книги / Линейная алгебра

Правило 1. При построении жордановой матрицы J для ма­ трицы А порядка п можно проделать для каждого характеристиче­ ского корня А»- матрицы А следующие практические действия.

1.Составить матрицу А — А»Е и возводить ее последовательно в

степени т = 1 ,2 ,... до тех пор, пока не получится равенство

г ( А - \ {Е)т = п - т {,

(4.24)

где г(А —\{Е)т - ранг матрицы (А — \{Е)т\п - порядок матрицы А; т,- - кратность характеристического корня А,- матрицы А. Наимень­ шее натуральное число т , при котором выполняется равенство (4.24), даст максимальный порядок ft,- жордановых клеток по А; в матрице

J-

2.

По формуле

qh = 2mh -

mh- i

-

mh+i ,

h = 1 , 2 , . . kt

(4.25)

или по формуле

qh =

rh-i —2rh +

гл+i,

Л = 1 ,2 ,..., k{

(4.26)

подсчитать число

qh жордановых клеток по

А,- порядка ft, Л =

1,2,

...,ifc,*, i =

1, 2,

...,

8. Здесь

qh -

число

жордановых клеток по

А* порядка Л в жордановой матрице J матрицы А\ т о

= 0,

тр -

дефект оператора с матрицей

(А — \{Е)Р\ го = п, гр - ранг матрицы

(А -

А{Е)Р

3.

По вычисленным числам дл,

Л = 1 ,2 ,...,ft,-, для всех А,- ма­

трицы А составить матрицу J.

Пример 1.

Для матрицы

/

0

-

4 -

2

А =

1

4

1

V о

о

1

построить жорданову матрицу J .

Решение.

Характеристический многочлен

/

—А

- 4

- 2

\

\А - ХЕ\ =

(

1

4 -

А

1

= -(А - 2)2(А -

1)

\

0

0

1 — А

/

имеет корень Ai =

2 кратности mi = 2 и корень Аг =

1 кратности

т2 =

1.

При Ai — 2 имеем
		/ - 2		- 4		—2	\
А — 2Е	=	I	1		2	1	,
		V	о		0	- 1	/
г(А —2Е)	=	г1 —2 ф п —mi					= 3 — 2 = 1 ,
		/	0	0		2 \
( А - 2 Е )2	=		0 0	-		1 ,	r(A — 2Е)2 = г2 = 1 = n — mi ,
		\ 0		0		1 /
		/ 0		0	—2 \
( А - 2 Е )3 =			0 0 - 1 ,				г { А - 2Е)3 = г3 = 1 .
		\ 0		0		1 /

Следовательно, наибольший порядок жордановых клеток по Ai = 2 равен к\ = 2 и по формуле (4.26) находим

<1\ — го — 2ri + Г2 = 3 — 2 * 2 + 1 = 0,

9 2 — T i — 2 г 2 + г з = 2 — 2 * 1 + 1 = 1 .

Поэтому в жордановой матрице J для матрицы А будет по Ai = 2

всего лишь одна жорданова клетка

С!)

При А2 = 1 имеем

1 to

II

{А - 2Ef =

		- 4		,	г(А — 2Е) = п = 2 = п —гиг
V	1	3	1 0
	о	0		/
		- 3			г(А - 2Е)2 = г2 = 2.
П	о	5		,
		0	0	/
V

Поэтому в жордановой матрице J для матрицы А по А2 = 1 будет всего qi = го—2 ri+ r2 = 3—2-2+2 = Гжордановых клеток порядка 1. Из полученных жордановых клеток составляем жорданову матрицу

<7 =

При отыскании трансформирующей матрицы Т удобным может оказаться следующее

Правило 2. Бели для матрицы А известна ее жорданова матрица J , то для отыскания трансформирующей матрицы Г следует решить матричное уравнение

T J = АТ.

(4.27)

По столбцам матрицы Т легко выписать векторы жорданова базиса оператора А в пространстве X.

