книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел
..pdfГЛАВА 6
Оценка работоспособности конструкций
из композиционных материалов
на основе структурных критериев разрушения
Рассмотренная в предыдущей главе постановка краевой задачи механики структурно неоднородных тел вызвана желанием описы вать единый процесс деформирования и разрушения с учетом со провождающих этот процесс структурных изменений. Тензор микро повреждаемости должен быть задан через скалярные величины, являющиеся функциями инвариантов тензоров структурных на пряжений или деформаций. Скалярные величины, определяющие тензор макроповреждаемости, должны быть найдены из решения нелинейной в статистическом и физическом смысле краевой зада чи. В данной главе предлагается приближенный подход, согласно которому статистические характеристики скалярных величин тен зора макроповреждаемости вычисляются путем осреднения по элементарному макрообъему соответствующих величин тензора микроповреждаемости.
6.1. Математическое моделирование процессов микро- и макроразрушения
Пусть элементарный макрообъем v представляет собой со вокупность микрообъемов dv, для каждого из которых возможны лишь два состояния: либо микрообъем разрушен, либо нет. Вве дем скалярную величину со11, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю в разрушенных. Тогда
со11 |
1 |
с |
вероятностью |
plI(r,i), |
О |
с |
вероятностью |
(6.1.1) |
|
|
1 — р11 (f, t). |
Предположим, что случайная функция со11 (f, t) по пространст венной координате удовлетворяет условиям эргодичности. Из со отношения (6.1.1) следует
<(0П (г, *)> = рИ (г, t),
т. е. математическое ожидание функции микроповреждаемости, введенной с помощью (6.1.1), совпадает с вероятностью разруше ния микрообъемов dv.
Если со11 связана с состоянием микрообъемов, то состояние макрообъема в целом будем характеризовать случайной скаляр ной функцией о)*(£). ’Производя суммирование по всем элементам dv при dv 0 и меняя местами операторы математического ожида ния и суммирования, получим среднее значение разрушенных
91
микрообъемов в объеме и |
|
<о>* (< )> = 4 -$ pn (f >о d f■ |
(6. 1.2) |
V |
|
где со* (£) есть отношение суммарного объема разрушенных эле ментов dv в макрообъеме v к величине объема v [10, 11].
Для определения дисперсии D&* величины со* воспользуемся известной формулой [20]
A D* = <(о>*)2> — <СО*>2. |
(6.1.3) |
Слагаемое <со*)2 в (6.1.3) находится из выражения (6.1.2), а слагаемое <(со*)2> будем вычислять,исходя из представления
© * = ,2г( 0 ? , |
(6.1.4) |
где суммирование проводится по всем элементам dv ЕЕ v.
С учетом (6.1.4), меняя местами операторы суммирования и
математического |
ожидания, |
имеем |
|
||||
< Ю 2> |
< |
г |
Л |
? > |
= |
<®*> + <®">2. |
(6.1.5) |
|
|
з |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
A D* — |
^ р11(f, t) dr = |
<со*>. |
(6.1.6) |
||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
Из (6.1.6) вытекает, что моменты первого и второго порядков величины со* совпадают в случае независимых событий разруше ния элементов dv. При этом предположении на основе (6.1.4) можно вычислить и моменты высших порядков.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда не накладывает ся условие независимости разрушения микрообъемов. Формула (6.1.2) для математического ожидания со* (t) остается справедли вой, так как при ее выводе не используется условие независимости. При выводе формулы для определения дисперсии микроповре ждений в деформируемом объеме и обнаруживается, что знание вероятности микроразрушения р11 (f, t) в произвольной фик сированной точке М (г) оказывается недостаточным. Для построе ния адекватной числовой характеристики процесса накопления
микроповреждений в твердом теле введем вероятности pi1 (М ),
Р? (М и М 2), pi1 (М ъ М 2, М 3), . . ., Р? (М и М 2, . . М к), ко-
