книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfАКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ
Ю . Н . Н е м и ш
Э Л Е М Е Н Т Ы
М Е Х А Н И К И
К У С О Ч Н О
О |
Д |
Н |
О |
Р О Д Н Ы Х |
С |
Т |
Е |
Л |
---------------------------------------- |
Н Е К А Н О Н И Ч Е С К И М И П О В Е Р Х Н О С Т Я М И Р А З Д Е Л А
КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 1939
ПРЕДИСЛОВИЕ
Объектами исследований в настоящей монографии являются пространственна кусочно-однородные твердые деформируемые тела с неканоническими поверхностя ми раздела (в частном случае — с неканоническими граничными поверхностями)* Следуя установившейся терминологии [27—29, 157], под неканоническими будем по нимать поверхности раздела, которые не допускают решения краевых задач методом непосредственного разделения переменных (методом Фурье и его различными моди фикациями, включая сведение к бесконечным системам алгебраических уравнений). С геометрической точки зрения неканонические поверхности в общем случае не явля ются поверхностями второго порядка и, следовательно, их уравнения не сводятся к стандартному каноническому виду.
Природа неканонических поверхностей раздела широка и многообразна. Меха низмы их образования можно условно разделить на три категории: естественные, тех нологические и инженерные. Им, в частности, соответствуют различной формы по верхности инородных пород, полостей, скважин и выработок в горных массивах; по верхности слоев и волокон в композитных материалах с мелкомасштабными (техно логическими) отклонениями в структуре: волнистые поверхности раздела в составных материалах и изделиях, образованных при сааокс взрывом грнншшг выступов, вы точек и некруговых отверстий в элементе конструкции и др. Современное состояние исследований напряженного состояния и дрчгих механических явлений и эффектов в указанных объектах при статических, динамических, тепловых и Других видах внеш них воздействий отражено в многочисленных журнальных статьях и отдельных гла вах монографической литературы. Анализ этих результатов дан, в частности, в обзор ных работах [29, 43, 78, 157].
Исследование физико-химических процессов, протекающих на поверхностях раз дела в металлических и полимерных композитных материалах проведено в моногра фиях [121. 122]. Рассмотрено механическое поведение и роль поверхности раздела в процессе разрушения, а также ее влияние на основные механические свойства компо зитного материала.
Как показали теоретические и экспериментальные исследования, форма поверх ности раздела оказывает существенное влияние на многие физико-механические яв ления (прочность соединения, концентрацию напряжений, дифракцию волн, тепло проводность и др.) В частности, в работах [47, 57 и др.] экспериментально показано, что характеристики волнообразной поверхности раздела двух слоев, спаянных мето дом сварки взрььом, во многом определяют прочность сварного шва.
з
В настоящей монографии сделана попытка систематизировать и обобщить резуль таты теоретических исследований автора и его учеников в области механики кусочно однородных тел с неканоническими поверхностями раздела. При этом дана постанов ка новых классов трехмерных краевых задач теории упругости, теплопроводности и термоупругости для кусочно-однородных неканонических областей, развиты эффект ные приближенные аналитические методы их решения и изложены критерии оценки точности приближенных числовых результатов. Получены аналитические решения конкретных классов краевых задач и на их основе исследованы характерные механи ческие эффекты (в том числе краевые), вызванные геометрической формой поверхно стей раздела и отличительными особенностями механических свойств кусочно-одно родных тел. Монография состоит из десяти глав.
Гл. 1 носит вспомогательный характер. Она основана на известных в научной ли тературе сведениях и результатах исследований [13, 41, 45, 57, 130, 131, 145, 156 и др.]. Ее цель — показать практическую важность предмета исследований, положен ного в основу монографии. Здесь дана условная классификация неканонических по верхностей раздела, изложены механизмы их образования, приведены характерные конкретные примеры неканонических поверхностей раздела в горных массивах, в композитных материалах с мелкомасштабными отклонениями в структуре и некото рых элементах конструкций (волнообразных оболочках, сильфонах, гофрированных волноводах, шестернях, элементах трехслойных конструкций с гофрированным за полнителем).
