Физика вод суши by Винников С.Д., Викторова Н.В. (z-lib.org)

стоянной и равной 6 °С. В этот момент температура на поверхно­ сти почвы упала до О °С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы а = 0,001 м2/ч, а также оценить количество теплоты, теряе­ мое поверхностью за это время,

Решение. Определяем значение функции х/^4ах =

= 0,5/^4-0,001-48 =1,14.

Из табл. 5.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса ^(1,14) = 0,87.

По формуле (5.29) температура почвы на глубине 0,5 м через

48 ч £ = 6 • 0,87 = 5,2 °С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей по­

верхности	почвы,при коэффициенте теплопроводности			X =
=0,35 Вт/(м • °С), удельной теплоемкости с =		0,83 •	103 Дж/(кг ■°С) и
плотности	р = 1500 кг/м3 определим	по	формуле	(5.30):

е = 1,86-10бДж.

Задача № 3. Исходные данные. Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограничен­ ного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодиче­ ские колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гар­ монические, т. е. температура поверхности меняется по косину­

соиде:
7’о=7’ошВесо8(2ят/т),	(5.31)

где Т0 - температура поверхности; Г0макс - ее максимальное откло­ нение; т - продолжительность колебания (период).

Требуется определить температурное поле как функцию времени.

Решение:

t =Гомакс ехр[- x-Jn/(cn)}cos(x~Jn/(ai) - 2п т/т).

(5.32)

Амплитуда колебаний температуры меняется с х по сле­ дующему закону (рис. 5.2):

141

	м акс ^ О м ак с ®Х р [ X я ( б / т ) ] .	(5.33)
	Пример к задаче № 3. Изменение
	температуры на поверхности сухой песча­
	ной почвы в течение года характеризуется
	косинусоидальным ходом. Средняя годовая
	температура при этом равна 6 °С при мак­
	симальных отклонениях от средней летом и
	зимой, достигающих 24 °С.
	Требуется определить	температуру
	грунта на глубине 1 м в момент, когда
Рис. 5.2. Распределение	температура на поверхности равна 30 °С
температурыпо глубине	(условно 1/VII).
толщи.	Решение. Выражение	косинусоиды
	(5.31) применительно к данному случаю

(температуре поверхности) при Г0макс = 24 °С примет вид

Т0 = 24cos(2ttc/8760)+6 .

Ввиду того что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6 °С, а не нуль, как в уравнении (5.32), расчетное уравнение примет следующий вид:

t = 24ехр[-хЛ/л/|(^]со8(хЛ/л /(ат)-2 лт/т)+ 6 .

(5.34)

Приняв для грунта коэффициент температуропроводности а = 0,001 м2/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через т = =8760 ч от начального момента), найдем:

хл]п/(ах) = Ц/3,14/(0,001 • 8760) = 0,6; е-0’6 = 0,549.

Расчетное выражение (5.34) приобретет следующий вид: t = 24е-0’6 ■0,825 + 6 = 16,9 °С.

На той же глубине 1 м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (5.33), составит

142

Г1макс=24<Г°’6 =13,2 “С,

а максимальная температура на глубине 1 м

^макс = Тхмакс + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 “С.

Взаключение отметим, что рассмотренные задачи и подхо­ ды могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.

5.2.Численный метод решения уравнения теплопровод­ ности для одномерного температурного поля

Вглаве 3, п. 3.8 отмечено, что одномерное температурное поле при нестационарном режиме подчиняется уравнению тепло­ проводности, записанному в следующем виде:

dt/dx = ad 2t/dz2 .

(5.35)

Задачи содномерным температурным полем встречаются очень часто в практической деятельности гидрологов и гидротех­ ников, связанные с изучением, например, температурного режима снежного и ледяного покровов, почвы, грунтов и в других случаях.

Так, например, для решения многих задач ледотехники надо знать прочность льда на растяжение и сжатие. Это относится к оп­ ределению статического и динамического давления льда на мор­ ские портовые сооружения, на речные гидротехнические сооруже­ ния, на мостовые опоры, при расчете ледовых переправ и т.п. Хо­ рошо известно, что прочность льда зависит от его температуры, поэтому для проектной работы надо заранее знать распределение температуры в ледяном или в снего-ледяном покровах.

Стационарный тепловой поток через однородное или слои­ стое тело хорошо изучен и изложен во многих учебниках и руко­ водствах по теплопередаче, что же касается нестационарного теп­ лового потока через такие тела, в особенности в переменных ус­ ловиях среды, то здесь встречаются еще недостаточно корректные рекомендации, затрудняющие правильные решения.

143

Строгое решение дифференциального уравнения для неста­ ционарного теплового потока через слоистые тела в переменных условиях среды сопровождается серьезными затруднениями и большой затратой труда на вычислительную работу, поэтому по­ нятно, почему исследователи этой проблемы стали применять раз­ личные практические и приближенные приемы для ее решения. Хотя они (приемы) и уступают строгости чисто математических решений, тем не менее точность получаемых решений удовлетво­ ряет практическим требованиям, а быстрота получения результа­ тов вполне оправдывает использование этих приемов. Во многих же других случаях эти методы являются единственно возможными.

