книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfследует из формулы (9.23), где первые три строки Ьр следует умножить на -1/2, а последние - на (-1). Для полного решения задачи необходимо раскрыть статическую неопределимость продольных усилий в волокнах и внести результаты в уравнение относительно неизвестных <т,°, тогда получим их зависимость от
заданных а л . Используя эти зависимости для уравнений деформированного состояния, получим закон упругости, связывающий между собой ёл и Сопоставление этих уравнений с обобщенным законом Гука для анизотропных тел, позволяет в явном Виде определить эффективные постоянные композита.
§ 10. Упругость сфероволокнистых сред
Рассмотрим обобщение вышеприведенной задачи на случай, когда в матрицу введены полые сферические включения. Если поля, рассеянные волокнами и включениями, не взаимодействуют, то их взаимное расположение не играет роли при условии, что границы указанных тел не касаются или не накладываются друг на друга. Если волокна в композите отсутствуют, то усредненные напряжения находятся путем суммирования рассеянных сферами полей, приведенных в (7.1) и (7.7). Разделяя однородные и рассеянные напряжения, получим
' О , ' |
|
о? |
’а-2р |
а+р |
а+Р |
0 |
0 |
0 ‘ |
О? |
а2 |
|
О? |
а+р |
а-2р |
а+Р |
0 |
0 |
0 |
О? |
оз |
= |
О? |
а+р |
а+р |
а-2р |
0 |
0 |
0 |
о? |
ст,2 |
0°2 |
0 |
0 |
0 |
-зр |
0 |
0 |
о?г |
|
6,з |
|
о?з |
0 |
0 |
0 |
0 |
-зр |
0 |
о?э |
0 23_ |
|
023. |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-зр |
023. |
(Ю.1)
111
Здесь поу суммируются параметры рассеянного поля для у-го сферического включения в определяющем объеме. В случае сфероволокнистых сред, добавляя вклад от сферических включений в уравнение (9.11), получим
О] ‘ |
о* |
62о |
63Н о! II
012 |
- |
о?2 |
013 |
|
о*з |
023. |
|
.023. |
(10.2)
<*13
0°3.
Вид матрицы [К] приведен в (101). Раскрытие статически неопределимой системы ведем с учетом наличия в матрице сферических включений. Интегральную деформацию сферопластиков получаем путем суперпозиции однородного состояния и состояния, определяемого рассеянными включениями полей.
' е Г |
|
е? |
©о |
-Х о - Х о |
0 |
0 |
0 |
|
в2 82 |
- Х о |
©о |
-Х о |
0 |
0 |
0 |
||
®з |
|
83 |
-Х о |
О X1 о |
©о |
0 |
0 |
0 |
Т 12 |
= |
У12 ) |
0 |
0 |
Ро |
0 |
0 |
|
У 13 |
|
У?з |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ро |
0 |
.У . |
|
.У . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Ро. |
23 |
|
23 |
|
|
|
|
|
(10.3)
ро ~ С $-10у)Н /6
Добавляя деформации, вызванные полями от рассеянных включений в уравнение (9.19), получим интегральные деформации сфероволокнистых композитов
(10.4)
Вид матрицы [ ^ ^ приведен в (10.3). Системы уравнении (10.2) и (10.4) связывают полные усредненные деформации и напряжения выделенного объема сфероволокнистого композита с однородными напряжениями в матрице. Разрешая систему (10.2) относительно однородных напряжений а°к и внося их значения в уравнения (10.4), придем к искомой зависимости между усредненными напряжениями и деформациями сфероволокнистой среды. При этом члены, расположенные симметрично главной диагонали, должны быть равными. В случае приближенного решения указанные равенства достигаются приравниванием симметрично расположенных членов полусумме их значений справа и слева от главной диагонали. В результате приходим к системе уравнений обобщенного закона упругости:
|
Ч ' |
Л ’ |
|
*2 |
|
|
|
^3 |
|
УXI |
II |
|
°Х1 |
|
|
Га |
|
|
Лз. |
Лз. |
Матрица [йа] " |
содержит 21 упругую постоянную |
для произвольной ориентации волокон. При этом не обнаружены пока соотношения, позволяющие уменьшить число существенно независимых упругих постоянных [28]. Для практических приложений удобно параметры матрицы [О,к] представить в виде комбинации технических постоянных
' 1 |
-/12. |
У« |
у14 |
^15 |
/ и |
Е, |
Е2 |
Е3 |
О, |
От |
о 3 |
Л л |
1 |
У23 |
V* |
У35 |
/2 1 |
Е, |
Е2 |
Е3 |
О, |
02 |
о 3 |
У31 |
У32 |
1 |
У34 |
У35 |
Ум |
Е, |
Е2 |
Е3 |
0 3 |
0 2 |
о 3 |
*А\ |
У42 |
У4З |
1 |
/41 |
/4 1 |
Е1 |
Е2 |
Е3 |
С | |
о 2 |
о 3 |
VII |
^52 |
У5З |
У* |
1 |
Ум |
в, |
Е2 |
Е3 |
О, |
о 2 |
о 3 |
У«1 |
У62 |
У63 |
У64 |
Уб5 |
1 |
1 Е1 |
Е2 |
Е3 |
©1 |
0 2 |
° з . |
Напряжения вблизи и в самом включении устанавливаются через усредненные напряжения.
