книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций
..pdfМатрице. (2 .66) пригодна и в едучае плоской деформации элеиента { 6 Й = 0) - нужно лишь вместо Е. и V авести величины
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
<2‘67) |
функции формы, отвечающие принятым аппроксимациям перемеще |
||||||||||
ний (2 .5 0 ), получаются билинейными: |
|
|
|
|
|
|||||
= f Ф |
|Ц)Н) |
0 |
!Н) 0 М Н)° |
(2. 68) |
||||||
Рассмотрим далее построение матрицы.жесткости элемента при |
||||||||||
изгибе |
скручениеи. Схема,элемента в аксонометрии и его деформи- |
|||||||||
|
|
|
|
|
рованное состояние |
показаны на |
||||
|
|
|
|
|
рис. 2 .7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Локальная система коор |
||||
|
|
|
|
|
динат и нумерация узлов сохране |
|||||
|
|
|
|
|
ны такими же, как |
в случае плос |
||||
|
|
|
|
|
кого напряженного |
состояния. |
||||
|
|
|
|
|
2. 3 вектор перемещений |
|||||
|
|
|
|
|
каждого из четырех узлов элемен |
|||||
|
|
|
|
|
та входят прогиб и два угла по |
|||||
|
|
|
|
|
ворота : |
|
|
|
t |
* I , 4 ) * |
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
2 .7 |
|
*-Ю ^ ^ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следует обратить |
внимание на то, что |
под |
9 ^ и 9 ^ |
здесь по |
||||||
нимаются, |
как это принято в теории упругости, |
углы |
поворота |
|||||||
в д о л ь |
осей X и у , а не |
относительно |
этих осей. |
|
|
|||||
Показанные на рис. 2 .7 перемещения - |
положительные, |
|
||||||||
3. |
|
Формируем вектор £ из функций перемещений, |
совпадающих по |
|||||||
смыслу со степенями свободы узла. При этом учитываем, |
что углы по |
|||||||||
ворота являются |
производными от прогибов: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V(x,y)“1 |
V(x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 » |
х= |
6ur(x,y)/ax |
|
|
|
|
(2 .70) |
|
|
|
|
_9у&У)_ |
_flur(x,y)/9y _ |
|
|
|
|
|
|
4. |
Потенциальная |
энергия упругой деформации при |
изгибе с кру |
|||||||
чением: |
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч- t o p + Ра * ^ f i E p a ^ M p ^ d x d y , |
|
(2 .7 U |
||||||
где |
- 9аш/б1г, |
Ру = 9гцг/0у2 , |
piy = 8V/(6I 3IJ) - крисизны |
срединной ПО- |
веркности деформированной |
пластинки; |
Бм= —1— г |
цилиндрическая |
||||||||||||||
жесткость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' ' |
’ |
' |
|
|
|
|
Используем |
матричную форму записи |
(2 .7 1 ): |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
"1 |
^ |
0“ |
Рх |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
V 1 |
0 •р* |
d x d y . |
(2 .72) |
|
||||||
|
“ |
- K |
f i t f c |
f c f t , ] - |
0 0|Л _Р*а_ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ГР* 1 |
|
|
|
|
"1 |
|
V 0“ |
|
|
(2 .73) |
|
||
|
|
£=___ |
; |
|
|
|
Я |
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
отличается |
от |
(2 .56) толь |
|||||||
Отметим» что выражение В в (2 .73) |
|||||||||||||||||
ко множителем |
( Вм |
вместо |
Da |
). |
Роль |
"деформаций" £ в рассматрива |
|||||||||||
емом случае играют |
кривизны |
pi , |
ру |
и |
р . |
|
|
|
|
|
|
||||||
5 . |
Матричный оператор |
А& , |
связывающий векторы £ и В , опре |
||||||||||||||
деляем, анализируя зависимости кривизн от функции прогибов. Полу |
|||||||||||||||||
чаем |
|
|
|
|
'0й/0 х 2 |
О |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
аг/9у2 |
о о |
|
|
|
|
(2 .74) |
|
|||||
|
|
|
|
|
_32/(&Е0у) |
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 . |
Единственной независимой |
функцией в векторе 2 является |
|||||||||||||||
lif (x ,y ) . Количество коэффициентов в |
аппроксимирующем |
