ТР по пределам Ермолаев
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования "Липецкий государственный технический университет"
Ю.Д.Ермолаев
Типовой расчет
по пределам
Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
Липецк
ËÃÒÓ
2010
ÓÄÊ 514 (075) Å741
ГРНТИ 27.21 Рецензенты:
Типовой расчет по пределам [электронный ресурс]:сетевое обновляемое электрон. учеб. пособие/
Ю.Д.Ермолаев.-Электрон.дан.(0.4 Мб). Липецк:ЛГТУ, 2010. 63 с. Режим доступа:http://www.stu.lipetsk.ru/education/chair/kaf-vm/mu/
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Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по пределам. В типовом расчете 15 заданий, в которых отражены основные приемы вычисления пределов.
°c Липецкий государственный
технический университет, 2010 °c Ермолаев Юрий Данилович, 2010
ТР1-3 Пределы |
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Вариант |
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1.1. lim |
4x2p |
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¡ 4x2 |
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x |
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+ 3x + 1 |
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4x¡4 |
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1.2. |
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¡ p |
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xlim |
x2 + 4x + 6 |
x2 + 2x + 7 |
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ln(1 |
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sin(6x)) |
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ln(1 ¡ 5x) ¡ |
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1 + 2 tg(¡4x) |
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1.5. lim |
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x |
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arcsin(2x) |
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¡4x3 ¡ 2x2 + 7x ¡ 4 |
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x!¡1 |
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j |
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2 j |
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¡4x |
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+ 3x |
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¡ 3x |
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4x2 . |
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(5n ¡ 3) + (6n + 2) |
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n!+1 |
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(n + 2)3 |
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( |
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3n ¡ 3) ( |
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7n + 4) |
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1). |
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1 + 3 + 5 + : : : + (2n |
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lim |
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e¼+6 sin(5x) ¡ e¼ |
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e2 ¡ e |
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tg(¡4x + 16x ¡ 12) |
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3x + 2) |
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¡4n¡1 |
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5n + 3n + 3 |
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x |
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+ 24x + 16 |
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x2 + 8x + 16 |
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³ |
¡ |
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¡ |
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tg2(9x) |
´. |
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2(5x) |
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Вариант |
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2.1. lim |
4x3 ¡ 4x2 + 6x + 5 |
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x!1 x3 + 2x2 ¡ 5x ¡ 6 . |
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2.2. |
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5x ¡ 3 |
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3x¡3 |
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3x ¡ 3´ |
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2.3. |
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xlim p |
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5p |
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+ 6 |
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5p |
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+ 5 |
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x + 4 |
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x |
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x |
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!1 |
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2(tg p |
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) |
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p |
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¢ |
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9x |
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(e2x ¡ 1) . |
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2.5. lim |
ln(1 ¡ 5x) ¡ ln(1 + 3x) |
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x!0 |
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ln(1 + 2x) |
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2.6. |
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ln(11x + 4) |
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¡ |
5x |
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x!+1 |
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4 |
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2 |
+ 4x |
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2.7. |
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¡2x |
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¡ 2x |
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2x4 |
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x!0¡0 |
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4x3 + 4x2 . |
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4 |
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¡ (n + 2) |
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2.8. |
lim |
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(n + 4) |
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(n ¡ 5)3 + (n ¡ 4)3 . |
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n!+1 |
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2.9. |
(p |
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+ p |
n ¡ 2)2(p |
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lim |
n ¡ 4 |
25n2 + 8n + 4) |
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n!+1 |
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4 + 6 + 8 + : : : + (2n + 4) |
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2.10. lim |
sin(15x) ¡ sin(7x) |
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x!¼ |
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tg(4x) |
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2.11. lim |
5x2 ¡ 15x + 10 |
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n!1 ln(x2 + 2x |
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2) |
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´ |
4n+3 |
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2.12. lim |
¡4n |
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+ 2n ¡ 3 |
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n!1 |
¡3 4n2 ¡2 |
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3n ¡ 1 |
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2.13. |
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x + 5x + 7x + 3 |
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2.14. |
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lim |
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ln |
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sin2( |
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3x) |
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|||||||||||||||||||||||||||
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x!¼=2 |
³ |
¡ |
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´ |
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¡3 cos x |
¢ |
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2.15. lim |
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e |
4x |
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¡ |
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||||||||||||||||||
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+ 5x |
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. |
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x!0 ³ |
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ТР1-3 Пределы
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Вариант |
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3 |
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Вариант 4 |
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3.1. lim |
4x2p |
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¡ 6x2 ¡ 3x ¡ 5 |
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4.1. lim |
3x2p |
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¡ 6x2 + 3x ¡ 5 |
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x |