Найденная система уравнений (10.5) труднообозрима и может быть упрощена для симметричных пространственных схем армирования в предположении, что одинаковые сферические включения образуют гексагональную пространственную решетку. Если на всех поверхностях волокно матрица соблюдаются условия совершенного контакта, то в этом случае можно
принять углы |
у/=0 |
(Л=1), |
а |
ориентацию |
волокон |
||
достаточно |
задавать |
углами |
в |
и |
д>. Анализ |
системы |
|
уравнений, |
определяющих |
|
ориентацию |
волокон, |
|||
показывает, |
что |
при |
<р |
0, |
в |
л/2 волокна в |
однонаправленном композите ориентированы вдоль оси
0х3.
Известно [12, 112], что твердые тела, обладающие кубической симметрией структуры, имеют три эффективные постоянные. По аналогии можно построить пространственные волокнистые структуры с кубической симметрией. Для этих сред основные системы уравнений (10.2) и (10.4) распадаются на две независимые подсистемы, содержащие только нормальные или касательные напряжения и соответствующие им деформации. Простейшая структура с кубической симметрией получается из трех взаимно перпендикулярных одинаковых волокон ДО. Полагая в
формулах (10.2) и (10.4) = |
0. щ |
= 0; в} « л/2, |
- 0 и |
|||
вз = <рз = |
л/2 |
(рис. 11), |
получим в |
явном |
виде |
|
соотношения |
для |
определения |
полного |
комплекта |
упругих постоянных для структуры ДО*.
Если волокна в кубе направить по его главным диагоналям, полагая N=4, со826к = 1/3, <Рь - (2к-1)л/4, к=1,4 (рис. 12), то получим структуру 4йт. Индексом т
мы отмечаем композиты с дисперсно упрочненной матрицей.
Рис.И
Далее, размещая волокна по диагоналям координатных плоскостей куба У0, полагая N = б, $1>2 *
±п/4, <р,2 - 0, Ом = л/4, ф314 - Зл/4, в5 6 = л/2, <р5<6 = ±п/4
(рис.13) приходим к структуре 60т. Построение других структур с кубической симметрией производится, например, путем комбинации вышеуказанных. В частности, 70я=Ют+40т, 90т=30т+60тит.д.
В практике известны композиты, в которых волокна ориентированы по 11 направлениям [86].
Подобное исследование будем называть определением рационального строения композитов. Ниже теория сдвига сфероволокнистых пространственно ориентированных композитов предложена на основе последовательности двухфазных моделей, первая из которых состоит из однородной матрицы и сферических включений, а вторая из волокон и приведенной матрицы, характеристики которой установлены на основе предыдущих моделей [27, 28]. Для сравнения рассмотрена теория сдвига композитов с помощью трехфазных моделей, приближенно учитывающих взаимодействие всех составляющих среды одновременно. При этом пренебрегается взаимодействием рассеянных каждой фазой полей. В практике сферические частицы изготавливаются со значительным разбросом их диаметров [14], поэтому упругие модули композитов найдены с учетом только одного момента усреднения. Принимается, что упаковка сферическими включениями не нарушает интегральную симметрию упругих свойств сред, содержащих одно-, двух - или триортогонально ориентированные волокна (рис. 14).
Принципиальное решение задачи об определении приведенных характеристик многофазных композитов дано выше. Однако, построение решения задачи для каждой схемы упрочнения имеет свои особенности. В силу симметрии внутреннее поле напряжений образовано суперпозицией однородной составляющей о* и напряжениями, рассеянными сферами и волокнами. В принятом приближении, учитывая разброс параметров сферических включений, оно связано с усредненными касательными напряжениями соотношениями [27]:
"Ке2 2Т & (Т^ |
~ |
~ |
( 11.1) |
- Ь ч ^ — ^ г (аг<Ег + Е,<&,) |
|
||
О , = СГг СОЗ в - (Тгв 8Н 10 |
|
||
Й 2 = <ТГ 8Й1 О СОЗ ф+ СТг0 СОЗ в СОЗ ф -< 7 ^ 81П ф |
|
||
Йз = аг з т в зт ф+ |
соз 9 з т р +ст^ соз <р |
|
по у и § суммируются состояния у волокон, соответствующие продольному и поперечному сдвигам. Окончательный результат усреднения, используя известные решения о сдвиге сред со сферическими и волокнистыми включениями [98], будет
1 -(7 -5 . о б я + 5 > „ + 2 > .
(П.2)
'о