выражении |
|
||||||||||||||
прогибов должно быть равно 12 (по суммарному числу степеней свобо |
|||||||||||||||||
ды узлов или, |
что то же самое, по числу |
компонентов |
Д |
). Этому |
|
||||||||||||
условию отвечает полный бикубический полином |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ш(х,ц)= СЦ+Ьгх+а3у+ а^х2-* с^ху+ а6у2+ |
|
|
|
||||||||||||||
|
+ а ?х 3+ а бх 2у + а дх у г + |
а ^ у 3 + а^х3у + ( у с у 3. |
(2 .7 5 ) |
||||||||||||||
функция (2 .75) удовлетворяет дифференциальному уравнению изги |
|||||||||||||||||
ба пластинки |
при |
отсутствии |
внеузловых нагрузок У4У2иг= 0. В этом |
||||||||||||||
легко убедиться, |
вычислив производные |
б*иг/0х* |
, 0*иг/Эу^ и Э*иг/(Эз?0у*)- |
||||||||||||||
все они равны 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выбранное |
выражение иг обеспечивает |
неразрывность |
прогибов |
по |
|||||||||||||
границам смежных |
элементов. Например, для стороны 1-4 имеем |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
*Г(0,у)» V |
a3y + aey2+ аюУ3» |
|
|
|
(2.76) |
|
и для вычисления четырех коэффициентов, однозначно определяющих
распределение |
прогибов по линии 1-4, |
есть четыре |
граничных усло |
||
вия в |
^рлах |
I |
и 4 (заданы прогибы |
и ufy и углы |
поворота 9^ и 9 ^ ) . |
То же |
можно |
показать и для всех других сторон. |
|
||
|
Однако |
плавность сопряжения соседних элементов в направлениях |
8SfeQ>=^ ! ~ и = W +V s* V - (2.77)
здесь четыре неизвестных коэффициента, а условий для их определе ния всего два (углы 6^ и 0у2 в узлах I и 2 ). Следовательно, одноз начно определить углы поворота по линии 1-2 из условий в узлах
этой границы невозможно. Значит, для соседних |
элементов эти узлы |
||
могут |
не совпадать, за исключением узлов I и 2, результатом |
чего |
|
будет |
излом срединной поверхности. |
|
|
|
Таким образом, рассматриваемый элемент с |
функцией UT по |
(2.75) |
совместен с соседними по прогибам и, соответственно, по углам по
ворота в направлениях вдоль границ. |
|
|
|
, записываем вектор в |
||||||||||
Чтобы найти |
матрицу |
базисных |
(функций |
f |
||||||||||
форме (2 .6 ): |
1 1 |
у ха ху |
у2 I 3х2уху2у3 13у ху3 |
Ь |
|
|||||||||
ur(x,y) |
|
|||||||||||||
3ur(x,y) _ |
j |
|
|
у |
0 Зх2 2ху у2 0 |
Зх1}) у5 |
<4 |
.(2 .7 8 ) |
||||||
2= ~Bx"~ |
О 1 0 2х |
|
||||||||||||
0 |
0 |
10 |
х |
Ц 0 |
х2 2хуЗу2 х3 Зху1 |
а, |
|
|||||||
3ur(X,y) |
|
|||||||||||||
L |
J |
t-------------------------- v |
- |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Матрица |
граничных условий: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ф| |
|
1~ f(x „ y ,)~ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ф - |
|
|
f ( x 2,y 2) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
UJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Л |
0 |
x) |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I |
<; |
0 |
|
0 |
|
J |
|
|
"» |
|
||||
|
|
J |
(J |
0 |
0 |
|
G |
0 |
|
|||||
ч ,' |
I |
|
|
0 |
|
|
■Л |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
'*« |
0 _ |
|
|
|
|||||
О |
|
|
V.. |
|
\ |
|
u- |
0 _ 0 _ ЧУ |
|
|||||
I |
U |
|
|
r |
|
) |
|
0 |
0 |
|
o ~ c |
0 |
|
|
J |
|
|
|
|
|
1 |
31» |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
n |
|
|
|
|
|
|
V* |
_ |
-m |
n |
(2.79) |
|||||
'j |
|
|
|
|
|
, |
Q |
l2i |
0 |
0 _ |
4S |
|||
I |
|
|
|
'it,, i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t) |
|
I |
|
|
|
зй |
2t,4 |
Ll |
|
0 |
3L<4 |
% |
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
4 |
|
u |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
G |
|
|
|
|
ll2 |