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x |
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x |
!1 |
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x |
3 |
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p3 |
x |
4 |
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6x + 1 |
. |
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x |
!1 |
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|
x |
3 |
|
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p3 |
x |
4 |
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5x 1 |
. |
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2 |
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+ 6 |
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7x |
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¡ |
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+1 |
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1 |
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¡ |
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³ |
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´ |
3x¡ |
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³ |
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´ |
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¡ |
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3.2. |
lim |
5x ¡ 5 |
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4.2. |
lim |
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6x ¡ 4 |
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¡ |
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8x + 5 |
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4x + 4 |
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x!+1 |
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x!+1 |
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3.3. xlim p |
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p |
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¡ p |
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. |
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4.3. |
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x + 2 |
x + 10 |
x + 4 |
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!1 |
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2 |
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|
p |
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||||||||||||
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||||||||
3.4. lim |
sin |
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(tg |
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¡7x) |
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¢ |
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lim p |
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|
p |
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|
p |
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x + 9 |
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4x2 + 4 |
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4x2 + 7 |
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x!0 |
(e5x ¡ 1) . |
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x!1 |
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¡esin(3x) |
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¡ |
|
1¡ |
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¢. |
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3.5. |
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4.4. lim |
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|||||||||||
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4.5. x!0 p1 + sin(4x) ¡ 1. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
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1 + 2 tg(¡3x) ¡ |
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1 ¡ 2 sin(4x) |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
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x |
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! p |
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arctg(2p) |
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arcsin(2x) ¡ ln(1 ¡ arctg(¡4x)) |
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3.6. |
lim |
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(8x ¡ 5) ln(x + 6) |
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lim |
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( |
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2x + 14) ln(x |
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4). |
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1 + sin( |
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5x) |
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1 |
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x!+1 |
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¡ |
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x!0 |
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¡ |
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. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x |
4¡ |
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4x |
3 |
+ 3x |
2 |
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3 |
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2¡ |
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4x |
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2x + 7x |
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5 |
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3.7. lim |
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5 |
¡ |
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3 |
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¡ 4x |
. |
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4.6. lim |
¡p |
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¡ |
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3 |
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¡ |
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x!0 4x |
+ 4x |
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¡4x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
3 |
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x!1 |
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|
3 |
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2 ln jxj . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.8. |
lim |
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(n ¡ 1) |
|
¡ (n ¡ 4) |
. |
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4.7. lim |
¡4x |
|
|
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+ 2x |
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¡ 3x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n!+1 |
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(n |
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¡ |
4) |
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¡ |
(n |
¡ |
|
3) |
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x |
! |
0 |
¡ |
4x4 + 3x2 |
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¡ |
4x. |
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4 |
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(n + 6) |
4 |
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3.9. |
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4.8. |
lim |
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¡ (n + 5) |
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|
p |
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p |
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|
p |
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(n ¡ 5)2 + (n ¡ 4)2 . |
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2 |
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n!+1 |
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n + 7) |
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25n |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
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( n ¡ 4 + |
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( |
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+ 3n + 5) |
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(3n + 4)(4n |
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¡ |
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5) |
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4.9. |
lim |
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n!+1 |
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1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) |
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n. |
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1 |
1 + 2 + 3 + |
: : : |
+ |
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|
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|
e |
13x |
|
¡ e |
8x |
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! |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.10. lim |
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4.10. lim |
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sin(11x) + sin(5x) |
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¡ |
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sin(9x). |
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arcsin(12x). |
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x!0 sin(4x) |
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x 0 arcsin(10x) |
¡ |