В гл. 2 рассмотрены трехмерные краевые задачи механики кусочно-однородных тел с ортогональными поверхностями раздела (к ним условно отнесены такие поверх ности, которые совпадают с одной из координатных поверхностей используемой кри волинейной ортогональной системы координат). При этом исследованы широкие классы краевых задач для кусочно-однородных (многослойных и миогосвязных) не канонических областей с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндри ческим и сферическим. Уравнения контуров их поперечных или меридианных сече ний записываются на основе соответствующих конформно отображающих функций. Для решения указанных классов краевых задач развит приближенный аналитический метод — первый вариант метода возмущения формы границы (МВФГ). Идейная ос нова этого метода заложена в работе А. Н. Гузя [21], где он первоначально предло жен для решения соответствующих краевых задач теории оболочек. Его дальнейшее распространение на родственные классы трехмерных краевых задач механики дефор мируемых тел, ограниченных неканоническими поверхностями, отражено в работах [23—25, 63, 64, 66, 71 и др.]* В работах [73, 79, 80] этот подход развит применитель но к решению трехмерных краевых задач для кусочно-однородных неканонических областей с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндрическим и сфери ческим. В этой главе также приведены соответствующие дифференциальные опера торы в произвольном приближении [72, 74], которые необходимы для решения кра евых задач с требуемой точностью.
Гл. 3 посвящена трехмерным краевым задачам механики кусочно-однородных тел с неортогональными поверхностями раздела (так условно названы поверхности, ко торые в общем случае не совпадают с координатными поверхностями используемой криволинейной ортогональной системы координат). К указанному классу относятся границы раздела, близкие к плоским, круговым цилиндрическим, сферическим и ко ническим. Для решения указанных классов задач развит второй вариант МВФГ. Применительно к пространственным краевым задачам для деформируемых тел, огра ниченных неортогональными поверхностями, указанный приближенный подход раз-
4
работан в работах [70, 75, 85, 88]. При этом построены дифференциальные операторы граничных условий в произвольном приближении, необходимые для решения крае вых задач с требуемой точностью. Распространение этого подхода на краевые задачи для многослойных и многосвязных тел с неортогоиальными поверхностями раздела дано в работах [73, 79, 80, 87, 88]. Установлена взаимосвязь развитых вариантов МВФГ в частных случаях. Характерной особенностью первого и второго вариантов МВФГ является их независимость от уравнений состояния, равновесия или движения тела. Это позволяет использовать их для решения широких классов краевых задач механики кусочно-однородных деформируемых тел. При этом поставленная краевая задача для кусочно-однородной неканонической области сводится к рекуррентной последовательности краевых задач для соответствующей кусочно-однородной кано нической области, причем в каждом приближении аналитическая структура основных уравнений остается неизменной, а поправки входят только в правые части краевых условий. Следовательно, на каждом этапе итерационного процесса можно использо вать хорошо аппробированные аналитические методы, разработанные применительно к решению краевых задач для кусочно-однородных тел с соответствующими канони ческими поверхностями раздела.
Отметим, что в гл, 2 и 3 рассмотрены случаи как идеального, так и неидеального контакта на поверхностях раздела.
