3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Предположим, что имеются две взаимно перпендикулярные векторные величины и , изменяющиеся со временем с одинаковой частотой по гармоническому закону
, (6.6)
Здесь и — орты координатных осей и , и — амплитуды колебаний. Величинами и могут быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия или напряженности двух взаимно перпендикулярных электрических полей ( и ) и т. п. В случае колеблющейся частицы величины
, (6.7)
определяют координаты частицы на плоскости . В случае электрических полей величины (6.7) определяют координаты конца результирующего вектора напряженности поля .
Частица или конец вектора будут двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (6.7) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (6.7) параметр . Из первого уравнения следует, что
(6.8)
Соответственно
. (6.9)
Развернем косинус во втором из уравнений (6.7) по формуле для косинуса суммы (), подставляя при этом вместо и их значения (6.8) и (6.9). В результате получим
.
Это уравнение посредством очевидных преобразований можно привести к виду
(6.10)
Мы получили уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей и . Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд и и разности фаз . .
Определим форму траектории для нескольких частных случаев.
1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (6.10) упрощается следующим образом:
.
Отсюда получается уравнение прямой:
(6.11)
Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной (рис. 5а).
2. Разность фаз равна ±. Уравнение (6.10) имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
(6.12)
(рис. 5.6).
Рис. 5
3. При уравнение (6.10) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям
(6.13)
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд и эллипс вырождается в окружность.
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности. Если , уравнения (6.7) можно написать следующим образом:
, . (6.14)
В момент тело находится в точке 1 (рис. 6). В последующие моменты времени координата уменьшается, а координата становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.
Рис. 6
При уравнения (6.7) имеют вид
, .
Отсюда заключаем, что движение происходит против часовой стрелки.
Из сказанного вытекает, что равномерное движение по окружности радиуса с угловой скоростью может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
, . (6.15)
(знак плюс в выражении для соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 7 и 8 приведены примеры таких фигур.
Рис. 7 Фигура Лиссажу для отношения Рис. 8 Фигура Лиссажу для отношения
частот 3:4 и разности фаз частот1:2 и разности фаз
Задачи
Задача 1 Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями:
,
,
где = 3 см, = 2 см, с, с, = 2 с.
Построить векторную диаграмму сложения этих двух колебаний и написать уравнение результирующего колебания.
Решение
Обычно векторную диаграмму строят для момента времени = 0. Преобразовав оба уравнения к каноническому виду , получим
,
.
Отсюда видно, что оба гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту
.
Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны:
, .
Подставив числовые значения величин получим
,
На рис. изобразим векторы и . Для этого отложим отрезки длиной = 3 см и = 2 см под углом = 300 и = 600 к оси .
Результирующее колебание будет происходить с той же частотой и амплитудой , равной
.
Согласно теореме косинусов
Начальная фаза определяется так:
.
Подставим числовые значения и получим
(см)
или = 0,735 рад.
Результирующее колебание имеет вид:
или
см.
Задача 2 Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых:
, (1)
, (2)
где = 1 см, рад/с, = 2 см, рад/с.
Определить и построить траекторию точки.
Решение
Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнений (1) и (2). Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла:
.
В результате
,
.
Отсюда найдем
,
или
.
Это уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой лежит на оси . Как показывают уравнения (1) и (2), амплитуда колебаний точки по оси равна 1, а по оси - 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до +1, а ординаты – от -2 до +2. Таким образом, траектория представляет собой часть параболы (рис.)
В начальный момент времени () имеем = 1, = 2. Точка находится в положении . При = 1 с, получим = -1, = 0, т.е. точка находится в вершине параболы (). При = 2 с = 1, = -2 в положении . После этого она будет двигаться в обратном направлении.
Задача 3 Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой Гц и одинаковой начальной фазой . Амплитуды колебаний равны = 0,1 м, = 0,05 м.
Решение
Имеем
,
,
причем , .
Поделив уравнения, получим
- уравнение прямой линии.
Таким образом, результирующее колебание будет происходить по прямой линии. Угол наклон найдем из уравнения
, т.е. .
Частота результирующего колебания , амплитуда см. Следовательно, уравнение результирующего колебания имеет вид
см.
Тесты
1. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами . При разности фаз амплитуда результирующего колебания равна…
1. – 0; 2. – ; 3. – ; 4. – ; 5. –
2. Точка M одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат OX и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки M имеет вид:
1.– 2; 2. – 3; 3. – 4; 4. – 1.
3. Точка M одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат OX и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз 0 траектория точки M имеет вид:
1.– 2; 2. – 3; 3. – 4; 4. – 1.
4. Точка M одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат OX и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз траектория точки M имеет вид:
1.– 2; 2. – 3; 3. – 4; 4. – 1.
5. Точка M одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат OX и OY с различными амплитудами, но с кратными частотами (). При разности фаз π/2 траектория точки M имеет вид:
1.– 2; 2. – 3; 3. – 4; 4. – 1.
6. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной…
1. – π/2; 2. – π; 3. – π/4; 4. – 0.
7. Какова разность фаз двух одинаковых колебаний, если при их сложении получаются колебания с той же амплитудой?
1. – π; 2. – π/2; 3. – π/6; 4. – 2π/3; 5. – π/3.
8. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами . При разности фаз амплитуда результирующего колебания равна…
1. – 0; 2. – ; 3. – ; 4. – .
9. Какова разность фаз двух одинаковых колебаний, если при их сложении получаются колебания с амплитудой в раза большей?
1. – π; 2. – π/2; 3. – π/6; 4. – 2π/3; 5. – π/3.
10. Складывают колебания одинаковой частоты и направления с разными фазами. При какой разности фаз результирующая амплитуда колебания будет минимальной?
1. – π/4; 2. – π/2; 3. – π/3; 4. – π; 5. – 2π.
11. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одной частоты с разностью фаз равной нулю получаются колебания вида:
1. – эллипс; 2. – прямая линия; 3. – окружность; 4. – парабола; 5. – гипербола.
12. Явление биений возникает:
1. – при большом затухании колебаний; 2. – при сложении одинаково направленных колебаний с кратными частотами; 3. – при сложении одинаково направленных колебаний с близкими частотами; 4. – при резонансе; 5. – при сложении взаимно перпендикулярных колебаний.