книги / Линейная алгебра
..pdfпо инвариантному множителю ез(А) матрицы А - АЕ , полученным в примере 1.
4.6. Упражнения
1 . |
Пользуясь правилом из п.4.2, построить жорданов базис оператора |
|
А с матрицей А, жорданову форму J |
матрицы А и трансформирующую |
|
матрицу Т для следующих матриц А : |
3)432 |
|
1) |
2) |
2 . Пользуясь правилами 1 и 2 из п. 4.3, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее жорданову матрицу J и трансформирующую матрицу Т.
3.Пользуясь правилами 1 и 2 из п. 4.4, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее жорданову матрицу J и трансформирующую матрицу Т.
4.Пользуясь правилом из п. 4.5, для каждой матрицы А из упр.1 найти ее минимальный многочлен.
Глава 5
Функции от матриц
5.1.И нтерполяционный многочлен Л агранж а-С ильвестра
Пусть даны различные значения Ai, А2, . . А, аргумента А и знаг чения
Д А * ) , № ) , № . ). . ,. |
к = 1 , 2 ,... |
функции /(А ) и ее производных до (m* — 1)—го порядка включительно при этих значениях аргумента А. Будем искать многочлен Р (А) сте пени п —1 при n = mi + m2 Н-... + т8, удовлетворяющий условиям
Р(А*) |
= |
/(А*), |
|
Р'(\к) |
= |
/'(А ,), |
(51) |
Р ( т * " 1’)(А») |
= |
|
1 , 2 , . .*. ,в=. |
Такой многочлен называют интерполяционным многочленом Л агранж а-С ильвестра для функции /(А ) при интерполяционных условиях (5.1). Для его построения составляют определяющий мно гочлен
|
Ф(А) = (А - АО"** (А - Аа)да» ... (А - А,)т ' , |
(5.2) |
|||
|
|
|
mi + т 2 + ... + т , |
= п, |
|
и многочлены |
*(Л,“Л |
= |
|
||
Затем находят коэффициенты |
|
|
|||
<*kj = |
1 |
Г Д А )]0 ^ |
3= 1,2, . . . , т к; |
к = 1,2,. ..,s, |
(5.4) |
|
0 ' - 1)! |
LV’fc(A)J х—хк |
|
|
|
и выписывают искомый многочлен
8 |
|
|
|
|
|
Р(А) = J 2 [он + а*2(А - |
А*) + |
... + c*fcmt(A - |
Afc)m*-1 ] •V-t(A). (5.5) |
||
к=1 |
|
|
|
|
|
Пример. Для функции /(А) |
;= еА |
построить интерполяционный |
|||
многочлен Р(А), удовлетворяющий интерполяционным условиям: |
|||||
Ai = 1 , |
|
Х2 = 2, |
A3 = 3, |
|
|
Р(1) = |
е, |
Р(2) = е2, |
Р(3) = |
е3, |
|
Р'(1) = |
е. |
|
|
|
|
Решение. По формуле (5.2) составляем определяющий многочлен
"0(A) = (А — 1)2(А — 2)(А — 3)
и по формулам (5.3) - многочлены
* (А ) |
= |
|
|
|
= |
М * ) |
= |
^ |
|
= |
( А - 1 ) 2(А - 3 ), |
^з(А) |
= |
| |
^ |
= |
( А - 1 ) 2(А - 2 ) . |
Поэтому формула (5.5) дает
Р( А) = [ап + а 12( А - 1 )](А - 2 )(А - 3 ) +
+<*2i(A — 1)2(А — 3) + Q'3i(A — 1)2(А — 2),
где коэффициенты |
|
|
|
|
|
£*п |
|
|
|
е |
|
|
(А ~ 2)(А — 3) |
Л=1 |
2 ’ |
||
|
|
||||
«12 |
= |
ЛА |
•у/ |
5е |
|
L(A — 2)(А — 3) |
Л=1 |
4 ’ |
|||
|
|
||||
«21 |
|
(А — 1)2(А - 3) |
= |
- е 2, |
|
|
|
А=2 |
|
||
«31 |
= |
. а |
|
£_ |
|
|
|
||||
(А — 1)2(А — 2) |
А=3 |
4 |
|||
|
|
находятся по формулам (5.4). Окончательно имеем
5.2. Ф ункции о т матриц |
|
Пусть |
(5.6) |
Р(А) = (А - А !Г (А - Аа)па ••• (А - А,)"- |
— минимальный многочлен матрицы А. Говорят, что функция /(А ) определена на сп ектре матрицы А> если существуют значения
/(А *), /Ч At), .... |
А*) |
(5.7) |
при т * > п* для всех характеристических чисел А*, |
к = 1 ,2 ,..., s, |
|
матрицы А. |
|
|
За значение функции /(А ) при А = |
А принимают значение ин |
терполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра Р(А) при А =: А, построенного для функции /(А ) при определяющем многочлене ф(Х) = ^>(А) и интерполяционных условиях (5.7) с т * = п*, т.е. по лагают f(A) = Р(А). Определяющий многочлен ф(Х) можно брать с показателями га* > п*. При этом степень многочлена Р(А) соот ветственно увеличится. Значение же f(A) = Р(А) не изменится. Еще раз подчеркнем, что интерполяционный многочлен Р(А) для функции /(А ) получается наименьшей степени при ф(Х) = у>(А).