торые интерпретируются как вероятности одновременного разру шения двух, трех и г. д. элементов микроструктуры с центрами
в точках M t (г), i — 1, к. Отметим, что вероятности р}1, представ ляющие собой локальные числовые характеристики сред с по вреждаемой микроструктурой, могут быть найдены, если: а) из вестна плотность распределения структурных напряжений; б) за
92
дан локальный критерий разрушения |
структурно неоднородной |
|
среды. |
|
|
Представим теперь слагаемое <(со*)2> в формуле (6.1.3) для |
||
дисперсии |
в виде |
|
<(©♦)•> = |
S 3 <©?«>?>• |
(6.1.7) |
|
i j |
|
Произведение (coFco*1) можно трактовать как вероятность сов местного разрушения двух элементов с центрами в точках М* и M j. Тогда имеем
< Ю 2> — — |
jj Р? (г, t) df + |
J J plr (r, f 1} t) df dr! |
||
|
|
V |
|
V V |
и для дисперсии получим |
|
|||
A * W = 4 " S P” |
*) df ~ |
5 p ? (#'» *> d?"i*+ |
||
|
|
V |
|
V |
+ |
§ § p” |
(Г, f 1, t) df df1. |
(6.1.8) |
VV
Вчастном случае независимых событий разрушения микрообъ
емов dv справедливо рY (гь г2, 0 |
== Р11 (^i, 0 Ри (^2> и формула |
|
(6.1.8) переходит |
в (6.1.6). |
|
Указанным выше способом нетрудно вычислить моменты выс |
||
ших порядков |
безразмерной |
функции макроповрешдаемости |
со* (£}. Начальный момент к-то порядка распределения микроповреж^ений в элементарном макрообъеме v вычисляется по форму ле [104]
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
< ( » * ) * > = £ ( - 1 ) * - * а |
[ ( 4 - J р ? (г, t) d f)k- s+1+ |
|
||||||
|
|
S — 2 |
|
|
|
v |
|
|
-h - j r |
P° (f > |
•••. |
t) (Pi1 (f s+l. 0>*~8 ^ dfi . . . |
+ |
||||
|
“U “U |
V |
|
|
|
|
|
|
|
8 — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
m=2X |
$v |
$v •••§v |
P“ |
(f) f l’ |
fm’ *> |
X |
|
X |
fir dfi . . . dfji-s+m+1* |
|
|
|
|
(6.1.9) |
По математическому ожиданию (6.1.2) и начальным моментам (6.1.9) можно восстановить функцию плотности распределения микроповреждений (разрушенных микрообъемов) / (со*, i?, t), где Z? совокупность параметров распределения, определяемых со отношениями (6.1.2), (6.1.8), (6.1.9). Макроскопическое разруше ние объема v произойдет, когда макроповреждаемость со* (£) достигнет критического значения со?р, причем со*р является прочностной константой для каждого конкретного материала
93
[94]. Вероятность макроразрушения равна
р * = |
J f(a>*,R,t)d<a*. |
($.1.10) |
Из (6.1.10) вытекает формула для |
оценки работоспособности |
|
элементарного макрообъема |
|
|
|
* |
|
N (г) = |
1 — pi (<) = 1 _ J |
(6,1-11) |
|
0 |
|
и поскольку считается, что потеря работоспособности любого эле ментарного макрообъема означает разрушение конструкций то выражение (6.1.11) следует применять для оценки работоспособ ности конструкций из рассматриваемых материалов.
Для практического использования формулы (6.1.11) необходи
мо знать вероятности разрушения pj1 (f, f 1, . . . , r le, t ) и крити ческое значение макроповреждаемости со£р. Ниже приводятся методы отыскания этих величин.
6.2.Обобщенный структурный
критерий разрушения композиционных материалов
Как было отмечено, для определения вероятностных характе ристик микроразрушения используется локальный структурный критерий прочности композиционного материала. Для однород ных полимеров в 1966 г. А. К. Малмейстер предложил общий критерий прочности в виде полинома, содержащего тензоры проч ности второго, четвертого, шестого и более высоких рангов, выра жаемых через макроконстанты материала [62]:
й* (Oiji Hip Hijmn, . . . ) = |
Ha$Gix$ “Ь Hafiy§oafiOyQ-(" |
|
“Ь ^aflY6pCD0a|3cS>6orpCD |
= 1» |
(6.2.1) |
где Htjmni . . . — тензоры макропрочности различных ран гов, не зависящие от компонент макронапряжений а*-.
Для анизотропных материалов другой вид записи критерия макропрочности предложен И. И. Гольденблатом и В. А. Копновым [25]:
А в + |
+ (Я*рубро><4с>*ш)с + . . . |
= 1, (6.2.2) |
где а, Ь, с, . . . — безразмерные коэффициенты.