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2 |
+ 8x ¡ 32) |
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|
! |
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
3.11. |
|
|
lim |
|
|
arcsin(4x |
|
|
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4.11. |
|
lim |
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|
|
tg(4x |
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+ 4x ¡ 48) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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arctg(x2 + 7x + 12) |
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n!¡4 |
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n |
!¡ |
4 |
|
|
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|
¡ |
4) |
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|
2 |
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|
|
´ |
3n 3 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
2 |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
3.12. lim |
|
|
|
|
|
¡5n + 3n ¡ 2 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
4.12. lim |
|
|
|
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|
|
|
4n |
|
|
¡ 3n + 4 |
|
|
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|
¡4n+1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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5n2 + 4n |
¡ |
|
3 |
|
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|
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|
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|
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|
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|
4n2 |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
n |
!1 |
|
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|
|
|
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|
n |
!1 |
|
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|
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|
¡2 |
3n + 1 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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³¡3 |
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2 |
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25 |
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|
³ |
|
|
3 |
|
|
|
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|
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|
|
´ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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x + 9x |
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|
+ 15x |
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¡ |
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3.13. |
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lim |
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4.13. |
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lim |
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x ¡ x ¡ 5x ¡ 3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 + 10x + 25 |
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x!¡5 |
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x |
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1 |
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x2 + 2x + 1 |
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³ |
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!¡ |
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cos(6x) ctg2(3x) |
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3.14. |
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lim |
|
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ctg(8x) |
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ln |
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tg(3x) |
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4.14. lim ln |
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x!¼=4+0 |
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2x+4¢ |
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j |
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|
|
j´. |
|
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x!0 |
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|
³ |
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4x+5 |
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3x + 6 |
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x) |
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|
¯ |
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|
´ |
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||||||||||||||||||||||
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sin(3¯ |
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|
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||||||||||||||||
3.15. lim |
|
|
¡ |
|
|
|
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|
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|
|
´ |
|
|
|
. |
|
|
|
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|
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4.15. lim |
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|
¯ |
|
|
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|
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|
¯ |
|
|
|
|
|
|
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3x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x!0 ³¡3x + 3 |
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x!0 ³ |
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|
´ . |
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
ТР1-3 Пределы |
5 |
Вариант 5
5.1. lim |
|
¡4x3 ¡ 2x2 ¡ 4x + 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 ¡ 4x2 ¡ 2x + 5 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.2. |
|
lim |
|
|
³ |
3x + 4 |
´ |
3x¡3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5x ¡ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
5.3. |
x!+1 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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xlim p |
|
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|
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|
|
|
|
2p |
|
+ 8 |
¡ |
|
|
2p |
|
+ 3 |
. |
||||||||||||||||||
x + 5 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
e¡3x |
|
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1 |
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|
p |
|
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||||||||||
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|
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|
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|||||||||||||
5.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡p |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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¢ |
|||||||||||||||||
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|
|
||||||||||||
|
x!0 p 1 ¡ cos2(4x). |
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
3x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5.5. |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8x |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
lim |
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|
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¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + 2x) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.6. |
|
lim |
|
|
¡5x3 + 4x2 + 2x + 3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 ln x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.7. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ 2x |
|
|
¡ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x!0¡0 ¡4x |
¡43x |
3 |
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.8. |
|
lim |
|
|
|
(n ¡ 4) ¡ (n ¡ 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n + 4)2 + (n + 5)2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(p |
|
|
+ 4)(p |
|
¡ 3)(7n ¡ 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.9. |
|
lim |
|
|
n |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.10. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
e¼+6 sin(16x) ¡ e¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x!¼+0 |
|
|
|
|
|
|
ex |
¡ |
|
e¼ . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.11. lim |
tg(¡5x |
|
|
|
¡ 15x + 50) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2¡ 5x + 6 |
|
2n¡1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
5.12. ? lim |
|
|
|
2n + 2n + 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
³ |
2n2 |
2¡ 3n + 3´ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n!13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5.13. lim |
x ¡ 2x ¡ 15x + 36 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x!3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ 6x + 9 |
|
|
|
|
|
|
j´. |
||||||||||||||||||||||
5.14. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
tg2(5x) |
|
|
|
ln |
sin( |
|
2x) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x!¼=2 ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
3xj |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.15. lim |
³ |
|
arcsin(3x) |
´ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
6 |
|
||||||
|
5x2 ¡ 4x + 3p |
|
¡ 6 |
|
||||||
6.1. lim |
x |
|||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2p |
|
+ 5px3 |
+ 5 . |
|||||||
x!1 |
x |
|||||||||
x!¡1 ³4x + 5 |
´ |
2x¡3 |
|
|
|
|||||
6.2. lim |
6x ¡ 4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
6.3.
lim px + 3¡p9x2 + 6 ¡ p9x2 + 3¢.
