг ~ Ъ0Ъ4- 4Ь}Ь3+ ЗЬ2, |
(3.49) |
КЬ2
ёг = |
Ъг Ъг |
Ъ2 Ъъ ЪА
Введем величину
g\
g l - v g l
и назовем ее абсолютным инвариантом.
Таким образом, мы показали, что уравнение (3.45) может
быть преобразовано к дифференциальному уравнению |
|
/ , 2 = 4 ^ - g 2y , - g 3, |
(3.51) |
которое приводится к функции Вейерштрасса х(х)- Из этого уравнения вытекает, что
Х = ± 1 I з ^ |
(3.52) |
V4Ti - g 2yi~g3 |
|
где у х= х(* + С*), х{х) - функция Вейерштрасса.
Интеграл (3.52), называется эллиптическим интегралом первого рода, рассмотрен нами в пункте Д. 2.4.
Зная решение у^ формулы (3.52), не составит труда найти у2 и уз системы (3.34). Таким образом, задача полностью решена. Отметим то обстоятельство, что функция у(М|) - есть многочлен четвёртой степени, не содержащий кратных корней.
В заключение этого пункта остановимся на частных слу чаях полученного уравнения (3.43)
Пусть —= b , тогда можно записать
Ш |
= ( * - л г) или^ = ± (г’- л 2) |
(3'53) |
и уравнение распадается на два уравнения (случай кратных корней)
i6dx-‘ = b - y ; ,
|
|
|
4уi _ .. 2 |
, |
|
||
|
|
|
~7~ |
У\ ~ b |
|
||
|
|
|
ax |
|
|
|
|
Решаем сначала уравнение (3.54) |
|
||||||
|
|
|
dyx |
|
-\dx + c'3 |
||
|
|
^ У\~Ь |
|||||
|
|
|
|
|
|||
(интеграл типа { |
dи |
= — In |
u - a |
|
* \ |
||
|
|
ил-a |
+ c ). |
||||
и12- a 2 |
2a |
|
|||||
1 |
In |
Уl |
-4ъ |
——x + c |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|||
24b |
|
УI |
■ 4b |
|
|
|
|
Выразим y\
1+ c3e -2уГЬх
Уi = l - c 3e - 2 y f b x 9
(3.55)
(3.56)
c ' l S
где съ —z?е 3
Функция у i будет существовать при условии, что
1 - съе~2'^’х Ф 0, отсюда с3е~2^ х Ф 1.
С учетом введенного обозначения Ь = с2 - 2с, окончатель
но получим |
|
|
|
|
|
1 + с3е~2'1с2~2с'х |
|
|
У\ = |
(3.57) |
|
|
|
\ - с ге~2^Сг~1с'х |
|
Найдём |
|
|
|
Пт |
у | = |
1 + с,е° |
1 + С-, = с = const, |
д:—>0 |
|
1 -с 3е |
1 -с 3 |
|
|
Xlim- t - K O ^ |
1+ 0 |
|
|
~~\—о = 1‘ |
|
|
|
|
1—0 |