В последнее время выдвинут ряд новых критериев прочности, основанных на концепции накопления повреждений. За меру разрущения в этих критериях обычно принимают параметр повре ждаемости со, который при отсутствии повреждений со = 0, а в
94
момент макроразрушения |
со = 1, т. е. О |
со |
1 |
[85]. Таким |
образом, критическая величина этого параметра |
в |
некоторой |
||
точке считается критерием |
разрушения |
|
|
|
© (0 = 1. |
|
|
|
(6.2.3) |
Основной недостаток указанных выше критериев прочности при использовании их в механике композитов состоит в том, что критерии (6.2.1)—(6.2.3) явным образом не учитывают микро структуру композита. Использование этих критериев на струк турном уровне в рамках структурно-феноменологической модели композитов позволяет явным образом учитывать структуру ма териала. Для конкретности рассмотрим критерий (6.2.1), так как обобщение критериев прочности (6.2.2) и (6.2.3) на микронеоднородные среды производится аналогично. Тогда обобщенный кри терий А. К. Малмейстера для композитных сред запишется
й [<Ту (?), Т у (?), Т Цят (г), . . . ] = Т у (г)Оу (?) +
T y mn (?) ® ij (?) ®тп (?) ”Ь ^ “ijmnkl (?) |
(?) ®mn (?) ®kl (?) “I- •!• • |
|
|
|
(6.2.4) |
где тензоры прочности |
(г), |
(г), . . . образуют случай |
ные тензорные поля (вырожденные, локально-эргодические, ква- зилокально-эргодические [63]), заданные на структуре.
Для двухкомпонентных композитов типа армированных пла стиков, прочностные свойства структурных элементов которых отличаются незначительно (не более чем на один порядок), тен зоры прочности могут быть описаны на структуре линейной моделью
Т у (?) = Т#>х (?) + T # |
[ 1 - х (г)], |
T y mn (?) = Y iJL x (?) + |
Tl& * [ 1 - Х (Г)]. |
Для эластомерных композитов, упругие и прочностные свойст ва которых отличаются на три — пять порядков и более, зависи мость тензоров модулей упругости и прочности является нелиней ной от объемной концентрации включений [103]. Принимая гипо тезу о том, что закон изменения тензоров прочности эластомерного композита подобен изменению тензоров модулей упругости [103], получим
\1Л /f\ |
\Т^(2) |
[1 Ч~ И ( )] |
’ |
Щ» |
/=\ |
\р»(2) |
|
т ij V' / |
т V |
(1 _р)2 |
т ijmn У /— |
* ijn |
|
||
|
|
|
|
|
|
ijm n |
1(1 - Р)2 |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2.5)
где Т[)\ Tymn — тензоры прочности связующего
Тогда вероятность разрушения элемента структуры запишется в виде
Р? (г) = 1 - |
Р [О (?) < 1] ■= 1 - |
Р [Т у (?) оу (?) + |
|
+ T y mn (?) |
(Ту (? ) а тп (? ) + . . . < |
1] . |
( 6 . 2 . 6 ) |
95
Аналогичным образом вероятность совместного разрушения двух произвольных элементов определяется как
р2П (Г, гг) = Р [Й (г) > 1, Q (Гх) > 1]
И т. д.
Рассмотрим теперь расчет вероятности микроразрушения эле мента конструкции при более простом критерии разрушения. Ус ловие разрушения микроструктуры изотропного материала, обла дающего различным сопоотивлением растяжению и сжатию, при мем в виде обобщенного критерия П. П. Баландина, вытекающего из (6.2.4):
Q (г) |
ol (г) + |
Y i (г) а (г) - |
Т 2 (г) = 0, |
(6.2.7) |
||
где У¥ 1 (г) и ^ (г) |
— материальные случайные функции координат, |
|||||
заданные на структуре |
следующим образом: |
|
||||
ХЦ* /;\ __\р»(2) |
[1 + |
И' (0] |
(« = 1,2), |
(6.2.8) |
||
|
|
(1 - |
р)2 |
’ |
||
&и = |
”2“ (ЗсГарСГар1! |
Паа0^ ) ’ |
|
|
— соответственно интенсивность случайных структурных напряже
ний и средние структурные напряжения; — параметры, оп ределяемые из экспериментов на растяжение и сжатие однородных образцов.
Вычислим теперь вероятность микроразрушения ри (г)- Оче видно, что й (г) — случайная функция детерминированного ра диуса-вектора, зависящего в каждой точке от действующих струк турных напряжений, прочностных свойств микронеоднородной среды и концентрации наполнителя. Зная вид функции (6.2.8), можно вычислить одноточечные центральные моменты случайной функции <(й)п>, а по ним, используя алгоритм восстановления плотности распределения по ряду Эджворта [52], получить плот ности распределения по / (й) величины й. Вероятность, с кото
рой выполняется неравенство й (г) |
1, будет равна вероятности |
|
микроразрушения и определяется |
как площадь под кривой / (й) |
|
при й |
1. Таким же путем вычисляются вероятности р\г (г, гх), |
|
р ? (г, гъ г2) и т. д. Приведенный |
выше метод позволяет вычис |
|
лять |
вероятностные характеристики микроразрушения в любой |
точке конструкции по известным структурным напряжениям и прочностным свойствам среды.