П ример. Найти /(А ) = sin |-А при
А = А =
Решение. Характеристический многочлен матрицы А
2 |
— А |
О |
О |
\А-ХЕ\= |
0 |
1 - А |
1 = (2 - А)(1 - А)2 |
|
О |
0 |
1 - А |
имеет корни Ai = Аг = 1, Аз = 2. Общий наибольший делитель Х>2 миноров второго порядка матрицы А — ХЕ равен единице, так как ее миноры
2 — А |
О |
= 2 - А, |
1 — А |
1 |
= (1 - А)2 |
О |
1 |
|
О |
1 — |
А |
взаимно простые. Поэтому минимальный многочлен матрицы А
(Л - 1 )! (Л -2 ).
За определяющий многочлен ф(Х) интерполяционного много члена Р (А) примем
V’(A) = у>(А) = (А — 1)2(А — 2).
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л(Л) = ^ |
|
= Л - 2 , |
Л(Л) = ^ |
= (А - |
1)’ |
|||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Х) = |
[ап + Л12(А — 1)](А — 2) + a2i(A — I)2, |
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*п |
= |
sin |А |
|
= - 1, |
<*12 = |
|
sin уА |
= - 1, |
||
|
А — 2 Л=1 |
|
А — 2 J Л=1 |
|||||||
<*21 |
= |
|
sin |А |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
(А - 1)2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
А=2 |
|
|
|
|
|
|||
Поэтому окончательно имеем |
|
|
|
|
|
|||||
|
Р(А) = [-1 |
- |
(А - |
1)](А - |
2) = |
2А - А2 |
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
= |
Р(А) = 2 А - А 2 = |
|
|
|
|
|||
|
|
|
'4 |
0 |
0' |
4 |
0 |
0 |
' 0 0 |
0 |
|
|
= |
I о 2 2 - 0 |
1 |
|
= 10 1 0 |
||||
|
|
|
0 |
0 |
2 / |
\0 |
0 |
|
0 0 |
1. |
Бели бы за определяющий многочлен интерполяционного многое члена взяли, например,
V-(A) = ( А - 1 )2 (А -2 )2,
то по формуле (5.5) из п. 5.1 для функции /(А ) = sin £-А получили бы
Pi(А) |
= |
[ а п + в и ( А - 1)](А - [ап2 )2 ++ а 22(А - 2 )2](Л - I ) 2 = |
=[1 + 2(А — 1)](А — 2)2 — ^(А — 2)(А — I)2 =
=(2А — 1)(А — 2)2 — ^(А — 2)(А — I)2,
так как по формулам (5.4) из п.5.1 в этом случае получаем
„ |
_ |
ДА) |
|
= 1, |
- u - L |
f i i i J |
= 2, |
|
а п |
= |
--------- |
|
|
||||
|
|
(А -2 )2 |
А =Г |
|
|
(А-2)2 |
А=1 |
|
«21 |
= |
Д А ) |
|
= 0, |
_ |
[ |
т// ( А ) |
7Г |
|
|
(А-1)2 |
А=2 |
|
|_(/т — 1 ) 2 AJ= 2 |
'2* |
Естественно, что для sin j A получим тот же результат, хотя его вы числение несколько усложнится:
sin = Pi (Л) = |
( 2 Л - Р ) ( А - 2 Р ) 2 - |
|
|
|
о |
о |
0 > |
- |
| (А - 2 Е ) ( А - Е ) 2 = О 1 |
о |
|
|
.0 |
о |
1 |
Заметим, что Р(А) получается как остаток от деления многочлена Pi (А) на минимальный многочлен у>(А) матрицы А.