x!1
6.4. lim |
sin(tg(2x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln(1 + 4x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
6.5. lim |
esin(2x) ¡ arctg(3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + 4x) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6.6. lim |
3x3 + 2x2 ¡ 4x ¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5e9jxj |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6.7. lim |
2x3 + 4x2 ¡ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 + 4x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x!0 |
4x4 |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6.8. |
lim |
|
(4n + 3) + (¡5n + 6) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n!+1 |
|
|
|
|
(n + 5)3 |
|
|
(n + 4)3 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡2 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.9. |
lim |
( |
|
14n ¡ 4) ( |
|
|
8n + 3) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 + 3 + 5 + : : : + (2n ¡ 1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n!+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6.10. lim |
|
|
|
|
|
sin(11x) + sin(7x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
arcsin(12x). |
||||||||||||||||||
|
x!0 arcsin(8x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg(2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.11. lim |
|
|
¡ 18x + 40) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n!4 |
³ |
|
|
x2 |
¡ |
|
3x |
¡ |
4 |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡4n+3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.12. lim |
|
|
¡ 4n + 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4n2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
!1 |
¡ |
|
2n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.13. |
lim |
|
|
x |
|
+ 11x |
|
|
+ 35x + 25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + 10x + 25 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x!¡5 |
|
|
|
|
|
|
j´. |
||||||||||||||||||||||||||
6.14. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
ln |
sin(6x) |
|||||||||||||||||
|
x!¼=2 ³tg |
|
2(4 ) ¢ 2x+1j |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6.15. lim |
|
|
¡3x + 4 |
|
´ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x!0 ³ ¡3x + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ТР1-3 Пределы |
Вариант 7
7.1. lim ¡5x3 ¡ 6x2px + 4xp¡ 2 x!1 x3 + 6x2 + 6x ¡ 2 x .
³6x ¡ 5´2x+2
7.2. lim
x!¡1 4x ¡ 4
|
|
|
Вариант |
|
8 |
|
|
|||||||
|
3x2p |
|
|
¡ 2x2 + 4x + 3p |
|
|
||||||||
8.1. lim |
x |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px5 2px3 |
+ 6x + 6 . |
||||||||||||
x!1 |
|
|||||||||||||
x!¡1 |
³ |
8x ¡ 5 |
´ |
¡ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
6x + 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
¡ |
|
4x 3 |
|
|
|
8.2. lim
7.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xlim p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ p |
|
|
|
|
. |
xlim p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8p |
|
|
+ 8 |
¡ |
8p |
|
|
+ 2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + 9 |
2x2 + 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 10 |
x + 9 |
|
|
|
|
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
ln(1 + tg(2x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
!1 |
|
|
|
sin(tg(7x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
¢ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.4. lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.4. lim |
|
|
|
|
¡p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x!0 |
|
|
p1 + 5x ¡ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
ln(1 + 2x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
tg(3x) |
+ 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.5. lim |
ln(1 ¡ 5x) ¡ tg(¡5x) |
|
|
8.5. lim |
arcsin(¡2x) ¡ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
sin(5x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡ |
|
cos2( |
¡ |
5x) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 + 6x2 + 4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.6. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
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7.7. lim |
¡3x |
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¡ 4x |
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¡ 3x |
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8.7. lim |
¡5x |
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¡ 3x |
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¡ 4x |
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4x5 + 3x3 + 4x . |
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¡ |
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x!0 |
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¡ (n + 2) |
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4 |
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7.8. |
lim |
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(n + 4) |
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8.8. |
lim |
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(n ¡ 3) ¡ (n + 3) |
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(n + 2)3 |
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n!+1 (n + 2)2 + (n + 1)2 . |
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9n |
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7.11. lim |
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|
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¡ 4x + 24) |
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|
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3 |
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8.12. lim |
³3 |
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|
2 |
¡ |
|
4n + 4´ |
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2n |
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2 2n¡2 |
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n!1 |
4n |
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¡2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.12. lim |
|
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³ |
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¡ |
|
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2 |
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¡ |
|
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|
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¡ |
|
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8.13. lim |
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¡3 |
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2n ¡ 4 |
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n!1 |
4n ¡2 |
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x2 |
¡ |
4x |
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¡ |
5 |
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x |
¡ |
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4x + x + 6 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
7.13. ? lim |
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¡ 5x + 6 |
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8.14. |
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lim |
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j |
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sin(7x) |
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x |
2 |
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7.14. lim |
ln j cos(2x)j |
|
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|
8.15. lim |
³ |
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¡ |
|
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´ |
¡ |
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|
|
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¡5x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.15. |
! |
|
|
|
|
|
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|