Пример 2. Для матрицы А , имеющей жорданову форму J , найти трансформирующую матрицу Г, если

	0	—4	—2 \	/	2	1	0
А =	1	4	1	, J = \ 0		2	0
	0	0	1 /	V	0	0	1

Решение. Для решения задачи следует решить матричное урав­ нение T J = АТ, т.е. уравнение

Проведя умножение матриц в обеих частях этого уравнения и сравнив соответствующие элементы левой и правой части этого равенства, получим систему

r	2®i		=	—4x2	—2*з,
	XI	+2yi	=	-4у2	—2уз>
		*1	—	—4^2	-2*3,
	2X2		=	хг	+4*2	+*3,
<	Х2	+ 2У2	=	У1	+4У2	+уз,
		*2	=	*1	+4*2	+*3,
	2хз		=	Хз,
	Хз	+2уз	=	Уз,
		*3	=	*3-

Одним из решений этой системы является

XI -	2,	У1 = -1 ,		*1 =	2,
Х2 — Л1,		У2=	о,	;*2 = -1 ,
хз =	0,	Уз =	о,	*3 =	1.

Поэтому

2	-1	2
т = - 1	О	- 1
О	О	1

По столбцам этой матрицы можно выписать'векторы жорданова ба­ зиса оператора Л:

„(!) (2, —1,0)т ,

= (-1 ,0 ,0 )т , е(1) = (2 ,-1 ,1 )т

4.4. Т рети й сп особ построени я ж ордановой и трансф орм ирую щ ей м атриц

Приведем еще один способ построения жордановой и трансформи­ рующей матриц. Для этого нам потребуется следующее замечание. Под элементарными преобразованиями над A-матрицей А(А) пони­ мают:

1.Умножение любой строки матрицы А(А) на любое число а ф О,

2.Умножение любого столбца матрицы А(А) на любое число а ф О,

3.Прибавление к любой г-й строке любой j-й строки, умноженной

на любой многочлен у?(А), г ф j щ

4.Прибавление к любому i-му столбцу любого j-ro столбца, умно­ женного на любой многочлен ^>(А).

Проверкой легко убедиться, что первое и третье элементарные преобразования над матрицей А(А) равносильны умножению ее слева соответственно на элементарные матрицы

/ 1 \ / 1

а	<р(\)
1 /	(4.28)
	1 7

Аналогично второе и четвертое элементарные преобразования над матрицей А(А) равносильны умножению ее справа соответствен­ но на элементарные матрицы (4.28).

Каноническим видом м атрицы А(А) называют диагональную матрицу

/ ei(A)

е2(А)
е„(А)
в которой каждый многочлен е,(А), i = 2,3,	нацело делится

на многочлен e,_i(A), и старший коэффициент каждого многочлена е,*(А), i = 1,2, ... ,п, равен единице. Многочлены ei(A), . . еп(А) называют инвариантными множителями м атрицы Л(А). Мно­ гочлен еп(А) совпадает с минимальным многочленом матрицы А.

Правило 1. При построении жордановой матрицы J для матрицы

Апорядка п можно осуществить практические действия в следующей последовательности.

1.Составить матрицу А — ХЕ и для каждого jfc, 1 < к < п, вычи­ слить наибольший общий делитель d*(A) всех миноров fc-ro порядка этой матрицы, взятый со старшим коэффициентом, равным единице.

2.Вычислить инвариантные множители ei(A), ..., еп(А) матрицы

А— АЕ по формулам

		(4.29)
3.	Разложить каждый инвариантный множитель е*(А) в произве­
дение элементарных делителей, т.е. в произведение вида
	е*(А) = (А - АО"*! ... (А - А,)"**, к = 1,2,..., п.	(4.30)

4. Составить жорданову матрицу J матрицы А, ставя по ее диа­ гонали в соответствие каждому элементарному делителю (А — А; )Л*>

из разложений (4.&0) жорданову клетку по Aj порядка пьг

Примечание. Пункты 1 и 2 правила 1 можно заменить следующим: инвариантные множители ei(A), ..., еп(А) матрицы А - \ Е получить путем приведения ее к каноническому виду с помощью элементарных преобразования над нею.

