Курсач
.docxЭтап №1. Дифференциальные уравнения движения точки.
Задача №1. Прямолинейное движение точки
Дано:
α=30ᴼ, X=5м, f=0,3, V1=?, T=?
Y
M0 N̅
M F̅
G̅ Mк α
Х
Запишем основное уравнение динамики для точки М, находящейся между начальной и конечной точками:
mW̅ = F̅ + G̅ + N̅
По условию задачи точка не двигается по оси y, следовательно:
mŸ = N - mg = 0
N = mg
Спроектируем все силы на ось х и запишем основное уравнение динамики для этой оси:
mẌ = -F + mg , откуда Ẍ = -
Решаем это уравнение, если учитывать, что F = fmg
Получаем уравнение:
Ẍ = -g(f- )
Ẍ = 2,35 м/с2
Проинтегрируем это уравнение дважды и получим систему уравнений:
Подставим в эти уравнения начальные условия для нахождения констант интегрирования C1 и С2:
V0 = 0 t0 = 0 Х0 = 0
С1 = 0 С2 = 0.
Далее подставим конечные условия в предыдущую систему уравнений:
tк = T Vк = V Хк = 5
Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными, которая имеет единственное решение. Решив её, получим:
T = 4,24c
V = 9,98 м/с
Задача №2. Криволинейное движение точки.
Дано:
α=45о v0=10м/c y=2м t=?
Y
начальные условия:
t0 = 0
Mк
Y0 = 0
M
8
V0 G̅ 2м
α M0 30 X
Запишем основное уравнение динамики (Второй закон Ньютона):
mW̅ = F̅i
Спроектируем это уравнение на оси x и y и перепишем для нашей конкретной задачи:
mẌ = 0
mŸ = -mg откуда Ÿ = -g
Проинтегрируем полученные формулы и получим закон движения точки:
Ẋ = С1 Ẏ = -gt + C3
X = C1t + C2 Y = -+ C3t + C4
Подставим в полученные уравнения начальные условия для определения констант интегрирования:
V0*cos α = C1 V0*sin α = C3
X0 = C1t + C2 => C2 = 0 C4 = 0
Подставим полученные значения констант в уравнение для Y и получим:
(1)
Подставим конечные условия в уравнение (1):
При tк=T Xк = 30м Yк = 2м
Имеем уравнение, которое имеет единственное решение. Решив её, получим
T = 4,54с.
Ответ: необходимое время полета составляет 4,54 секунды.
Этап №2. Применение основных теорем динамики. Принцип Даламбера.
Задача №3.
Дано:
m = 0,3 кг
0,2 c
V0 = 4 м/с
N̅ Fтр Фп
D C B
xx V фт V
А V0 N̅ G̅ Fупрр G̅ G̅ N̅
M0 G̅
β Fтр G̅
α
Найти:
VB, VC, VD, Nc.
Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему)
– сумма работ внешних сил, где h – высота подъема шарика, а Fтр – сила трения.
Следовательно,
Для нахождения применим принцип Даламбера (В любой момент времени векторная сумма всех активных сил, всех реакций связей и мысленно приложенной силы инерции равна нулю):
F̅ + R̅ + φ̅ = 0
Сила инерции по модулю равна массе тела, умноженной на её ускорение, а по знаку – противоположна.
φ̅ = - mw̅
Также, она состоит из касательной и центробежной составляющих.
φ̅ = φ̅n +φ̅τ
|φ̅τ| = |φn| = , где ρ = R = 4.
Рассмотрим участок BC и применим для него теорему об изменении кинетической энергии (Изменение кинетической энергии системы равно сумме работ всех сил, действующих на систему):
Запишем теорему об изменении импульса (Разность импульсов в конечной и начальной точках движения равна сумме всех сил, действующих на точку, умноженную на время прохождения точкой этого участка):
mV̅D – mV̅B =
Рассмотрим участок BD и применим для него теорему об изменении импульса:
Из этого уравнения мы находим Vd
Этап №3. Определение скоростей точек системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы.
Дано:
m1 = 200 кг m2 = 40 кг m3 = 70 кг m4 = 50 m5 = 100 r2 = 19 см R2 = 24 см i2 = 22 см r3 = 22 см R3 = 28 см i3 = 25 см R4 = 11 см MC2 = 90 Нм MC3 = 100 Нм S = 2,1 м |
C2
V̅C2
V1 = ? |
A1 B1 V̅В1
3
ω3 2 B2 A2
ω2
A1
V̅A1
V̅С ω4
C P
4 1
V̅1 V̅5
5
Эта задача на данном этапе решается с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы (Разность начальной и конечной кинетической энергии системы равна сумме работ внешних сил).
Для применения этой теоремы необходимо будет найти суммарную кинетическую энергию системы в начальном и конечном положении. Т.к. в начальном положении система находилась в покое, то кинетическая энергия в этот момент равна нулю.