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
n , |
|
|
о |
|
3i2z |
|
|
|
вМатрица производных базисных функций:
О 0 |
0 |
2 |
О О |
6Х гу |
О |
О |
бху |
О |
|
|
0 0 0 0 0 2 |
О |
0 |
21 |
61* |
о |
бху |
(2.80) |
|||
0 0 |
0 |
0 |
2 0 |
О |
4Х 4у |
0 |
бха 6уа_ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
li h |
|
9 . Вычисляем матрицу жесткости Км «(Ф"1)т| [ ftTBB dxdy•
Приведем результаты промежуточных этапов расчета:
|
|
|
|
( ( bTD 6 d x d y = |
|
|
|
|
(2 .81) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О О О |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
o' |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
° 1 |
|
l o o |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
С |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
о ! |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11о |
р |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
о |
4VV, |
« ч Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m ji* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
2tft2(1-v) |
21^ |
0-v) |
0 |
21*1^1-V) 2l$1-V) |
|||||
|
|
|
! * ,Ч |
К Ч |
м ,ц ‘ |
п |
\ |
|
et& |
3nt$t* |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i-------- , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
« Ч Ч |
|
9-nJt’ |
« к |
|
|
|
lи |
|
|
|
1 e <?4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1L . |
|
|
|
|
|
|
4Vl,l’ |
|
|
5 ^ 2 |
|
|
|
|
|
|
J u _ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
с H U M e т p и 4 H 0 |
|
1 X |
|
3lM |
a ? 4 |
|
^9,12. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
■ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6VtJ(| |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
« Л |
6^ . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l__V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
где 1м =■4 V i + 4 1? Ч 'Ci-v); |
Ч « “ |
n J t | + 3 tf tt (1-V); |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Igg*■ |
4 s \ + $ y | 0 - v ) ; |
I |
9,К |
* |
Zl’ tJ |
*3t,1.*(l-V ); |
|
|
||||||
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
^11,11 |
|
|
|
I |
|
-= |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнив обращение матрицы Ф , получаем:
|
‘ I |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 0 |
|
0 |
|
0 |
0 0 " |
|
|||
|
0 |
I |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
i |
о |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 0 0 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
i |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
.0 |
0 |
|
|
- 1 Л |
0 |
? "4 .0 |
|
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
■l |
A 0 |
|
||
|
|
4 |
' i |
|
|
|
0 0 t t . |
|
||||||||||
|
|
44 |
|
|
4 |
“44 |
|
|
|
|
v z |
4 |
i |
|
||||
|
<-4 о |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 • 1 |
|
||
Х'1 |
ч |
, |
- i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
“4 |
(2.82) |
|
W ?з |
A. |
i |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
l5 |
|
|
_L |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 - A |
|
|
|
|
0 |
3 .J_ |
|
0 |
|
3 _A |
0 |
|
|||||
|
ЦЧ. S4 0 |
- ф а 44 |
4 V |
V» |
~Vt |
44 |
|
|
||||||||||
|
|
|
J , |
|
|
0 ■ |
2 |
A44 |
0 |
■4-4 |
0 |
44 |
|
|||||
|
|
0 |
44 % |
|
|
"S4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
A |
|
|
\ |
0 |
\v« |
|
|
|
|
|
|
t£ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
_L |
-Tt |
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||
|
' 4 4 |
# a-fh |
|
Т ч 4 |
|
|
|
u |
|
|||||||||
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
Та |
|
|
||||||||
|
us° |
Ф |
|
0 |
Ф |
'u? |
0 |
V? |
|
Ф |