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arcsin(5x) 3x |
|
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|
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x!0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
³ |
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|
´ . |
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||||||||||||
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8x |
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x!0 |
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|
ТР1-3 Пределы |
7 |
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|
Вариант |
9 |
|
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|||||||||||||||||
9.1. lim |
¡3x2p |
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¡ 3x2 + 3x + 5 |
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x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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|
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p3 |
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|
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4 |
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|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
x |
!1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
4x |
6 |
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|||||||||||||||||||
|
|
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5 |
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|
+1 |
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|||||||||||||||||||||
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¡ |
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´ |
8x ¡ |
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||||||||||
9.2. |
lim |
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5x ¡ 1 |
|
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||||||||||||||||
x!+1 ³3x + 1 |
|
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||||||||||||||||||||
9.3. |
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lim |
( |
5 tg2 x + 7 |
¡ |
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|
5 tg2 x + 8 |
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|||||||||||||||||||||||||||
p |
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|
ctg xp |
|
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||||||||||||||||||
x!¼=2 |
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||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2(tg p |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9.4. lim |
10x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(e2x ¡ 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9.5. lim |
esin(¡3x) ¡ arctg(5x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + 4x) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
9.6. lim |
2x3 + 5x2 + 4x ¡ 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x!1 |
|
|
|
|
|
6x3 ln |
|
x |
j |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
¡3x |
4 |
+ 4x |
3 |
|
j |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9.7. lim |
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x!0 3x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+ 3x |
|
2¡ 4x . |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9.8. |
lim |
(6n + 3) |
|
+ (¡3n + 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n + 7)3 ¡ (n + 6)3 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n!+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
9.9. |
lim |
|
|
|
|
|
(n ¡ 4)(4n ¡ 2) |
´ |
¡1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
n!+1 ³2x1 + 4 + 7 + : : : + 3n |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9.10. lim |
e |
|
|
|
+ sin(6x) ¡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
tg(6x) |
¡ |
11x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9.11. |
lim |
|
|
|
|
+ 18x + 24) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 7x + 12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n!¡4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9.12. lim |
|
|
5n2 + 3n + 5 |
¡3n¡4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
!1 ³ |
5n2 |
¡ |
4n + 3 |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9.13. |
lim |
|
x |
|
+ 13x |
|
|
|
+ 55x + 75 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 + 10x + 25 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x!¡5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9.14. lim |
ln j cos(4x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x!¼ |
|
|
tg2(3x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9.15. lim |
|
e5x2 ¡ 1 |
´ |
¡3x+10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x!0 ³ |
|
|
|
¡4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10
|
¡4x2 ¡ 2x ¡ 4p |
|
+ 4 |
|||||||
10.1. lim |
x |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2p |
|
+ 3px3 |
|
|
4 . |
|||||
x!1 |
x |
¡ |
||||||||
10.2. lim |
¡ |
5x ¡ |
4 |
´ |
3x¡1 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
3x ¡ |
5 |
|
|
|
|||||
x!+1 ³ |
|
|
|
|
|
|
10.3.
lim px + 10¡px + 10 ¡ px + 6¢.
x!1
10.4. lim sin2(tg(11x)) x!0 (e5x ¡ 1)x .
10.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
lim |
arcsin(¡5x) ¡ ln(1 ¡ arctg(¡5x)) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x!0 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
1 + sin(2x) |
¡ |
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.6. lim |
4p |
|
¡ 5x ¡ 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x3 ln |
x |
j |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2x |
4 |
|
|
|
|
3 |
|
j |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10.7. lim |
|
|
¡ 2x |
|
|
¡ 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
¡ |
3x5 + 3x3 + 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x!0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n + 4) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.8. |
lim |
|
|
|
|
|
¡ (n + 5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n ¡ 2)4 ¡ (n ¡ 3)4 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
10.9. |
n!+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
)(2n ¡ 3) |
||||||||||||||||||||||||||
lim |
n2 + 14n |
n2 + 7n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + 3 + : : : + n |
. |
||||||||||||||||||||||
10.10. lim |
j cos(7x) ¡ cos(3x)j |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
sin2(p2x) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x!¼ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10.11. lim |
|
|
arctg(¡3x2 + 6x + 24) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!¡2 |
|
|
|
ln(x2 |
¡ |
1x |
¡ |
5) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
³¡3 4n2 |
|
2n ¡ 3 |
´ |
¡2n+2 |
|||||||||||||||||||||||||||
10.12. lim |
|
|
|
¡4n ¡ 3n ¡ 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10.13. lim |
|
|
x + 6x + 5x ¡ 12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x!¡4 |
|
|
|
|
|
x2 + 3x ¡ 4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||
10.14. lim |
|
0 |
|
tg(6x) |
¢ |
ln |
j |
tg(5x) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x!¼=4¡3x³2 |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
j´ |
||||||||||||||||
|
|
x!0 ³ |
e |
¡2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10.15. lim |
|
|
|
|
|
|
¡ 1 |
|
¡5x+10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
ТР1-3 Пределы |
|
|
Вариант |
11 |
|||
11.1. lim |
¡4x3 + |
5x2 ¡ 2x + 4 |
||||
x!1 |
|
x3 + 3x2 |
|
2x + 6 . |
||
11.2. lim |
|
3x ¡ |
5 |
|
¡7x+4 |
|
|
³2x + 4 |
´ |
|
|||
x!+1 |
|
Вариант 12
|
4x2 + 2x ¡ 5p |
|
¡ 1 |
||||||
12.1. lim |
x |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2p |
|
+ 5px3 |
+ 1 . |
||||||
x!1 |
x |
||||||||
x!+1 ³5x + 3 |
´ |
5x+2 |
|
|
|||||
12.2. lim |
6x ¡ 4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
11.3.
