книги / Функции комплексного переменного и их приложения

При р < О направление стре­ лок на рис. 2.16 изменится на про­ тивоположное. При р = ipx изо­ бражение на рис. 2.16 следует по­

те вернуть на угол — против часовой

стрелки	при	рх>0 и по часовой
стрелке	при	рх<0 . Если р е С ,
то исходящая из точки z = О пря­
молинейная линия тока (называе­

мая осью диполя) будет направлена под углом arg(-p) = a r g p - 7t.

Поле диполя с комплексным моментом можно получить, сближая вихреисточники с противоположными значениями комплексных интенсивностей зарядов при условии, что интен­ сивности вихреисточников возрастают обратно пропорциональ­ но расстоянию между ними.

В частности, изображенное на рис. 2.16 поле может быть образовано двумя вихрями с интенсивностями Г и - Г , причем первый из них стремится к точке z = 0 вдоль отрицательной ветви мнимой оси, а второй - вдоль ее положительной ветви.

Для любого	замкнутого контура	L , охватывающего ди­
поль, можно записать [7]
с\ f ( z ) A z = §W ( z ) d z = - - ^ - cf —j- = 0 .
L	l	|z|=rz

Отсюда следует, что поток и циркуляция для любого замк­ нутого контура в поле диполя равны нулю.

Задача 2. Исследовать электростатическое поле внутри плоского конденсатора.

Будем считать, что вдали от краев конденсатора электро­ статическое поле однородно с постоянным по значению моду­

лем Е0 = |E (Z)| = ^ ~ вектора напряженности Е (z), где AV - 2И

разность потенциалов на пластинках конденсатора, 2h - рас­ стояние между пластинами [7].

Учтем, что вектор напряженности электростатического по­ ля связан с потенциальной функцией ®(z) плоского векторного

поля в комплексной плоскости (z) соотношением (см. рис. 2.1)

E(z) = grad O(z) = - grad Ф(г),

(2.40)

где <I>(z) = -(I>(z) - электрический потенциал поля.

Однако однородность электростатического поля вблизи краев пластин нарушается. Рассмотрим это поле около одного края пластин, пренебрегая влиянием другого края. Тогда задачу можно свести к нахождению поля во внешности двух лучей Imz = ±/2, R ez<0 (рис. 2.17).

Каждый из лучей является следом пластины конденсатора

в комплексной плоскости (z), перпендикулярной					её	краю,
и благодаря		хорошей		проводимости пластины будет		линией
равного	потенциала		0	(z) = const. В силу симметрии действи­
тельная	ось	lmz = 0	также будет линией равного потенциала,
причем	если	для указанных лучей соответственно			положить

0 (z) = ±K(2F = ДК), считая электрический потенциал верхней

пластины отрицательным (ф = -Ф = -V < 0), то для действи­

тельной оси получим Ф ^ ) = 0. Поэтому достаточно построить

электростатическое поле лишь в области D , которая представ­ ляет собой верхнюю полуплоскость Imz > 0 с разрезом по лучу lmz = h , Rez < 0

Задачу рассматриваемого электростатического поля можно упростить, если отобразить область D на полосу 0 < Imco < V так, чтобы лучу Imz = h, Re z < 0, проходящему дважды в про­

тивоположных направлениях, соответствовала прямая	Imco = V ,
а действительной оси Im z = 0 - действительная ось	Imco = 0.

Поле в такой полосе между двумя параллельными прямыми, яв­ ляющимися линиями равного потенциала, будет однородным, причем все линии равного потенциала Imco = v = const (О < v < V)

и	f ясо	71 СО \
z — —	е v	+ 1 + ---------
к	\	V /
<		О

LO

г= *($ + 1+ 1п$)

К

▼с:

Рис. 2.17

будут параллельны действительной оси Imco = 0. Область D в полуплоскости Imz > 0 представляет собой внутренность тре­

угольника		А]А2А3 с двумя вершинами А1 и А3 в бесконечно
удаленной точке z =оо и вершиной					А2 в точке	z = ih, причем
углы при		вершинах кратны	п	с	коэффициентами		а, = - 1,
а2 =2	и	а3 = 0 соответственно		[6]. Отобразим		полуплоскость
ImE, > 0	на внутренность этого треугольника так, чтобы прооб­
разами его вершин были соответственно точки						= °о,	=-1
и = 0	действительной оси		Im!; = 0 . Используя интеграл Кри-

стоффеля-Шварца и учитывая, что множитель в подынтеграль­ ной функции, относящийся к вершине А{, выпадает, получим

z = a ) ^ - ^ - ' ^ - ^ - ' d ^ + b = a ) ^ - d ^ + b =

S«,	So S
S	S A t	(2.41)
= а	+ a \ - ^ + b = a^ + a\n^ + b],
So	So £

где 6, = b - a^0- a In .