6.3. О величине критической макроповреждаемости
Деформирование композитов порождает процесс накопления структурных повреждений. Для композиционных материалов ти па стеклопластиков и наполненных полимеров структурные по вреждения (микродефекты в связующем) появляются при нагруз-
96
ках 0,15—0,20ав- Появление структурных повреждений обуслов ливает изменение упругих и прочностных характеристик. Для моделирования упругих характеристик композиционных материа лов с учетом повреждений структуры можно предложить два подхода. Первая модель будет учитывать только суммарную поврежденность структуры и основана на соотношении
Сцтп (?) = Ctjmn (?) [1 - (О (?)], |
(6.3.1) |
где Сijmn (?), Сijmn (^) — компоненты случайных тензоров моду
лей упругости соответственно поврежденного и неповрежденного композита; со (г) — случайный параметр поврежденности компо зита.
В формуле (6.3.1) С° (г) и со (г) определяются следующим обра зом:
т
С ijmn (? ) |
= |
S 4 ”т « * (П) (?)> |
(6 .3 .2 ) |
|
|
71=1 |
|
|
т |
|
|
ю (?) = |
S |
со<п)х<"> (?), |
(6 .3 .3 ) |
|
71=1 |
|
|
где С<п>— случайный тензор модулей упругости тг-го компонента композита; со(п) — случайный параметр поврежденности тг-го ком понента; х (г) — случайная индикаторная функция; т — число компонентов.
Во второй модели используются те же величины, но ее представ ление будет иметь вид
т
Cijmn (?) = 2 C fm n (1 - «*»>) х с » ) ;(?). |
(6 .3 .4 ) |
71=1
Использование моделей (6.3.1) и (6.3.4) проиллюстрируем на конкретном примере — статическом растяжении однонаправ ленных органо-и стеклопластиков, реализуемом расчетным методом и прямым экспериментом. Эксперимент проводился путем растя жения плоских образцов с записью диаграммы «напряжения— деформации» [94]. В законе Гука для структурно неоднородных сред
Gij(r) = Cijmn(r)smn(r) |
(6.3.5) |
С (г) определяется по (6.3.1) или (6.3.4).
Нагружение при численном и прямом эксперименте осущест вляется по режиму постоянных детерминированных перемещений. В этом случае, согласно [23], удается получить равновесную диа грамму растяжения. Для определения переменных значений струк турных модулей упругости композита и параметра накопленных повреждений решается статистическая краевая задача теории упругости (гл. 2).
97
Рис. 6.1. Диаграмма растяжения одноосно армированного органопластика» (сплошные линии, а — экспериментальные данные) и стеклопластика (штри ховые линии, • — экспериментальные данные)
1 — по модели (6.3.1), 2 — по модели (6.3.4)
Рис. 6.2. Кривые изменения деформационных свойств одноосно армирован ного стеклопластика в зависимости от уровня накопленных повреждений
* |
* |
* |
1 — модуль Юнга Е у , 2 — модуль сдвига |
Gj_, |
3 — коэффициент Пуассона v у |
jj- |
|
|
4 — коэффициент Пуассона vj_ у |
|
|
На рис. 6.1 представлены равновесные диаграммы деформиро вания одноосно армированного органопластика (сплошные кри вые) и стеклопластика (штриховые кривые). Как следует из гра фиков, результаты расчетов по модели (6.3.1) дают существенно заниженные результаты (кривая 7). Использование модели (6.3.4) дает более точное описание процесса деформирования (кривая 2).
Максимальная ошибка определения расчетным путем а* от экс периментальных значений не превышает 10,3%.
Практический интерес представляет исследование зависимости технических упругих постоянных композитов от уровня накоплен ных структурных повреждений. Для одноосно армированного стек лопластика на рис. 6.2 представлены кривые изменения модуля нормальной упругости в направлении армирования (кривая 7), модуля сдвига в плоскости армирования (кривая 2), коэффициен тов Пуассона v* ± (кривая 3) и v* р (кривая 4) в зависимости от уровня накопленных повреждений.
