Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)
.pdfобратиться прежде всего к монографиям Г. Карслоу и Д. Егер, А.В. Лыкова и др., в которых приведен набор решений различных задач. При отсутствии готового решения целесообразно попытаться найти его в виде суммы (комбинации) имеющихся решений, поль зуясь известным принципом суперпозиции (глава 6, п. 6.5). Досто инством этих методов является точность решений; она зависит лишь от точности закладываемых исходных данных и точности производимых вычислений. При решении задачи возможно исполь зование ЭВМ. Температура рассчитывается для любой точки тела и для любого момента времени независимо от расчетов за предшест вующие интервалы времени. Недостатком является ограниченность круга задач, для которых могут быть получены решения.
Метод конечных разностей состоит в том, что в дифферен циальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются ко нечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный во времени ход температуры заменяются прибли женными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела Ах, Ay, Az и малых промежутков времени Ат. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел сложной формы. Ме тод позволяет использование ЭВМ. К недостаткам метода отно сятся: отсутствие общего решения задач; необходимость произ водства вычислений для всего тела и для всего периода, предшест вующего моменту времени, для которого производится вычисле ние температуры, трудоемкость метода.
Метод исследования температурных полей на моделях (фи зическое моделирование) является экспериментальным методом решения теплотехнических задач. Он опирается на теорию подо бия и применяется в тех случаях, когда аналитические и другие методы не могут дать ответ. Суть метода состоит в том, что иссле дование процессов и явлений, протекающих в изучаемом объекте, заменяется: исследованием их протекания на его модели. Данные, полученные на модели, позволяют судить о тех же процессах и явлениях, протекающих на объекте. Существенным достоинством
101
данного метода является возможность решения сложных задач и исследования недоступных объектов.
Метод аналоговых и счетных машин (метод аналогий) со стоит в том, что решение тепловой задачи заменяют уже имею щимся решением задали другой физической сущности, в которой уравнения и краевые условия совпадают с первой задачей, хотя размерности у них различны (глава 4, п. 4.5 - метод ЭТА).
Решения задач перечисленными методами для стационарных и нестационарных температурных полей рассматриваются в сле дующих двух главах.
3.12. Определение коэффициента теплопроводности
Коэффициент теплопроводности, характеризующий способ ность вещества проводить теплоту, может быть определен по фор муле (3.11), в конечных разностях имеющей вид
X = Q l(F A t/M ). |
(3.73) |
Из формулы (3.73) следует, что коэффициент теплопровод |
|
ности численно равен количеству теплоты, |
которое проходит |
в единицу времени через единицу изотермической поверхности при единичном градиенте температуры. Он определяется экспери ментальным путем. В настоящее время разработаны методы опре деления коэффициента X как при нестационарном, так и при ста ционарном тепловом режиме. При стационарном режиме, когда температура в любой точке тела остается неизменной с течением времени ( dt/dx = 0), определить коэффициент теплопроводности технически сложнее, но результаты опыта получаются точнее, чем при нестационарном режиме. В последнем случае нет необходи мости беспокоиться о влиянии на температурное поле краевых эффектов, т. е. нет необходимости сведения задачи к одномерной.
Итак, пусть требуется определить коэффициент теплопро водности X однородного и изотропного материала (обладающего одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям) в условиях стационарной задачи. Для этого необходимо восполь зоваться экспериментальной установкой, схема которой приведена на рис. 3.5. Она состоит из цилиндра 1, в который помещается ис
102
следуемый материал в виде пластины 7. Вокруг пластины 7 уло жена теплоизоляция 6 . Для создания одномерного потока от ос новного нагревателя 4 под теплоизоляцией 6 располагается охран ный нагреватель 5. Чтобы исключить тепловой поток от нагрева теля 4, направленный вниз, под ним за теплоизолятором 3 распо ложен охранный нагреватель 2. Для увеличения температурного перепада в исследуемом образце над ним располагается холодиль ник 8 .
Измерение температуры на поверхностях образца осуществ ляется термопарами 9 я 10, а на поверхностях теплоизолятора 3 - термопарами 11 и 12. Количество теплоты Q, проходящее через исследуемый материал от основного нагревателя 4, определяется по данным измерения силы тока и напряжения в цепи этого нагре вателя. Эти характеристики регулируются реостатом, включенным в его цепь. Тепловой режим от дополнительных нагревателей так же регулируется реостатами.