Поскольку при отображении (2.41) положительная полуось действительной оси Im!; = 0 переходит в действительную ось

Imz = 0 и Imz —х —> +оо при Im!; =!; —» +оо, то a,b} е R, причем

а>0	Образом точки !; = -1		при этом		отображении	является
точка	z = //z, т.е. ih = -a + aln\-l\ + ina + bl Отсюда а = Ь] = — .
					h	7С
Таким образом, из (2.41) следует, что z(^) = —(£, +1 + InE,)
					к
Функция £ = 6,“		отображает		полосу	0 < Imcoj < к	на верх­
нюю	полуплоскость	Im!; > 0	(см.	п. Д.	2.4), причем	действи­

тельная ось Imco, = 0 переходит в положительную полуось дей­ ствительной оси Im!; = 0 , а прямая Imco, = п —в её отрицатель­

ную полуось. Заменив в этой функции со, на	и подставив
в (2.41), найдем отображение

( \ h	Т Г	, 7ZC0	(2.42)
	V	+1 + ---
n
переводящее полосу 0<Imco<F		в область D	(см. рис. 2.17).

При этом прообразом точки z = ih является точка со = iV Выделим в (2.42) действительную и мнимую части, поло­

жив со = U + iV,

и используем формулу Эйлера

л (

7LV

.

7CV ^

h

, и + /v

z - x + iy = —е '

COS—

+ zsin---

н---- \- h-------

п

V

J

п

V

f

пи

пи

7CV

Л

h

{nv

n u r r .

—

+

-he

1н----- +

е v cos —

1 — —

Fsin —

V

V

V

)

n

V J

Отсюда получаем параметрические уравнения

h

тги

TLU

“ГГ

K V

Х - —

1 + —

+ e v

cos

V

к

V

(2.43)

У = '

7CV

т г .

K V

- +

е к

sm-

линий

равного

потенциала

Ф(г) =const

(при v = const) и си­

ловых

линий

\|/(z) = const

(при

и =const)

электростатического

поля в зоне края пластин конден­

сатора.

Поскольку в (2.42) х является

четной

функцией v,

а у

-

нечет­

ной, то эти уравнения справедливы

при -V <v < V

т.е. в нижней

по­

луплоскости

Imz < О

На рис. 2.18

представлены

сплошные

линии

равного

потенциала и штриховые

силовые линии, причем согласно (2.40) стрелки указывают на­ правление вектора E (z ), касательного к силовым линиям.

Выясним, как изменится модуль E(z) = |E(z)| вектора на­

пряженности построенного поля вдоль линии равного потен­

циала Ф(г)|	= Ф, = const, соответствующей некоторому фик­
сированному	значению v = v, (0 < |v,|< F ). Поскольку вектор

Ё(z) напряженности в силу (2.40) перпендикулярен линии									Ф ,,
то Е =	dv	, где	dS1 - дифференциал длины дуги силовой
	dS	v=v,
линии	'Р(г)!	= 'Р ,= const		соответствует некоторому фикси-
рованному значению и - щ				Дифференцированием (2.42) по v
при и =м, = const найдем
				71V				\ 2
dS = j d x 2+dy2 =			---- e "			К	71 - r r	71V	dv =
				sjn-	+	--- 1— в v		cos —
						V	V	V
		,	2 n u {	n U\		7cv
		h	L -гг	_ ~ rr
		= —<l + e v		+2e	1 cos— dv
		л V				V
В результате для произвольного u e R							получаем
		Е =					V_
			2п и	п и		Е0 = h '
		/1+ е v +2ev cos ^ 7-

Согласно (2.43) x —> -00 при и —» -со, т.е. образ любой точ­ ки со при отображении (2.42) удаляется влево от правого края пластин (см. рис 2.18), если Reco = и неограниченно убывает. В этом случае из (2.43) следует, что Е —> Е0 = const, т.е. элект­ ростатическое поле конденсатора с удалением от края пластин действительно приближается к однородному. Приближению точки z к ih соответствует приближение точки со к точке iV

i V , что можно описать условиями м->оо и Vj->F в (2.43). Но

при этих условиях корень в знаменателе стремится к нулю, т.е. в окрестности точки края пластин напряженность поля не огра­ ничена.

Для нахождения экстремума функции Е{и) п р и её из­

менении вдоль линии равного потенциала Ф1 достаточно найти экстремум выражения под знаком корня в (2.43). Согласно не­ обходимому условию экстремума приравниваем к нулю произ­ водную подкоренного выражения:

2 п и

пи

l + e ~ + 2 e ^ c o s ^ - = 0.