5.3.Спектральное разложение м атрицы f(A)
Пусть для функции /(А ), определенной на спектре матрицы А, построен интерполяционный многочлен
8
Р(А) = + ак2(Х - А*) + ... + a*nfc(A - А*)П*_1]^*(А) *=i
наименьшей степени, т.е. при ф(Х) = у?(А). Если в формулу /(А ) = = Р(А) вместо коэффициентов akj подставить их выражения из фор мул (5.4) п. 5.1 в развернутой форме, раскрыть скобки, объединить
члены, содержащие /<‘ |
|
^(А*), * = |
1,2.......п*; к = 1 ,2 ,..., s, то ее |
||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
/(А ) = Р(А) = |
£ [ / ( А * Ь |
I (A) + |
|
|
|
|
к= 1 |
|
|
|
|
+ |
П * к М А) + ... + / (п’' - 1)(А*)^„ь(А)]. |
|
|||
Поэтому получаем |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(A) = P(A) |
= |
£ [ /( А * ) 2 и + |
|
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
+ |
f( X b)Zk2 + ... + |
f^nk~1\Xk)Zknk], |
(5.8) |
|
где |
|
|
|
|
|
z kj = ^jb»(*^)j |
3 = 1 )2 ,..., Tiki к = |
1 ,2 ,...,$ . |
(5*9) |
Разложение (5.8) называют спектральным разложением матрицы /(Л ), а матрицы Zkj - компонентами матрицы А.
Разложение (5.8) особенно удобно, если требуется вычислить не сколько функций от одной и той же матрицы. Если при построении спектрального разложения берется интерполяционный многочлен не наименьшей степени, то в разложении (5.8) появятся дополнительные компоненты Z kj, но все они окажутся нулевыми матрицами. На прак тике компоненты Zkj матрицы А проще находить не по формулам (5.9), а из системы, которая получится в результате последователь ной подстановки в (5.8) вместо /(А ) простейших линейно независи мых многочленов столько раз, сколько содержится в (5.8) компонент Zkj. Поясним этот способ на примере.
Пример. Найти компоненты матрицы
|
/ 2 |
0 |
0 \ |
А = |
0 |
1 |
1 |
|
\0 |
О |
I ) |
и вычислить значения функцийsinfA, cos |А, tg7rA, ел*, .А*1, л/А, А100 при А= А.
Решение. В предыдущем примере для матрицы А найден мини мальный многочлен
<р(А) = (А — 1)2(А — 2).