Наиболее простым численным методом решения уравнения (5.35) является метод конечных разностей (метод Шмидта). Он впервые был предложен австрийским инженером Шмидтом, кото­ рый дал методу графическую форму, а его развитие в направлении применения к расчету температуры в снего-ледяном покрове при различных граничных условиях осуществил российский гидротех­ ник В.А. Берг.

Уравнение (5.35) в конечных разностях записывается в сле­ дующем виде:

		At/Ax = aA2t/Az2 .			(5.36)
Раскрывая смысл второй производной от температуры по
координате z, можем написать:
	At	Л/
Л2?	Az 3 - 4	Az 2 - 3	^z + A z , t 0 ^ z, x0 ^z , t 0	^ z - A z , x0
Az2	Az		Az2	Az2	(5.37)
^	A, „	+t„	-tz T
Az2		2	Z,Tn

Решив совместно уравнения (5.36) и (5.37), получим:

At = 2аДт f t , * Л (5.38)

Az2

Приняв

2аАх/Az2 =1,

(5.39)

144

получим:

^z.To+A* = ^z,t0 + Af —(^z+Az.td + ^z-Az,t„ j/ 2 j

(5.40)

т. e. температура на горизонте z в момент времени т + Лт равна среднему арифметическому из значений температуры на соседних горизонтах в предыдущий момент времени (рис. 5.3).

В условии Шмидта (5.39) при заданном значении коэффици­ ента температуропроводности а имеются две неизвестные величи­ ны - Дт и Az. Одну из них мы можем выбрать. Задав, например, Az так, чтобы в пределах общей толщи укладывалось 1 0 - 1 2 интер­ валов Az, получим из условия Шмй&та (5.39) значение промежутка времени Дг:

Дт = Дг2 /(2а).

(5.41)

Если задаться промежутком времени Дт, то из того же усло­ вия Шмидта найдем

Дг = л/2аДт .

(5.42)

Расчет температурного поля для однослойного плоского тела. Ход графического построения температурных кривых по

ТТТмштту ясен из рис. 5.3. Вначале вычерчивается в выбранном масштабе для / и г температурная кривая для начального момента времени (начальные условия), которая задается по условиям по­ ставленной задачи. Затем, как это показано на рисунке вспомога­ тельными линиями (на рисунке штриховые линии), последова­ тельно соединяются точки 1 с 3, 2 с 4 и т. д. В местахпересечения этих штриховых линий с горизонтальными прямыми получаем значения температуры в точках 2', 3', 4', 5' и т. д. на момент време­ ни т0 + Дт. Температура на поверхности в точке 1' для этого мо­

мента задана граничными условиями. Принимая полученную тем­ пературную кривую за начальную, повторяем графическое по­ строение и получаем третью кривую на момент времени т0 + 2Дт .

Эти простые построения выполняют на весь расчетный период и, таким образом, решение задачи оканчивается.

Если среда имеет ограниченную протяженность по оси z, как, ,например, стенка или ледяной покров, то техника построения остается той же, но требуется задание граничных условий на обеих сторонах, ограничивающих стенку.

145

z

Рис. 5.3. Пример построения температурных кривых методом конечных разностей при граничных условиях I и III родов.

При задании граничных условий второго рода, когда на весь расчетный период установлено значение градиента температуры на поверхности, техника графического построения температурных кривых, по Шмидту, остается прежней, но для крайних слоев Az, прилегающих к свободным ограничивающим поверхностям, зада­ ется тангенс угла наклона температурной кривой к оси z:

Графическое построение отрезка температурной кривой при этих условиях показано на рис. 5.4.

При граничных условиях третьего рода, когда задается теп­ ловой поток на поверхности, мы вправе считать, что тот же поток проходит и через крайний, прилегающий к поверхности слой Az.

146

Тогда, приравнивая эти потоки (один оцениваем по закону Фурье (3.10), второй - по закону Ньютона (3.16), получаем:

At

■со (5.44)

Az

откуда непосредственно следует:

At	е - ; п	(5.45)
Az П
	V a

Рис. 5.4. Пример построения температурных кривых методом конечных разностей при граничных условиях II рода.

Над осью температуры отложим отрезок (рис. 5.3), равный Уа, и на этом расстоянии от граничной поверхности проведем го­ ризонтальную прямую. На этой прямой в масштабе температуры отложим отрезок, равный 0. Конец этого отрезка соединим прямой с точкой 2 ', полученной графическим построением по методу Шмидта. Пересечение этой прямой с осью температуры дает ис­

147

комое значение температуры	поверхности на момент времени
г0 + Д г. Это обстоятельство	следует из подобия треугольников

с катетами Ataи Az и 9 - tn и Уа [рис. 5.3 и уравнение (5.45)].

Дальнейшее построение температурных кривых ведется ме­ тодом, описанным выше.

