1. Напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы в условиях упругой деформации
Вслучае плоской деформации можно расположить цилиндрическую систему координат так, что движение среды будет происходить параллельно плоскостиx0y, а все характеристики напряженно-деформируемого состояния не будут зависеть от координаты z:
; (1)
. (2)
Внешние нагрузки приложены к трубе таким образом (см. рис.), что решение задачи будет инвариантным относительно поворотов на любой угол относительно оси z, т. е. напряженно-деформированное состояние является осесимметричным, и характеристики напряженно-деформированного состояния не зависят от координаты :
; (3)
. (4)
Тензор напряжений в этом случае принимает вид
, (5)
где , , zz – главные нормальные напряжения. В дальнейшем будем обозначать их , , z.
Связь деформаций с перемещениями для плоского деформированного и осесимметричного состояния
;;. (6)
Таким образом, деформации , являются относительными удлинениями в направлении осей координат , . В дальнейшем будем обозначать их , .
Расчет напряженно-деформированного состояния тела заключается в определении компонент тензоров напряжений и деформаций в любой его точке, т.е. выражении напряжений и деформаций в виде функций координат. В случае плоского деформированного и осесимметричного состояния напряжения и деформации будут зависеть от координаты .
Связь нормальных напряжений и деформаций по осям координат определяется законом Гука с учетом температурных напряжений:
;
; (7)
,
где G – модуль упругости второго рода
; (8)
– постоянная Ламе
; (9)
– относительное изменение объема
; (10)
К – объемный модуль упругости (модуль объемного расширения)
; (11)
–модуль Юнга; – коэффициент Пуассона;– температурный коэффициент линейного расширения;t – функция, задающая температурное поле в трубе.
Запишем 1-е уравнение равновесия для цилиндрической системы координат
. (12)
Для условий плоского деформированного состояния уравнения (7, 12) примут вид
,
, (13)
,
. (14)
Вычислив производную по уравнению (14) и подставив (6, 13) в (14), получим:
. (15)
Приняв во внимание, что и с учетом (8, 9, 11)
. (16)
После интегрирования левой и правой частей уравнения (16)
. (17)
Выполнив преобразование и проинтегрировав уравнение (17), получим выражение для расчета перемещенийu в зависимости от координаты
, (18)
где J – температурный функционал,
. (19)
Определим деформации (относительные удлинения по осям координат)
; (20)
. (21)
Подставив (20, 21) в уравнения закона Гука (13), получим выражения для определения нормальных напряжений в зависимости от координаты :
; (22)
; (23)
. (24)
Постоянные интегрирования инаходятся из граничных условий. Подставив в формулу (22)и, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
; (25)
, (26)
где . (27)
Решая систему уравнений (25, 26), получим:
, (28)
. (29)
Температурный коэффициент линейного расширения определяется в процессе эксперимента по формуле
, (30)
где – длина тела при температуре;– длина тела при температуре;– перепад температур.
Из формулы (30) следует, что при отсутствии теплового расширения (-= 0) температурный коэффициент. При этом в расчете напряженно-деформированного состояния тела не учитываются напряжения и деформации, вызванные температурным полем. В этом случае расчетные формулы (28, 29, 18, 20-24) примут следующий вид:
; (31)
; (32)
; (33)
; (34)
; (35)
; (36)
; (37)
. (38)
При отсутствии внешнего и внутреннего давления, граничные условия принимают вид и. В этом случае труба деформируется за счет температурных напряжений. С учетом новых условий выражения (28, 29) примут следующий вид:
, (39)
. (40)
Перемещение , деформации,и напряжения,,определяются по формулам (18-24) с учетом (39, 40).
В общем случае интенсивность касательных напряжений T и интенсивность деформаций сдвига Г можно определить по формулам:
; (41)
. (42)
После выполнения соответствующих преобразований (рекомендуется выполнить самостоятельно) придем к заключению, что напряжения и деформации в толстостенной трубе, нагруженной внутренним и внешним давлением, можно представить в виде суммы двух составляющих: напряжений и деформаций, вызванных присутствием температурного поля, и напряжений и деформаций, вызванных действием граничных условий.
; (43)
; (44)
; (45)
; (46)
; (47)
. (48)