Найдем значение кинетической энергии системы в конечном положении, она равна сумме кинетических энергий всех тел системы:
T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 =
Исходя из схемы системы, выразим все неизвестные в этом выражении через скорость первого тела:
V1 = VA1 = ω2R2 , откуда ω2 =
VA2 = ω2r2 = ω3R3 , откуда ω3 =
VB2 = ω3r3 = , откуда ω4 =
Момент инерции тел 2,3,4 вычисляется по формуле:
Iz =
Iz4 = =3
Если теперь подставить всё это в формулу кинетической энергии и вынести за скобку , то всё, что останется в скобке, обозначим за приведенную массу. В итоге получим:
Mпр = m1 +
Рисунок 2. Силы и реакции опор в системе.
1 B1
A2 B2
A1 G3
G2
C P
G1 G4
G5
Для составления правой части уравнения теоремы об изменении кинетической энергии, потребуется найти сумму работ всех внешних сил. Выпишем все внешние силы, действующие на систему и работы, которые они совершают:
-
Работа силы тяжести первого тела:
A(G1) = m1gS1=4116
-
Работа момента сопротивления второго тела:
A(Mc2) = -Mc2ϕ2=
-
Работа момента сопротивления третьего тела:
A(Mc3) = -Mc3ϕ3 =
-
Работа силы тяжести четвертого тела:
A(G4) =
Связи между перемещениями находим из связей между скоростями:
ϕ2 =
Сумма работ всех внешних сил:
Fпр. = 2508,12
Запишем теорему об изменении импульса:
,откуда = = 5,3 м/с.
Этап №4. Исследование поступательного, вращательного и плоскопараллельного движений тел при помощи дифференциальных уравнений движения.
m1
= 200 кг m2
= 40 кг m3
= 70 кг m4
= 50 m5
= 100 r2
= 19 см R2
= 24 см
i2
= 22 см r3
= 22 см R3
= 28 см i3
= 25 см R4
= 11 см MC2
= 90 Нм MC3
= 100 Нм
S = 2,1 м
3
2
4
1
5
2) Мысленно разрежем тела друг от друга для получения внешних сил из внутренних. Рассмотрим каждое тело в отдельности:
-
тело:
Т12
G
Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения.
m1W1 = m1g – Т12
200W1 = 200 ˑ 9,8 – Т12 (1)
-
тело:
Y̅с
Mc2
Т23
Х̅с
ω2
Т21
G̅2
Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:
Т21 = - Т12
Y̅3
Т32
ω3
-
тело:
X̅3
M̅c3
T̅34
G̅3
Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:
J3ε3 = - Mc3 - T34r3 + Т32R3
J3 = m3i32
m3i32ε3 = - Mc3 - T34r3 + Т32R3
3,39ε3 = -100 – 0,25T34 – 0,28Т23
(3)
-
тело:
Т43
Т40
ω3
G̅4
Укажем все силы, действующие на тело. Составим уравнения:
m4W4 = Т45 - T43 - T40 (4)
ˑ ε4 = (50 ˑ 9,8 + T45) ˑ R4 – T43 ˑ 2R4
Т54
-
Тело
G̅5
Составим уравнение
m5W5 = m5g – Т54
m5W5 = m5g +Т45
Составим уравнения кинематических связей:
V1 = ω2R2 W1 = ε2R2 (6)
ω2r2 = ω3R3 ε2r2 = ε3R3 (7)
ω3r3 = ω42R4 ε3r3 = ε4R4 + r4 (8)
Vc2 = ω4R4 W4 = ε4R4 (9)
200W1 = 200 ˑ 9,8 – Т12 (1)
(2)3,39ε3 = -100 – 0,25T34 – 0,28Т23 (3)
50W4 = Т45 + 50 ˑ 9,8 - T43 - T40 (4)
3,125 ε4 = (50 ˑ 9,8 + T45) ˑ 0,11 – T43 ˑ 0,22 (5)
100W4 = 980 +Т45 (6)
W1 = 0,24ε2 (7)
0,19ε2 = 0,28ε3 (8)0,22ε3 = 2ˑ0,11ε4 (9)
W4 = 0,11ε4 (10)
Имеем систему из 9 уравнений с 9 неизвестными. Подставляем в (6) уравнение значение W1 = 6,67 м/с (взятое из 5 этапа):
ε2 = 27,5 рад/с2
Дальше по цепочке подставляем полученные значения.
Из (7): ε3 = 18,7 рад/с2
Из (8): ε4 = 18,7 рад/с2
Из (9): W4 = 2,05 м/с2
Из (1): Т12 = 640 H
Из (2): Т32 = 1001,89 H
Из (2): Т43 = 514,38 H
Из (2): Т45 = 1070 H
Из (2): Т40 = 943,12 H
Этап №5. Применение уравнений Лагранжа второго рода к механическим системам с одной степенью свободы.
Дано:
m1 = 200 кг m2 = 40 кг m3 = 70 кг m4 = 50 m5 = 100 r2 = 19 см R2 = 24 см i2 = 22 см r3 = 22 см R3 = 28 см i3 = 25 см R4 = 11 см MC2 = 90 Нм MC3 = 100 Нм S = 2,1 м |
C2
V̅C2
W1 = ? |
A1 B1 V̅В1
3
ω3 2 B2 A2
ω2