В гл. 4 исследованы трехмерные краевые задачи теории теплопроводности для кусочно-однородных ортогональных и неортогональных неканонических областей. При этом изучены случаи, когда на поверхностях раздела выполняются условия иде ального и неидеального тепловых контактов. Для решения указанных классов за дач излагается первый (для ортогональных поверхностей раздела) и второй (для неор тогональных поверхностей раздела) варианты МВФГ. При таком подходе функции, описывающие температурные поля рассматриваемых кусочно-однородных тел, опре деляются в виде рядов по степеням некоторого безразмерного малого параметра, ха рактеризующего отклонение рассматриваемой границы раздела от соответствующей канонической поверхности. Краевые задачи статической термоупругости для кусочно однородных неканонических областей рассматриваются как задачи теории упругости с условными объемными силами (имеющими потенциал), которые определяются через известное температурное поле. Для их решения применяются развитые в гл. 2 и 3 со ответствующие варианты МВФГ, причем рассматриваются случаи как идеального (полное сцепление), так и неидеального (проскальзывание без отрыва) механическо го контакта. Исследуются практически важные частные случаи. В основу этой главы
положены результаты научных |
исследований, |
опубликованные в работах [81, 82, |
||
84, |
86]. |
|
|
|
|
Гл. |
5 иллюстрирует новые |
возможности, |
которые появляются при совместном |
применении разработанных вариантов МВФГ с другими аналитическими методами в неклассических краевых задачах механики кусочно-однородных тел с неканониче скими поверхностями раздела. К таковым условно отнесены три рассмотренных клас са краевых задач. В первый из них включены краевые задачи для тел конечных .раз меров с неканоническими поверхностями раздела. Для их решения на первом этапе используется МВФГ, который сводит исходную задачу к последовательности кра евых задач для тел конечных размеров, ограниченных соответствующими координат ными поверхностями. Затем в каждом приближении применяется метод суперпози ции [19, 154], который сводит задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Такой подход, основанный на совместном применении второго варианта МВФГ и принципа суперпозиции, впервые применен в работах [11,89, 91]. Ко
5
второму классу отнесены краевые задачи для физически нелинейных и криволинейно ортотропных упругих тел с ортогональными и неортогоиальными поверхностями раздела, близкими к каноническим, решения которых ищутся МВФГ в сочетании с методом возмущения упругих свойств, разработанным в работах [65, 68, 69, 129].
Практическая реализация такого подхода осуществлена в работах [66, 67, 77]. К разряду неклассических отнесены также связанные краевые задачи механики на сыщенных пористых сред с неканоническими выработками в случае нестационарной фильтрации жидкости или газа. При этом используется замкнутая система уравнений модели такой среды, полученная в работе [141]. На первоначальном этапе решения поставленных задач применяется метод интегрального преобразования Лапласа по времени. Затем для решения краевых задач для неканонической области в простран стве изображений используется МВФГ. Такой подход реализован в работах [34, 35, 95, 96, 143, 144], причем влияние взаимосвязи процессов деформации и фильтрации на напряженное состояние насыщенной среды и давление в жидкости исследовано в [95, 96].
В гл. 6 изучаются некоторые вопросы эффективности применения развитых вари антов МВФГ в пространственных краевых задачах для кусочно-однородных некано нических областей. В частности, одним из таких приемов является сравнительный анализ приближенных числовых результатов на основе соответствующих точных ре шений, полученных для эллипсоидальных областей [44, 48, 59, 149]. Вторым эффек тивным средством является построение мажорантных оценок и исследование практи ческой сходимости МВФГ (под этим понимается определение процентного вклада каждого из найденных приближений в сумму их абсолютных значений, условно при нятую за 100 %). На основе этого предложен один из возможных критериев оценки точности приближенных решений. На конкретных примерах подтверждена эффек тивность развитых вариантов МВФГ.
Последующие четыре главы содержат результаты приближенных аналитических решений конкретных краевых задач механики кусочно-однородных тел с ортогональ ными и неортогональными поверхностями раздела. На основе их численной реализа ции на ЭВМ выявлены характерные механические эффекты, вызванные преимущест венно особенностями геометрии неканонических поверхностей раздела.
Так, в гл. 7 исследуется напряженное состояние упругих тел конечных и беско нечных размеров с поверхностями раздела, близкими к круговым цилиндрическим.