7 S
■ у / Т / / / ; ; . ZZZZZZ2ZZ2Z2ZZZS^ ZZZZ2Z2Z27;
'" 7 |
......7 |
....../ |
..... / |
|
3 |
2 |
1 |
Рис. 3.5. Схема установки для определения коэффициента теплопровод ности при стационарном режиме.
После того как будут осуществлены все измерения, коэффи циент теплопроводности определяется по формуле
X = Q$/[F(t2-/,)], |
(3.74) |
где 5 и F - толщина и площадь исследуемого образца; /, и t2 -
температура соответственно на верхней и нижней поверхностях образца.
103
3.13. Определение коэффициента температуропроводно сти методом регулярного режима
9 |
В п. 3.12 отмечалось, что |
|||
|
определение |
термических |
ха |
|
|
рактеристик выполняются |
при |
||
|
стационарном |
и нестационар |
||
|
ном тепловом режиме. Метод |
|||
|
регулярного режима предусмат |
|||
|
ривает определение термиче |
|||
|
ской характеристики при неста |
|||
|
ционарном тепловом режиме. |
|||
Рис. 3.6. График определения |
Понятие регулярного ре |
|||
жима было введено Г.М. Конд |
||||
темпа охлаждения тела. |
||||
/, II, III — стадии охлаждения тела. |
ратьевым при изучении тепло |
|||
обмена тел в среде с постоян |
||||
|
ной температурой. Установле |
но, что процесс охлаждения однородного и изотропного тела раз личной геометрической формы можно разделить на три стадии (рис. 3.6). Первая стадия режима охлаждения - неупорядоченная стадия (скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры). Вторая стадия (ре гулярный режим) - процесс охлаждения определяется условиями на границе тела и окружающей его среды, физическими свойства ми тела, его геометрической формой и размерами. На третьей ста дии (стационарный режим) температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.
Процесс охлаждения тела при регулярном режиме может
быть описан формулой |
|
& = Се~т , |
(3.75) |
где & - так называемая избыточная температура, равная разности между температурой тела t и температурой окружающей среды tc;
С - постоянный коэффициент, определяемый начальными условия ми; т - темп изменения температуры в данной точке тела; т - время.
Из формулы (3.75) видим, что температура тела убывает во времени по экспоненциальному закону.
Продифференцируем выражение (3.75) по времени, получим
104
д ^ д х = -т С е ~тт. |
(3.76) |
Решив совместно (3.76) и (3.75), найдем |
|
дЗ/Зт = -m 3 |
(3.77) |
или, разделив переменные, |
|
991§ = -т дг. |
(3.78) |
Интегрирование уравнения (3.78) дает выражение для нахо ждения темпа охлаждения (нагревания)
(lndj —1п&2)/(т2 —т,) = т . |
(3.79) |
При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной по стоянной для всех точек тела. Установлено также, что если коэф фициент теплоотдачи а —» °о, то имеет место соотношение
я = £,/я, |
(3.80) |
где а - коэффициент температуропроводности; к, - коэффициент пропорциональности (коэффициент формы), определяемый фор мой и геометрическими размерами тела. Этот коэффициент для различной формы тел можно рассчитать по формулам. Например:
для шара
|
|
k ^ l K n / R f , |
(3.81) |
для цилиндра конечной длины |
|
||
|
|
£2 =1/[(2,405/Л)2+ (V 0 2L |
(3-82) |
для параллелепипеда |
|
||
|
|
къ =1/[(п/11) 2 +(п/12 ) 2 + (п/13)2], |
(3.83) |
где R - |
радиус шара или цилиндра; I - длина цилиндра; /,, |
/2, /3 - |
|
длина сторон параллелепипеда. |
|
||
Решив совместно уравнения (3.80) и (3.79), найдем |
|
||
| |
. |
, а = ki (InSj-1п&2)/(т2-X j). |
(3.84) |
Таким образом,'чтобы определить коэффициент температу ропроводности изучаемого тела а, необходимо в эксперименте
105
найти два значения избыточной температуры 9, и Э2, относящие |
|
||||
ся соответственно к моментам времени т, и х2 • |
|
|
|
||