Пример 1. Пользуясь правилом 1, найти жорданову матрицу J для матрицы

Реш ение. Составим матрицу
'- А	1	О
А - А\Е = ^| - 4	4 — А	О
- 2	1	2 - А ,

Очевидно, что общий наибольший делитель всех ее элементов tf1(A) = 1. Для отыскания ^г(А) выпишем все миноры второго по­ рядка матрицы А — АЕ:

-А		1			-А	О	= 0,		1	О
- 4	4	- А	= (А — 2)2,		- 4	О			4 — А	О = 0,
-А	1	— —А + 2,		-А		О	= А(А — 2),
-2	1			-2	2 - А
1	О			- 4		1 - А	=	—2(А — 2),
1	2 - А =		2 - А,	-2		1
- 4		О	= 4(А — 2),	4	- А	О		=	( 2 - А)(4 - А) .
-2	2 - А			1		2 - А

Отсюда видно, что ^г(А) = А — 2. Для отыскания <^з(А) замечаем, что

-А	1	0
|А - ХЕ\ = - 4	4 - А	0	= - ( * - 2)3.
- 2	1	2 -	А

\з Следовательно, ^з(А) = (А — 2 ) . Теперь по формулам (4.29) получаем

ех(А) = * ( А) = 1, е2(А) =

= А - 2, е3(А) =

= (А - 2)2.

Поэтому

2	1	0
0	2	0
0	0	2	)

Бели хотим воспользоваться примечанием к правилу 1, то матрицу А — ХЕ нужно элементарными преобразованиями привести к канони­ ческому виду:

		II
	"	1
		1	1
	—	^
		ю	н*
		1

0	'\	/ -А	1	0
0		4	- А	0
2 — А ,Г		- 2 + А	0	2 - А

	/	—А 1		0	\	/ 1		1	0	\
~ ( -4 4 - А				О		~	- А 4 - А 0			~
	V 0		0	2 — А )		\	0	0	2 /
	(	1	А - 3	0	\	/ 1	А — 3		0 \
~	I	-А	4 - А	0	~	0	(А -	2)2	0	~
	\ 0		0	2 — А )		\ 0	0		2 — А /
	/ 1		0	0	\	/ 1	0		0	\
~	I	0	(А — 2)2	0	~	0	0		2 — А	) ~
	\	0	0	2 — А	/	\ 0	(А — 2)2,		0	)
	/	1	0	0	\	/ 1		0	0	\
~		0	2 — А	0		~	О А — 2		О
	\	О	О	(А - 2)2	/	\ О		О	(А — 2)2 /

Отсюда следует, что ei(A) = 1 , 62(A) = А—2, ез(А) = (А—I)2. Поэтому

2	1	0	'
0	2	0
о	О	2	,

Правило 2. Для отыскания матрицы Т, приводящей матрицу А к жордановой матрице J , можно осуществить следующие действия.

1.Матрицу А —АЕ элементарными преобразованиями привести

квиду J —АЕ.

2.Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразо­ вания над столбцами, найти соответствующие им элементарные ма­ трицы вида (4.28) и составить матрицу К(А), равную произведению этих элементарных матриц слева направо в том же порядке, в каком они использовались.

3.Матрицу V (А) записать в виде

К(А) = VoA* + ViA*"1 +	... + 14А°	(4.31)
и подсчитать матрицу
Т = V(A) = V0Ak + ViA*-1	+ ... + VkA°.	(4.32)

Если матрица V’(A) окажется матрицей нулевой степени от А, то она сразу дает матрицу Т.

Запись A-матрицы в виде многочлена от А не представляет затруд­

нений. Например,
/ А2 + 5А + 1		6А + 2 \
V	7А	А2 - 2А + 3 у

-G

-ОЧ; з)

П римечание. Вместо пунктов 2 и 3 можно проделать следующее. Выбрать по порядку все проведенные элементарные преобразования над строками, заменить их элементарными матрицами вида (4.28) и составить матрицу U{\), равную произведению этих элементарных матриц справа налево в том порядке, в каком они использовались. Матрицу Ы{А) записать в виде

U(X) = XmUo + Xm~1U1 + ... + А°Um

(4.33)

и подсчитать матрицу

Г " 1 = К(А) = AmU0 + Am~xUx + ... + A°Um.