В частности, дана постановка статических неосесимметричных |
краевых задач для |
изотропных и трансверсально изотропных слоистых продольно |
гофрированных ци |
линдров. Изложен численный алгоритм и изучено напряженное |
состояние двух- и |
трехслойных цилиндров под действием радиального давления, изменяющегося вдоль оси по периодическому закону 199]. Рассмотрены частные случаи [113, 116]. Дана по становка и получены приближенные аналитические решения осесимметричных кра евых задач для поперечно гофрированных двухслойных и трехслойных изотропных и трансверсально изотропных цилиндров. В результате численной реализации полу ченных решений в широком диапазоне изменения механических и геометрических па раметров исследована зависимость напряженного состояния цилиндра от амплиту ды и частоты гофрировки поверхности раздела, от толщины слоев и других факторов [55, 100, 112]. Исследованы практически важные частные случаи [ПО, 111]. Изучены краевые эффекты в сплошных и полых цилиндрах конечных размеров с боковыми и торцевыми осесимметричными выточками. Показано влияние толщины цилиндра, геометрии выточки и расстояния ее от торцов на концентрацию напряжений [10, 11» 89, 90, 93, 94].
6
Гл. 8 посвящена связанным плоским задачам механики насыщенных пористых сред с некруговыми цилиндрическими выработками. Здесь приведены основные уравнения и соотношения, соответствующие принятой модели [141] и описывающие взаимосвязанные процессы деформации и фильтрации. На их основе рассматриваются краевые задачи в предположении, что контур поперечного сечения выработки описы вается с помощью соответствующей конформно отображающей функции. Для реше ния указанных задач применяется подход, основанный на использовании интеграль ного преобразования Лапласа по времени в сочетании с первым вариантом МВФГ [951.
Получены приближенные аналитические решения краевых задач о напряженном состоянии насыщенной среды в окрестности цилиндрической полости эллиптическо го и квадратного поперечных сечений. Исследовано влияние взаимосвязи процессов деформации среды и фильтрации жидкости на напряженное состояние в окрестности выработок и давление в жидкости [95, 96]. Кроме этого изучены асимптотически^ свойства полученных приближенных решений и практическая сходимость МВФГ
Вгл. 9 рассматриваются осесимметричные задачи об упругом равновесии кусоч но-однородных тел с замкнутыми поверхностями раздела, близкими к сферическим. Здесь центральное место занимают два класса краевых задач, у которых объектами ис следований являются: а) среда с упругим неканоническим включением: б) среда с неканонической полостью, подкрепленной толстостенной оболочкой вращения. Ис следовано напряженное состояние указанных кусочно-однородных тел, находящихся под действием следующих статических внешних усилий: кручения, равномерного и неравномерного растяжения-сжатия [106—109].
Рассмотрены (в обзорном плане) частные случаи, соответствующие краевым за дачам для сред с ортогональными и неортогональными жесткими включениями и сво бодными неканоническими полостями [18, 60—62, 102—105], а также для толстостен ных неканонических оболочек вращения, находящихся под действием внутреннего и внешнего давления [52—54, 97—98].
Заключительная гл. 10 посвящена задачам о напряженно-деформированном со стоянии при изгибе упругих составных плит с неканоническими поверхностями раз дела, близкими к плоским [87, 117]. Рассмотрены случаи как однородных, так и не однородных слоев с экспоненциальным законом изменения модуля сдвига.
Воснову монографии положены работы автора [63—88]. Кроме этого при напи сании книги использованы некоторые результаты совместных научных исследований автора и его учеников Н. М. Блошко, Р. М. Исрафилова, Д. Ф. Лялюка, IO. И. Матяша, В. Н. Немиша, И. С. Сагалюка и Д. И. Чернопиского. При подготовке ру
кописи к печати техническую помощь автору оказали его сотрудники Н. Н. Клюева и Т. И. Тарасенко. Всем им выражаю свою искреннюю признательность и глубокую благодарность.
Г л а в а 1
ПРИРОДА И МЕХАНИЗМ Ы ОБРАЗО ВАН ИЯ НЕКОТОРЫХ НЕКАНОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ РА ЗД ЕЛ А
Осветить с достаточной полнотой природу и механизмы образования
всего многообразия неканонических поверхностей раздела в |
одной |
гл а |
|
ве не представляется возможным. Более |
того, в полноте |
излож ения |
|
этого вопроса в настоящей монографии |
нет необходимости, так |
к ак |
многие примеры из смежных областей естественных н аук могли бы вывести нас за пределы сформулированного в предисловии предмета исследования.