Схема экспериментальной установки для определения коэф |
|
||||
фициента температуропроводности приведена на рис. 3.7. Она со |
|
||||
стоит из сосуда с водой 1 , где происходит процесс охлаждения те |
|
||||
ла 2 , помещенного в шаровой сосуд из теплопроводного материала |
|
||||
(меди) и нагретого предварительно в термостате, термопары 3, |
|
||||
один спай которой помещен внутрь исследуемого тела, а второй |
|
||||
находится в охлаждающей жидкости, мешалки 4. |
|
|
|
||
|
|
После измерения темпе |
|
||
|
ратуры тела t и окружающей |
|
|||
|
среды tc строится кривая изме |
|
|||
|
нения температуры во времени |
|
|||
|
в |
координатах |
1п&, |
г |
|
|
(см. рис. 3.6). На участке кри- |
j |
|||
|
вой, где 1пЭ линейно зависит |
|
|||
|
от х (соответствует регулярно- |
j |
|||
|
му режиму охлаждения), опре- |
j |
|||
|
деляем угловой коэффициент т |
|
|||
Рис. 3.7. Схема установки |
- |
|
|
|
|
для определения коэффициента |
Затем рассчитываем коэффици |
|
|||
температуропроводности. |
ент температуропроводности а |
|
|||
|
по формуле (3.84), предвари |
|
|||
тельно определив £,• по формуле (3.81). |
|
|
|
|
|
3.14. |
Определение коэффициента |
|
|
температуропроводности по полевым наблюдениям
Нередко возникает необходимость определения коэффици ента температуропроводности почвогрунта, снега, льда и других материалов в полевых условиях. Эту задачу можно осуществить, организовав наблюдения за температурой по глубине изучаемой толщи (рис. 3.8). При этом получают интегральное значение коэф фициента температуропроводности, отражающего температуро проводность изучаемой толщи как многофазной среды, и предпо лагается, что имеет место только молекулярная теплопроводность.
106
Рис. 3.8. Схема расположения по глубине точек наблюдения за температурой.
I, II—слои, на границах которых измеряется температура; 1 , 2 - кривые хода температуры по глубине
в моменты времени т, и т2.
Воспользуемся уравнением теплопроводности для нестацио нарного одномерного температурного поля (3.59), записанного в конечных разностях:
|
|
|
|
At/Ax = aA2t/A z2 . |
|
|
(3.85) |
||
|
Это уравнение можно переписать следующим образом: |
||||||||
|
|
|
|
|
Al |
Atr |
|
/Az, |
(3.86) |
|
|
|
|
|
Az |
Az |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At |
|
(3.87) |
|
|
|
|
|
|
Az |
Az |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Az - шаг по глубине толщи грунта; t |
и |
- температура |
||||||
на |
глубине |
z |
соответственно |
в моменты |
времени |
х, и х2; |
|||
A t |
t |
- t |
Л |
Al |
^Z+AZjt! |
^z,t1 |
традиенты темпера |
||
Az |
2i'll |
*Z~&Z,T\ и |
Az |
||||||
|
Az |
|
Az |
|
|
|
|
туры в выше (I) и нижележащем (II) слое по отношению к гори зонту z в момент времени Tj. Из формулы (3.87) видно, что для оценки коэффициента температуропроводности а для данного грунта необходимо измерить температуру на трех горизонтах толщи. В этом эксперименте следует обратить внимание на харак тер теплового процесса: в период наблюдений он должен отвечать условиям охлаждения или нагревания.
107
СТАЦИОНАРНОЕТЕМПЕРАТУРНОЕПОЛЕ
4.1. Одномерное стационарное температурное поле
Однослойное плоское тело. Начнем рассмотрение задачи о распределении температуры в теле при стационарном режиме с аналитического метода.
Условимся под однослойным плоским телом понимать всякое тело, имеющее ограниченные размеры по высоте (тело, имеющее тол щину) и неограниченные размеры по двум другим направлениям (в плане). Такое тело носит название пластины. В наших задачах в ка честве однослойного плоского тела могут быть приняты ледяной или снежный покровы, слой почвогрунта или воды, стенки гражданских и промышленных сооружений.