Он имеет корни Ai = А2 = 1, A3 = 2. Поэтому для любой функции /(А ), определенной на спектре матрицы А, будет
f(A) = f(l)Z n + |
+ f(2)Z21. |
|
(5.10) |
|||
Отсюда получаем: |
|
|
|
|
|
|
при |
/(А ) = |
1 |
|
Е — Z\\ + Z21, |
|
|
при |
/(А ) = |
1 — А |
Е — А = —Z\2 — Z2\, |
|
|
|
при |
/(А ) = |
(1 - |
А)2 |
( E - A ) 2 = Z21. |
|
|
Из этой системы находим |
|
|
|
|
|
|
|
/ 0 |
0 |
0' |
1 |
о |
о' |
Zn = 2 А - А2 = I 0 |
1 |
0 |
Z21 = (Е — А)2 = | 0 |
0 |
0 |
|
|
\0 |
о |
1, |
0 |
0 |
0, |
/ о |
о |
о' |
Z12 = З А - 2 Е - А 2 = I 0 |
0 |
1 |
\0 |
о |
о, |
Теперь полагая в (5.10) вместо /(А ) последовательно sin уА, cos ^А, tgirA, ext, A-1 , VA, А100, получим
7Г |
Zn = |
f |
0 |
0 |
sin —A = |
I |
0 |
1 |
|
2 |
|
\0 |
0 |
COS%A = -% Z 12- Z 21
° ) iI-
0
/' - 1
о О
0 0
0т
2
0 0
/ 0 |
0 |
0' |
tgТгА = TfZl2 = ( 0 |
0 |
7Г |
\ о |
о |
0, |
= е*Zn + te*Z12 + e2iZ2i —
A~l = Zn — Z\2 + - Z 2i =
, |
/ |
y/2 |
0 |
0 \ |
VA = ZU + Z ZI2 + V2Z21= |
I |
0 |
1 |
П , |
|
\ |
0 |
0 |
1 / |
Полезным может оказаться следующее компактное выражение ком понент матрицы с помощью криволинейных интегралов:
Zii = О - l)!2iri /(* - |
- ЛГ1^ . |
(5 Ч) |
|
|
А: —1, 2, ..., 6, |
i —1, 2, ..., п*, |
|
где Ai, А2, |
А, - различные характеристические корни матрицы |
А\ П1 ,п 2,...,п в - соответственно кратности корней Ai, А2, ..., А# в минимальном многочлене матрицы A; L* - окружность с центром в точке А = Ajk, не содержащая других характеристических корней матрицы А внутри и на L*.
Криволинейные интегралы применяют и для представления ма трицы f(A ):
если квадратная матрица А порядка п имеет различные харак теристические числа Ai, А2, A,, L - замкнутый контур} ограничивающий область, содержащую внутри точки Ai, А2,
..., А, и /(А )-функция, определенная на спектре матрицы А, непрерывная на контуре L и аналитическая внутри области, ограниченной контуром L, то
(5.12)
L
Примечание. В формулах (5.11) и (5.12) под интегралом от ма трицы понимается матрица, элементами которой являются интегралы от соответствующих элементов подинтегральной матрицы.
При применении формул (5.11) и (5.12) вычисление криволинейных интегралов удобно проводить, опираясь на теорему о вычетах, по которой для функции у?(А), непрерывной на замкнутом контуре L и аналитической внутри области, ограниченной контуром L, кроме конечного числа изолированных особых точек Ai, А2, ..., А,, имеет место равенство
5.4.П редставление функции о т м атриц рядами
Пусть дана квадратная матрица А порядка п с минимальным мно гочленом
^(А) = (А -Л 1Г . . . ( А - А , ) п‘ .
оо |
м атрицы А к |
Говорят, что ряд J2 иР(А) сходи тся на сп ектре |
|
я=0 |
|
функции /(А ), если функции /(A ), tio(A), . . up(A), |
... определены |
на спектре матрицы А и если |
|
£ |
« „(А * ) |
= |
/ (А » ), |
|
р=о |
|
|
|
|
£ |
« ' ( А О |
= |
/ '(А * ), |
|
р=о............................................... |
|
|
|
|
£ 4 |
П*_1)( ^ ) = |
/ (п* - х)(Ак), |
4 = 1 ,2 ,...,- . |
|
р=о |
|
|
|
|
Для того чтобы ряд |
00 |
|
|
|
UP(A) функций от матрицы А сходился к |
р=0
матрице f(A), т.е. чтобы
М= f > p(A),
р=0
необходимо и достаточно, чтобы ряд |
оо |
tip(A) сходился на спектре |
|
|
р=о |
матрицы А к функции /(А ). Отсюда вытекают, например, следующие разложения:
оо |
А2г |
|
А2Р+1 |
|
сое А —У ^(—1У |
8ШЛ = ^ ( - i ) P |
|||
(2P)V |
(2р+ 1)! |
|||
р=о |
р=0 |
|||
|
|
5.5. Н екоторы е приложения функции о т матриц
а) Для вычисления m-й степени матрицы А при любом действитель ном т следует рассмотреть функцию /(А ) = Ат и вычислить ее зна чение при А = А. Пример см. в п. 5.3.