(4.34)

П ример 2. Матрица

О 1 О А - 4 4 О

- 2 1 2

имеет жорданову форму

2 1 О

J = 0 2 0

0 0 2

Найти трансформррующую матрицу Т, приводящую матрицу А к матрице J .

Реш ение. Сначала элементарными преобразованиями приведем ма­ трицу А — АЕ к матрице J — АЕ:

А — \Е =

	/ —А		1	0	\	/	-А	1	0	\
=	(	- 4	4 - А	0	~		- 4	4 - А	0
	\ - 2		1	2 — А /		\ —2 + А		0	2 — А /
	/	—А	1	0	\	/	-А	1	0	\
~		- 4	4 — А	0	~		- 4 + 2А 2 — А		0

\ 0 0		2 — А		/	V	0	0 2 — А /
/	2 — А	1		0	\
~	0	2 — А		0	I	= J — ХЕ.
\	0	0	2	— А	)

Далее замечаем, что над столбцами матрицы А —АЕ проведены эле­ ментарные преобразования, равносильные умножению ее справа по­ следовательно на матрицы

1	О	О	1	О	О
0	1	О	2	1	О
1	0	1	О	0	1

Поэтому
/ 1 0		0	1	о	о	1	0	0
V(A) = 0 1	0	1	2	1	0	2	1	0
V1	о		0	0	1	1	0	1

Поскольку матрица У(А) оказалась матрицей нулевой степени от А, то она сразу дает матрицу Т. Следовательно,

1	0	0
Т — 2	1	0
1	0	1

Точно так же можно заметить, что над строками матрицы А — АЕ проведены элементарные преобразования, равносильные умножению ее слева последовательно на матрицы

/		1		0	0\		/	1		0	0\
		0			1 0	,			-	2	1 0
\ - 1			0		1 /		\ 0		0		1 /
Поэтому
/ 1	0	0\ / 1 0					0\				/ 1 0		0\
U(А) = 0	1 0				- 2	1	о		=		- 2	1	0 = Т ~ 1.
\ - 1	0	1 /			V 0 0		1 /				\ - 1	0	1 /

4.5.К п остр оен и ю минимального многочлена

При построении минимального многочлена матрицы может ока­ заться полезным следующее

Правило. При построении минимального многочлена ^(А) ма­ трицы А порядка п нужно для каждого характеристического корня

А,-, %= 1 ,2 ,...,$ , матрицы А составить матрицу А — AiE и возво­ дить ее в степени m = 1 ,2 ,... до тех пор, пока не удовлетворится равенство

г(А —\{Е)т = п — т ,-,

(4.35)

где г(А — AiE)m - ранг матрицы (А — At*-E')m; п - порядок матрицы А; тп{ - кратность характеристического корня А» матрицы А.

Наименьшее натуральное число т , при котором выполняется ра­ венство (4.35), дает кратность к{ корня А,- в минимальном многочлене <р(\) матрицы А. Поэтому минимальным многочленом матрицы А бу­ дет многочлен

у>(А) = (А - Aj.)*1 (А - А2)*» .. .

(А - А,)*-.

(4.36)

Заметим, что каждое &,* совпадает с наибольшим порядком жордановой клетки по А,- в жордановой матрице J матрицы А. Поэтому все числа к\у ..., к81 а следовательно, и минимальный многочлен матрицы А легко выписать, если известна жорданова матрица J матрицы А . Полезно также помнить, что минимальный многочлен матрицы А со­ впадает с инвариантным множителем еп(А) матрицы А — АЕ.

П ример. Для матрицы

характеристический многочлен
-А	1	О
\А-ХЕ\= - 4	4 - А	0	= —(А — 2)3
- 2	1	2 -	А

имеет единственный корень Ai = 2 кратности т\ = 3. Причем

А —2Е	=	, г(А —2Е) = 1 ф п — т\ = О,
( А - 2 Е ) 2	=	r(A — 2Е)2 = 0 = п — тщ.

Следовательно, ki = 2 и у>(А) = (А — 2)2. Минимальный многочлен матрицы А можно было выписать по ее жордановой форме J или