Рассмотрим плоское тело толщиной 8, направление которой совпадает с осью z декартовой системы координат, и неограничен ного протяжения по направлению двух других осей х и у.
Пусть на поверхностях тела поддерживается постоянной температура tx и t2 (стационарная задача).
При стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Поэтому в дифференциальном уравнении теплопроводности без источников и стоков теплоты (3.53), которое позволяет определить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля, производная dt/dx = 0. В связи с этим обстоятельством, а также ввиду того, что
рассматривается одномерная задача, температура изучаемого тела будет функцией только одной координаты. Поэтому уравнение
(3.53) запишется в виде уравнения (3.62): |
|
d 2t/ dz2 = 0. |
(4.1) |
Интегрирование этого уравнения приводит к следующим ре |
|
шениям: |
|
dtjdz —Cj , dt —С,d z, |
(4-2) |
108
t = Cxz + C2, |
(4.3) |
где Cx и C2 - постоянные интегрирования, |
которые могут быть |
определены при граничных условиях первого рода, названных выше, т. е.:
1) при z = 0 |
t = U, |
(4.4) |
' * |
1 |
|
2) при z = 8 |
t = t2. |
|
Из уравнения (4.3) видно, что распределение температуры по координате z подчиняется закону прямой. Если это распределе ние изучается в ледяном покрове, то t\ < t2. Тепловой поток в этом случае направлен снизу вверх в сторону уменьшающихся значений
температуры. |
|
|
Подставив первое граничное условие |
из |
системы (4.4) |
в уравнение (4.3), получим |
|
|
С2 =Ц, |
|
(4.5) |
а, подставив второе, с учетом равенства (4.5) |
|
|
t2 = Cx8 +tx, |
|
(4.6) |
откуда |
|
|
Q = ( '2 - 0 / 5 . |
|
(4.7) |
С учетом постоянных интегрирования |
Сх и |
С2 уравнение |
(4.3), представляющее собою прямую, примет вид |
|
|
t = tl +z(t2 - t l)lb. |
|
(4.8) |
Уравнение (4.8) определяет распределение температуры по толщине однослойного плоского тела.
При втором граничном условии (4.4) уравнение (4.8) можно представить в виде равенства
ifг ~ h )/8 — |
)/5 > |
(4-9) |
из которого, заменив левую часть по закону Фурье (3.10), получим:
q/X = —{t2 —?i)/8 = (/[ —12 )/8 |
(4.10) |
или удельный расход теплоты через однослойное плоское тело
109
q = X(tl - t 2)lb. |
(4.11) |
Многослойное плоское тело. Рассмотрим теперь плоское |
|
тело, состоящее из п слоев толщиной 5 ,,52, ...,8„ |
и с коэффици |
ентами теплопроводности Хх,Х 2, ...Д л. Слои тела плотно при жаты друг к другу. Прообразом такого многослойного плоского
|
тела (многослойной стенки |
||
|
или толщи) может высту |
||
|
пать, например, снежно |
||
|
ледяной покров (рис. 4.1). |
||
|
При граничных условиях |
||
|
первого рода должна быть |
||
|
задана температура на по |
||
|
верхностях многослойного |
||
|
тела: на поверхности снега |
||
|
- tx и на нижней поверх |
||
Рис. 4.1. Теплопроводность |
ности льда - |
t +1. Задачей |
|
в этом случае является ус |
|||
многослойной толщ и |
|||
тановление |
температуры |
||
при граничных условиях первого рода. |
на границах каждого слоя и расхода теплоты через всю многослойную толщу. При трех слойной толще, как в нашем примере, должна быть задана темпе ратура tx и tA, а отыскивается t2 и ?3.
Если в слоях толщй нет источников и стоков теплоты, то, по закону сохранения энергии, теплота, вошедшая в первый слой, должна пройти все слои толщи без ее увеличения и потерь.
Для решения поставленной задачи нет необходимости воз вращаться к общему уравнению теплопроводности при стационар ном режиме (4.1). Для этого достаточно воспользоваться решени ем (4.11). Согласно уравнению (4.11), для каждого слоя толщи, состоящей из п слоев, можно записать:
<7 |
= (^-2/ ^ 2)(^2 |
з)’ |
(4 12) |
4 |
= {^J^>n){tn - t n+1). |
|
110