Как следует из моделей (6.3.1) и (6.3.4), происходит некоторое уменьшение величины переменных модулей упругости, за исключе нием коэффициента Пуассона v*y. Увеличение v*y (кривая 4) обусловлено тем, что объемное разбухание композита за счет структурных повреждений приводит к увеличению поперечных деформаций.
На рис. 6.3 представлены кривые накопления суммарных струк турных повреждений в зависимости от средних значений напряже ний а*. Точке В перегиба кривых соответствует критическое зна
98
чение макроповреждаемости сокр* При неравновесном способе нагружения достижение накопленных структурных повреждений величины о)*р приводит к макроскопическому разрушению об разца.
Для оценки величины со*р используется формула
^ |
1 |
* |
(6.3.6) |
° в |
|||
сокр = |
1 - |
|
Я*ие*
где а* и е* — предел прочности и соответствующая ему дефор мация образца; Ё\ — макроскопический модуль упругости по направлению растяжения.
Выражение (6.3.6) получено из (6.3.5) для момента разрушения
а* = <т* путем статистического осреднения уравнений в предпо ложении статистической независимости со от -С и 8.
В табл. 6.1 приведены значения со*р для различных классов материалов, полученные по формуле (6.3.6) и по методике, изло женной в [72]. Таким образом, критическое значение накопленных
Рис. 6.3.
Зависимость средних значений структурных повреждений от лиакронапряжений в композите
---------------- органопластик (расчет),
.............— стеклопластик (расчет), а — органопластик (опыт),
• — стеклопластик (опыт)З
структурных повреждений (о*р можно находить расчетным или экспериментальным способом и использовать для оценки разру шения композиционных материалов и конструкций.
Установим связь между вероятностями макроскопического и структурного разрушения при одноосном нагружении элементар ного макрообъема v. Как показано в работах В. В. Болотина [10, 11] и В. А. Пальмова [78], наиболее подходящая с физической точки зрения функция распределения повреждаемости со* в об ласти малых значений микроповреждений имеет вид
F( со*) = (со*)а, |
0 < с о * < 1 , |
|
(6.3.7) |
где а — некоторая |
положительная |
постоянная. |
|
Дифференцируя выражение (6.3.7) по со*, |
получим плотность |
||
вероятности, которая содержится |
в формуле |
(6.1.10): |
|
/ (со*, R ,t) = а [со* (О]*-1. |
|
(6.3.8) |
99
Т А Б Л И Ц А Г,.1
*
КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ сокр МАКРОПОВРЕШДАЕМОСТИ ДЛЯ ВОЛОКНИСТЫХ И ЭЛАСТОМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ |
|
||||||
|
Состав материала |
|
Началь |
Предель |
Критическая |
||
|
Предел |
повреждаемость |
|||||
Материал |
|
|
ный МО- |
ная де |
|||
|
|
прочности |
|
|
|||
|
связующее |
наполнитель |
Х10-’ , Па |
дуль |
формация, |
по формуле |
по методике |
|
Х10-», Па |
% |
|||||
|
|
|
|
|
|
(6.3.6) |
[72] |
Однонаправленный стекло |
Эпоксидное |
ВМ |
98,8 |
3548 |
3,15 |
0,120 |
0,118 |
пластик |
|
свм |
|
|
|
|
|
Однонаправленный органо |
Эпоксидное |
150 |
5150 |
3,80 |
0,234 |
0,181 |
|
пластик |
|
|
|
|
|
|
|
Однонаправленный стекло |
Эпоксифенольное |
БС6Х13Х1 |
85 |
4800 |
2,1 |
0,158 |
0,138 |
пластик 27-63С |
Эпоксиуретановое |
БС6Х13Х1 |
81 |
|
|
|
|
Однонаправленный стекло |
3900 |
2,2 |
0,057 |
0,109 |
|||
пластик 33-18G |
Р-2М |
НСО-6/200 |
4,3 |
|
|
|
|
Стеклопластик АГ-4В |
1480 |
0,31 |
0,107 |
_ |
|||
Стеклопластик Э-1200 |
Э-1200 |
Стекловолок |
60,7 |
2800 |
2,52 |
0,139 |
0,138 |
|
|
но |
|
|
|
|
|
Эластомерный композит |
Каучук, полистирол, |
Фторопласт |
4,6 |
410 |
2,6 |
0,568 |
— |
|
фторопласт |
Фторопласт |
5,5 |
|
|
|
|
Эластомерный композит |
Каучук, сополимер |
540 |
2,1 |
0,514 |
|