Механизмы образования неканонических поверхностей раздела условно разделим на естественные, технологические и инж енерны е. К естественным отнесем те поверхности раздела, которые образова лись под влиянием определенных природных условий (без участия че ловека). К ним, в частности, относятся границы естественных полос тей и инородных включений (пород) в горных массивах.
К технологическим отнесем те поверхности раздела, которые воз никли в результате некоторых особенностей технологического процес са, например волнистые поверхности раздела, образованны е при свар ке взрывом металлов (и неметаллов), неидеальной формы поверхности волокон и слоев композитных материалов с мелкомасш табными от клонениями в структуре и др.
К инженерным отнесем поверхности раздела в элементах конструк ций, которые возникли в результате определенных инж енерны х реш е ний, а именно: элементы конструкций (например, в виде тонкостенны х и толстостенных оболочек и пластин) с криволинейными отверстиями,
включениями, подкрепляющими |
кольцами, |
накладкам и, вы точками, |
||||
составные и слоистые элементы конструкций (в том |
числе с защ итны |
|||||
ми покрытиями) с поверхностями раздела, |
отклоняю щ имися от |
иде |
||||
альной канонической |
формы, и |
многие другие. |
|
|
|
|
Ц елью настоящей |
главы является иллю страция |
на |
отдельны х |
ти |
||
пичных примерах практической |
важности |
разработки |
теоретических |
|||
основ механики кусочно-однородных тел с |
неканоническими поверх |
ностями раздела. Основанием для этого служ ат как теоретические, так
и экспериментальные исследования, которые подтвердили |
сущ ествен |
ное влияние геометрической формы поверхности раздела |
на м ногие |
физико-механические явления. |
|
8
§ |
1. Волнисты е поверхности р а зд е л а , |
|
|
о б р а зо в а н н ы е при с в а р к е взр ы во м |
|
|
|
В |
настоящ ее время общеизвестен тот факт, что при |
сварке |
металлов^ |
(и |
неметаллов) методом взрыва форма поверхности |
раздела |
в значи |
тельной степени определяет прочность сварного шва. Эксперименталь но установлено, что для материалов с низким пределом текучести не обходимая прочность может быть получена и при безволновой зоне соединения, но с большим пределом текучести, удовлетворительное-
соединение |
получается только при волнообразной |
поверхности р аз |
дела [47]. |
О бнаруж енное в экспериментах явление |
волнообразования |
при сварке взрывом долгое время не находило теоретического объяс нения.
В настоящ ее время механизмы образования волн на поверхности" раздела описаны, в частности, в работах [130, 156]. В обзоре [156] дан ан али з различны х теорий сварки взрывом и механизмов образова ния волн на поверхности раздела. При этом отдано предпочтение ме ханизм у, основанному на аналогии между волнами на поверхности раздела и картиной завихрения за препятствиями в равномерном одно
родном |
течении ж идкости. |
Н иж е |
будет |
кратко изложен |
механизм |
|
образования волн на поверхности раздела, который описан в работе |
||||||
[130]. |
|
|
|
|
|
|
1.1. |
М еханизм образования |
волн на некоторых |
поверхностях раз |
|||
дела. В |
настоящ ее время достигнуты значительны е успехи |
в области |
||||
со зд ан и я с помощью взры ва |
материалов |
с заданными |
наперед свой |
ствам и и слож ны х изделий с компонентами из разны х металлов и неме таллов (стали, меди, никеля, керамики и др.). Более того, разработана
технология облицовки методом взры ва сложных изделий специальны |
|||
ми защ итными покры тиями. |
|
|
|
П ринц ипиальная |
схема сварки взрывом показана |
на |
рис. 1.1 |
[130]. Н а основании |
1 (земляной грунт, дерево, металл |
и т. |
п.) распо |
лож ена одна из свариваемых деталей 2 (в простейшем случае пластин |
|
ка) . Н ад ней |
параллельно с определенным зазором h расположена вто |
р ая деталь 3 |
на технологических опорах 4. Н а ее внешней поверхности |
находится |
зар яд 5 взры вчатого вещества (ВВ) заданной высоты Н |
и- |
|
площ ади, как правило, |
равной площади пластины 3. В одном из кон |
||
цов заряд а |
находится |
детонатор. П ри инициировании заряда ВВ |
по |
нему распространяется фронт детонационной волны со скоростью VRt.