о - |
'Y l |
|
|||||
|
Tt |
|
\4 |
|
|
Va |
|
|
|
|
||||||||
|
Матрица жесткости конечного элемента при изгибе о кручением |
|||||||||||||||||
имевч. следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5и |
a<2 |
^13 A |
6« |
‘ ,| |
C1l |
C|2 S3 |
[ d |
d |
d |
|
|||||
|
|
|
!1 ,11 |
,12 |
13 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
] a 22 a 23 \ |
|
A |
* |
\ |
|
|
° |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T |
« |
|
6« |
0 |
(33 A |
0 |
сзз Л |
» |
^3 |
(£.83) |
||||
|
|
|
|
а |Г а* а |1 |
|
|
|
|
4l ~Ct2 |
Cfl |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
KU = D. |
|
|
|
|
l |
v |
a« |
'A |
A |
? |
|
4 |
-4tt |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N |
V |
|
•‘й "cfl |
0 |
C33 |
|
|||||
|
м |
м |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
*11 ”*12*13 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]й г а<2-а« |
|
|||||||
|
|
|
С |
и м м e1 T |
p |
и 4 |
И c f e A ] |
*12 |
*22 0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IQ-MI |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L?4i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ a jM"°l3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ M |
|
|
ГЦЕV^[4G>+&)+*]; |
|
|
|
|
|
Vr,(S+8i v |
i p |
( u 'i^ |
|
|||||||||
|
|
|
6м=- а ,[ 2(2ш- Ы +%]; |
V |
^ |
2cj+^ |
; * if |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя ыатршгл f и Ф’ 1, находим функции формы, соответст
вующие единичным компонентам смещений узлов элемента. Придерживаясь обозначений, принятых в параграфе 2.1 Л , получаем
|
|
|
|
ф<« фЮгаа |
(p™fflw eP |
|
||
|
С-«■ |
*,» -*,» С|-t i l |
9■>*,*? . |
H i Ti,5 |
Л,3 |
*1,4 Т1.А % |
(2.84) |
|
|
ф(<} ф(2> |
*Г2,31 |
фи)фФ ф(» |
|||||
|
|
|||||||
|
« $| '2,3? ! *ЛЗ |
'2,4 *2/* |
J2/» |
|
||||
где |
Й |
ф®(О® ф11> |
ф« |
ф»1 (pft> ф® ф1з> |
ф® Ф® ф(3> |
|
||
-Тз/ |
41 4 1 ТЗД |
*3,2 |
Д 2 Тз,3 4 3 |
Тз,3 |
*3,4 Тз,4 Узд. |
|
||
¥ ^ М Ч \Ы )-?ф -Ч ); |
«р^-Мч,^ |
ФЙ’ИчМ?; |
||||||
^ ч 1ч ^ ч ) Н я Ь - Ф - т - . f g - y * i , 4 , i |
w |
- |
|
|||||
9 ® =i n [ ,+ y s-H )+ i(3 -»2)l; |
ft®— * A 4 t ; |
9 ® - 4 i 4 : V |
|
|||||
|
“ Sn D- §( з - 2 £ ) (1-iX3-24)3; 9,® = Ц п ^ ; |
|
|
|
9 * , г ' С = - р ? Ч ; |
? £ - ,й ,И 4 ) ; |
9 |
$ - 9 з / - 61? ^ т ,[ Н ( з - г Й 1 |
|
$ - 9 $ - f 4 4 l ; |
С = ^ , 0 - Зг); |
9 g ~ $ ^ i l H & - U ) - 6 i W i l ! |
||
93® = - 9 ,” = f 4 4 , ; |
9 £ Н ч 1И ^ |
|
|
< $ Н ч С ч -*> -Ч ^ - 5 л 0 > т ^ |
4 г Н ; Ч,= 1 -Ч- |
|
|
||
Графики трех функций формы ф™ |
, |
|
ф^ и фД} можно увидеть на |
рис. 1.8, где они выделены мелкой’сеткой линий’ на поверхности и
обозначены соответственно |
, ф® и ф® . |
|
|
|
|
\(j) TMj> |
Ti,(j) |
|
|
В. Пирамидальный элемент изотропного тела |
|
|||
Для пространственного элемента |
(рис. 2.8) в каждом узле опи |
|||
сываются три компонента перемещений: |
|
|
|
|
4 = [ i j Ь\ Дт3 4Х]Т - |
[ V i “ il |
W |
1^ - |
‘2 -85i |
56
Так как общее число степеней свободы равно 12, то аппрокеими
рукяцие |
выражения полей |
|
перемещений выбираем в виде трех линейных |
|||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
функций |
с |
четырьмя коэффициентами каждая: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
■и(1,у,гГ |
|
|
"а, + ц х + а 3у + ц,г" |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2= |
tf(x,y,a) |
|
7 ? |
|
а5+ а6х + а7у +а3* |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w foy.*) |
|
|
^ а 9+ а / |
+ а „У+ V |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I X у е G о О О О О О (Л Г а ,: " |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G O G O I x y z O O O O - |