В настоящее время к графическим построениям не прибега­ ют, а все вычисления ведут в таблицах, что заметно упрощает и уточняет конечный результат расчета. Пример расчета температу­ ры в табличной форме приводится ниже.

Расчет температурного поля для многослойного плоско­ го тела. При решении тепловых задач важно правильно задать на­ чальные и граничные условия. При этом начальное распределение температуры по мере решения задачи во времени постепенно теря­ ет свое значение, так как сравнительно быстро его влияние сгла­ живается. Что же касается граничных условий, то влияние их не­ прерывно и сказывается в течение всего процесса расчета. Поэто­ му правильное задание граничных условий имеет решающее зна­ чение.

Как и во многих других задачах теплотехники, в рассматри­ ваемой нами ниже задаче очень часто пользуются граничными ус­ ловиями I рода, как наиболее простыми, т. е. рассматривают теп­ лопередачу как математическую задачу Дирихле - с наперед за­ данной на границе тела температурой, меняющейся во времени. Но правильно задать граничные условия I рода, т. е. температуру поверхности тела, очень трудно, а иногда и невозможно. Напри­ мер, температура поверхности снего-ледяного покрова сама явля­ ется искомой величиной, и поэтому, если она задается заранее, то тем самым задача наполовину обесценивается. В других случаях температура поверхности снега принимается равной температуре воздуха, что также приводит к неточностям. Поэтому наиболее правильным является задание граничных условий III рода, т. е. применительно к задаче Неймана, так как при этом попутно опре­ деляется и температура поверхности снега.

При решении задачи о распределении температуры в много­ слойном плоском теле, например, в снего-ледяном покрове вне зависимости от граничных условий должны быть удовлетворены следующие положения:

148

-на разделяющей плоскости снег —лед нет температурного скачка, а также источников и стоков теплоты;

-тепловые потоки по обе стороны разделяющей плоскости снег-лед должны быть взаимно равны в силу закона сохранения энергии;

-как в снеге, так и во льду должно быть удовлетворено

дифференциальное уравнение теплопроводности.

Эти условия записываются следующим математическими зависимостями:

дх dz

( 5 ' 4 6 )

	-A.,.grad t\z=%= -A,;+1grad г ц ,		(5.47)
		= *<+1,5 >	(5.48)
где i	- номер слоя тела; z - текущая ордината,		направленная
вниз;	Xj и а, - коэффициенты соответственно теплопроводности
и температуропроводности слоя.
	Кроме уравнений (5.46) - (5.48) должно быть задано началь­
ное условие задачи -		распределение температуры по глубине
в обоих слоях при х = 0		:
		W o = / ,( z )	(5.49)

и граничное условие, если подстилающей поверхностью является вода:

гм.г=н, т = °°С = const,

(5.50)

где Н —толщина снего-ледяного покрова.

Уравнение (5.50) показывает, что температура на нижней поверхности льда равна 0 °С в течение всего расчетного периода.

Граничные условия на верхней поверхности снега записы­ ваются, как уже отметили выше, по-разному. Для условий I рода следует записать так:

(5-51)

149

для условий III рода по формуле (5.45):
■■ ■ 8radri>2=o>T= ^ ( 0 t - r niI=o>t),		(5.52)
1	•

где 0Т= / 3(т) - температура воздуха (внешней подвижной среды);

а - коэффициент теплоотдачи от поверхности снега в атмосферу. Уравнение (5.52) как раз и представляет собой требование

задачи Неймана, сводящееся к тому, чтобы градиент температуры по нормали у поверхности тела удовлетворял заданным условиям. Практически это выражается в том, что наружная касательная к температурной кривой в рассматриваемом теле должна прохо­ дить через так называемую направляющую точку, которая имеет

координаты	X
	— и 0 (рис. 5.3).
	а
Рассмотрим более простое решение задачи о распределении
температуры	в снего-ледяной толще при граничных условиях
I рода в табличной форме.		j
Нам уже известно, что в методе конечных разностей обе ис-		I

следуемые	среды - снег ( # с = 0,15 м) и лед ( Я л = 0,60 м) разби­
ваются на	слои соответственно		Az{ и Az2, толщина	которых
должна удовлетворять одновременно условию (5.39):
	— =	или	Azl =Az2J ^ .	(5.53)
	а2	Az 2	У#2

Пусть при Ах = 1 ч слои будут равны Azx = 0,05 м, Дz2 = 0,10 м.

Тогда температура во всех точках снего-ледяного покрова, кроме точек z = 0, z = 0,15 м и z = 0,75 м (рис. 5.5, табл. 5.6), опре­ деляется согласно стрелкам по формуле (5.40)

*z,x+Дт = 2 (^+Az,T + lz-Az,x) •

(5.54)

Для примера расчета принято, что температура поверхности снега и температура воздуха одинаковы и повышается она от - 30 °С до - 10 °С со скоростью 4 °С/ч, а затем остается постоянной неог­ раниченно длительное время.

150