V

Отсюда приходим к равенству

пи

17Л V,

гу +cos— - =0 ,

V

которое выполняется при условии — <\vx\<V когда косинус

отрицателен.

Минимум выражения под знаком корня в (2.43) соответст­ вует значению

* V .	щ
и* = —In cos— - ,
7Г	V

т.е. максимальное значение модуля вектора напряженности равно

Е* =

1 + cos2 — — 2cos^ ——	sin-
	У

Задача 3. Исследовать электростатическое поле, создавае­ мое тонким заряженным проводником, помещенным между двух параллельных заземленных пластин.

Это электростатическое поле можно рассматривать как плоскопараллельное, а его исследование проведем в поперечном

сечении. Выберем расположение комплексной плоскости (Z)

так, что заземленным пластинам будут соответствовать прямые Imz = О и Imz = tf > 0 , а тонкому заряженному проводнику, параллельному пластинам, - точка z0 =ih , h < Н (рис. 2.19).

Потенциал пластин примем равным нулю, а приходящийся на единицу длины проводника заряд - равным q > 0 Таким об­ разом, приходим к плоскому электростатическому полю в поло­ се D между прямыми Imz = О и Imz = # > О, создаваемому то­ чечным зарядом q >0, помещенным в точку z = ih . Прямые, ограничивающие полосу, совпадают с нулевой линией равного потенциала O(z) = 0

Функция

			n z
	оз = е^= е"			(2.45)
конформно отображает полосу			D на верхнюю полуплоскость
lm z>0 (см. рис. 2.19).
				nih
При	этом образом точки		z = ih является точка со0 = е н
а образом	прямых lmz = 0	и	Im z = H	- действительная ось
		юИ
Imco = 0. Если в точку <й0 = е		н	поместить заряд - д , то эта ось

будет линией равного потенциала для поля, создаваемого двумя разноименными зарядами, находящимися в точках со0 и ш0 Комплексный потенциал такого поля согласно [20] имеет вид

(2-46)

2л СО - (On

Подставив выражения для со0, со0 и (2.45) в (2.46), найдем комплексгекный потенциал

	тсz	nih		~ ^ ~ ( z - i h ) — — ( 2 - i h )
	,Н	- р 1 Т	п
				р 2Н	' _ p 2WV	'

W(z) = -2-	In- ---------т~ = — • In----
2л	”	~	2л	^rj^+ih)
				,2Я'
			вЬл г -	//г
		= -^ -ln -	2Я
		2л	shn г + ih
			2Я

------

-Jt-(2+ih)

- е

(2.47)

Выделим в (2.47) действительную и мнимую части, полу­ чим уравнения

, 2	Г О С	. 2		y - h
sh	—	+ sm	л-
	2Н				- const,
I 2	Г О С	. 2		У + Л
			л
sh	---- + sin			2Я
	2Я
	,	лх .	лй
	sh	----sin —
	лу	Я		Я	= const
		, лх		nh
cos — - c h ----cos —

ЯЯ Я

линий равного потенциала и линий тока соответственно, изо­ браженных на рис. 2.20 сплошными и штриховыми линиями.

Согласно (2.40) вектор напряженности Е(z) связан с ком­

плексным потенциалом Л'(г) соотношением E(z) = W'(z) , так

как в силу (2.10) градиент потенциальной функции RefV(z) есть векторное поле, описываемое комплексным потенциалом W (z ) Дифференцированием (2.47) находим

. z-ih

С П 7 1 --------------	тс
2Н
2Я	2Н	)

Направление вектора E(z), касательного к силовым лини­

ям, указано на рис. 2.20 стрелками.

Отметим, что (2.46) описывают электростатическое поле тонкого проводника, параллельного заземленной поверхности

и находящегося от неё на расстоянии 1шсо0 = s in - ^ - d > 0 .

Н

Линии равного потенциала (сплошные) и силовые линии (штриховые со стрелками) этого поля являются дугами окруж­ ностей и представлены на рис. 2.21.

Пусть проводник радиусом г расположен параллельно за­ земленной поверхности, ось проводника находится на расстоя­ нии / от поверхности, а на единицу длины проводника прихо­

дится заряд q >0 Поверхность проводника в плоскости (Q)

будет изображаться окружностью, которая является линией рав­ ного потенциала.

Проводник радиусом г можно, не изменяя электростатиче­ ского поля, заменить тонким проводником, расположенным на

расстоянии d —л//2 —г2 от заземленной поверхности. Выделим в (2.46) действительную часть

ReJF(z)'=<P (©) = -?-. In — ^		(2.48)
2я	©- со0