\ . |
(2.86) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
o o o o o o o o i x y z |
сц |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции (2.86) обеспечивают совмест |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ность |
КЗ по |
перемещениям. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы £ |
и Б |
и матричный оператор |
|||||||||
имеют вид |
(1 .2 6 ), |
(1 .30) й |
(1.34) |
|
соответственно. |
|
||||||||||||||
Вычисляем матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
'О |
1 0 0 |
0 |
0 0 0 0 0 0 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
* |
- |
v - |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
(2,87) |
|
|
O O I O O I C O O O O O |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
O O C O O O O I O O I O |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
.0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0. |
|
|
|
|
а&тем формируем матрицу |
граничньос условий |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
'Ф -[> (< 1 .0,0) |
f ( t <,o.o) |
fT(o,t2.o) |
f T(0,0,l5)]T |
(2.88) |
||||||||||||||
vi, выполнив ее обращение, подучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
" I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 |
|
|||||||||||||||||||
-1/Ц |
0 |
0 |
1/Ц 0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
-i/Ц с |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1/Ц 0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||
-1/Ц о |
с |
V |
|
0 |
|
0 |
|
с |
|
0 |
|
о |
L/Ц 0 |
0 |
|
|||||
|
0 I 0 G |
|
0 |
|
о |
|
0 0 0 0 |
0 0 |
|
|||||||||||
ф '1= |
0 -1/Ц 0 |
0 |
|
|
|
л |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
1/Ц 0 |
|
|
(2.89) |
|||||||||||||||||
|
|
.N |
о |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1/Ц 0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||
|
1 О |
|
|
|
1/Ц |
0 |
|
|||||||||||||
|
0 -1/Ц 0 |
0 |
|
• 1 |
|
о |
|
0 |
0 ' 0 |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
г* |
|
0 0 0 с 0 0 0‘ |
|
|||||||||||
|
0 0 I |
|
|
~л |
|
|
||||||||||||||
|
0 |
о -■1/Ц 0 |
|
0 |
|
1/Ц 0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
0 |
0 -■1/Ц 0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
1/Ц 0 |
0 |
0 |
|
||||||
_ |
С |
(> |
- |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 1/Ц 0 |
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
•1/13 0 |
|
.л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
узлов. Применение этого способа ограничивается только теми случа ями, когда узловые усилия являются реальными силовыми факторами, то есть при точечном (в узлах) соединении элементов, в частности, в стержневых системах. Единичные состояния стержневого конечного элемента при деформациях в плоскости 1.1^показаны на рис. 2 .1 .
Для определения концевых усилий в каждом единичном состоянии может быть использовано решение задачи любым известным методом (начальных параметров, сил и д р .) . Если сечение стержня постоянное, то можно воспользоваться готовыми табличными данными классическо
го метода перемещений. Например, при 0г1 = I по таблице б учебника |
|||||
[9]находим: |
М |
^ =4ET2j / t j ; |
A j 5 |
^y.lj |
~ ~ Sy,2j = |
= -6 E I2j / l j |
, |
остальные усилия, равны |
нулю. |
Легко |
убедиться в том, |
что эти величины совпадают с полученными энергетическим способом компонентами матрицы (2 .3 7 ).
При переменном сечении точное аналитическое решение может от сутствовать, тогда применяется численное интегрирование дифферен циальных уравнений изгиба, растяжения (сжатия) и кручения стержня (в конечных разностях, методом Ритца и д р .) .