леж ащ ей в пределах |
2000 — 8000 м/с. Образующ иеся позади |
него га |
зообразны е продукты |
взры ва в течение короткого времени по инерции |
|
сохраняю т прежний объем ВВ, находясь в нем под давлением |
10 000— |
|
20 000 М П а. Затем со скоростью 0,50— 0,75УД расш иряю тся |
по нор |
мали к свободным поверхностям заряда, сообщая находящемуся под
ними |
участку м еталла |
импульс, под |
действием которого объемы изде |
л и я |
последовательно |
вовлекаю тся в |
ускоренное движение к поверх |
ности |
неподвижной части металла и со скоростью Vz соударяю тся с ней.. |
||||
П ри |
установивш емся |
процессе метаемая |
деталь на некоторой длине |
||
дваж ды перегибается, |
ее наклонный |
участок |
перед ее фронтом с не- |
||
продетонированиой частью зар яд а |
ВВ |
под |
действием сил инерции* |
*
3 4 S
продолжает занимать исходное положение (рис. |
1.2), где У — фронт |
волны разрежения, 2 — фронт раздела продуктов взрыва ВВ, 3 — |
|
фронт детонационной волны, V„ — нормальная составляющая скорос |
|
т и соударяемых контактирующих поверхностей, |
VK— скорость дви |
жения вершины динамического угла встречи у |
контактирующих по |
верхностей в направлении сварки, Ук = Уд.
Высокоскоростное соударение метаемой части металла с непод вижной развивает в окрестности движущейся вершины угла у давле ние порядка 102— 10* кбар. Вызываемое им всестороннее неравномерное -сжатие с наиболее благоприятными условиями для пластического те чения в направлении процесса сварки (благодаря наличию свободной поверхности перед вершиной угла у и возникновению тангенциальной составляющей скорости Ус) заставляет металл поверхностных слоев обеих соударяющихся частей вместе деформироваться со скоростью Ук, что приводит к тесному сближению свариваемых частей.
На рис. 1.3 изображен двухслойный образец 145], полученный при экспериментах в результате одновременного обжатия двух конусов из разных металлов. На нем видна основная особенность, характери зующая сварку,— волнообразование на поверхности раздела свари ваемых металлов.
Таким образом, реализуется известная способность металлов об разовывать прочные соединения (связи) в твердой фазе при создании -между соединяемыми поверхностями физического контакта и условий
|
для |
их электронного |
(химического) |
||||
|
взаимодействия. |
Требующаяся |
для |
||||
|
второй стадии процесса энергия ак |
||||||
|
тивации обеспечивается за счет |
рабо |
|||||
|
ты пластической деформации и вы |
||||||
|
зываемого ею нагрева. Объемная диф |
||||||
|
фузия из-за скоротечности процесса, |
||||||
|
даже несмотря на нагрев, развиваться |
||||||
|
не |
успевает, что |
позволяет |
широко |
|||
|
применять сварку взрывом. |
Обычно |
|||||
|
граница раздела |
металлов |
резко вы |
||||
|
ражена и имеет вид регулярных сину |
||||||
|
соидальных волн. На рис. |
1.4 |
показа |
||||
|
на граница раздела ниобия |
(вверху) и |
|||||
Рис. 1.3 |
меди (внизу) при |
их |
сварке |
взрывом |
10