Для трех- и двумерных конечных элементов применение данного способа затруднено, поскольку бывает достаточно сложно определить, какие именно интегральные характеристики распределенных по поверх ности сил упругости следует принимать за условные узловые усилия.
2 .3 . Некоторые дополнительные сведения о конечных элементах
В разделе 2 .1 , посвященном методике и технике п:строения мат риц жесткости универсальным энергетическим способом, рассмотрены простейшие типы конечных элементов. В отношении стержневых КЭ вы ше уже приведены соображения по учету переменности сечения и осо бенностей соединения элементов в узлах. Заметим, что при упруго податливых соединениях схема конечного элемента приобретает вид, показанный на рис. 2 .9 . Свойства упругих концевых связей характе
ризуются матрицами жесткости с ^ ( |
t = |
1 ,2) |
- в общем случае |
шестого |
порядка каждая. Для элемента плоской |
стерн евой системы матрица |
|||
-------------------------------------- - ...... |
C-fcj - |
третьего порядке, |
ее |
|
|
структура |
тахова: |
|
сев,t сax.t сay.t
С .. = |
C3C0,t VXTft |
Cxy,t |
(2 .9 2 ) |
_ Sjfl.t |
C'yy.‘- |
|
|
, aBt, |
Сгй^ , |
соотьетотгеч - |
|
но момент |
и угипии |
|
Ьуд: |
от |
единичного |
поворота 9t | = |
I ; |
с0хд. |
CXI,t |
и |
- |
те же |
силовые |
факторы от |
смещения |
= 1 |
; c9}j’t , |
ciy t |
И |
cay .t" |
05Р ^ j 5* * |
|
|
Естественно» наличие упругих концевых связей должно учитыва |
||||||||
ться при записи граничных условий, а в энергетическом способе - |
|||||||||
такие |
при формировании матриц Dj и |
E-j . |
|
|
|
|
|||
|
Что касается прямоугольного |
элемента пластинки, |
то с |
его по |
мощью можно рассчитыьать системы с ортогональными участками границ (к ним можно отнести и пологие оболочки, имеющие в плане очертание, удовлетворяющее указанному условию). При более сложной конфигура ции контура для удовлетворительного моделирования геометрии задан
ной, системы |
требуются кроме прямоугольных, еще и треугольные КЭ |
|||||
(рис. |
2.10) |
. При плоском напряженном состоянии общее |
число |
степе |
||
|
|
ней свободы уелсв |
треугольного |
|||
|
|
КЭ, совпадающих с его вершина |
||||
|
|
ми, равно 6 , поэтому каждая из |
||||
|
|
функций И и 1Г, |
описывающих по |
|||
|
|
ля' перемещений, |
выбирается с |
|||
|
|
тремя коэффициентами: |
|
|||
|
|
u ( i,y ) = a 1+ a 2x + a 3y n |
(2 .93) |
|||
|
|
гг(х,у)=о.4-|-(15х + а 6у. J |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
Все дальнейшие операции |
|||
|
|
выполняются так же, как для |
||||
|
|
прямоугольного |
КЭ, |
только мат |
||
|
|
рица граничных.условий будет |
||||
|
|
шестого порядка, а |
интегриро |
|||
вать приходится по треугольной области. В результате получается |
||||||
матрица KQразмерами 6x6. |
|
|
|
|
||
При построении матрицы жесткости треугольного КЭ в случае из |
||||||
гиба |
с кручением возникает затруднение |
и з -за того, |
что число |
сте |
||
пеней |
свободы узлов (вершин) элемента |
равно 9 , а количество |
коэф |
фициентов используемого для аппроксимации прогибов дГ сокращенного
в сравнении с (2 .75) бикубического полинома, обладающего |
необхо |
димой симметрией по координатам х и у , равно 10: |
|
Ш'(х.у)- а,+ а2х+ а3у + а4х2 +а5ху+абу2+ |
(2-94) |
+а^х3+авхгу -»а9ху2+а10у3.
*;Вмеето прямоугольных элементов вблизи контура целесообразно ис пользовать четырехугольные КЭ общего р.ид^; для которых матрица жесткости получается так же, как для прямоугольного КЭ, но с* более сложными выражениями компонентов.