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
¡ p |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
xlim |
x2 + 7x + 4 |
x2 + 10x + 6 |
||||||||||||||||||||||||
!1 ¡ |
|
|
sin(tg( |
|
5x)) |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|||||||||||||
11.4. lim |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln(1 + 2x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11.5. lim |
esin(¡3x) ¡ cos(3x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
tg( |
|
|
|
5x) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
6x |
3 |
|
¡ |
2 |
+ 7x + 6 |
||||||||||||||||
11.6. |
lim |
|
¡ 3x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
j |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
7 ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
j2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.7. |
lim |
¡3x |
|
¡ 3x |
|
¡ 3x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x!0+0 |
|
3x4 + 2x3 |
|
¡ |
2x2 . |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11.8. |
lim |
|
(n ¡ 1) |
|
¡ (n + 5) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(n + 7)3 ¡ (n + 6)3 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(p |
|
+ 2)(p |
|
+ 3)(3n + 4) |
|
|||||||||||||||||
11.9. |
lim |
|
n |
n |
||||||||||||||||||||||
|
1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) . |
|||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
||||||||||||||||||||||||
11.10. lim |
cos(¡2x) ¡ cos(4x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x!0 |
|
|
|
sin2(p4x) . |
|||||||||||||||||||||
11.11. lim |
sin(4x2 ¡ 12x + 8) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n!2 |
|
|
x2 + 1x |
¡ |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4n+4 |
||||||||
11.12. lim |
|
¡5n + 2n ¡ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
³3¡5n22¡ 2n ¡ 2 |
´ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n!1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
11.13. lim |
x ¡ 2x ¡ 11x + 12 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
x!1 |
|
|
|
³x2 ¡ 5x + 4 |
|
|
´ |
|
ctg(8x) ¢ ln j tg(5x)j .
x!¼=4+0
³¡3x ¡ 8´2x+7
11.15. lim ¡4x ¡ 4 .
x!0
12.3.
lim ¡px2 + 2x + 3 ¡ px2 + 9x + 5¢.
x!1
12.4. lim sin2(tg(2x)) x!0 (e¡2x ¡ 1)x .
12.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
arcsin(5x) ¡ ln(1 ¡ arctg(2x)) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
1 + sin(4x) ¡ 1 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
12.6. limp |
¡2x3 ¡ 4x2 ¡ 2x ¡ 3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ln x |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
¡ |
|
2 |
j j |
|
|
|
|
|
|
|
||
12.7. |
lim |
|
|
|
|
¡ 3x |
|
+ 3x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x!0+0 |
|
|
|
|
2x4 |
|
+ 2x3 + 2x2 . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
12.8. |
lim |
|
(n ¡ 2) ¡ (n ¡ 5) |
|
|
||||||||||||||||||
|
(n + 1)3 + (n + 2)3 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
12.9. |
lim |
|
|
|
(13 ¡ n)2 + (1 ¡ n)2 |
¡1. |
|||||||||||||||||
|
n |
+ |
1 |
³ |
|
+ 4 + 6 + : : : + 2n |
´ |
||||||||||||||||
|
|
! |
2¼+6 sin(4x) |
¡ e |
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12.10. |
lim |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
e¼ . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x!¼+0 |
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2 |
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4x +24x¡20 |
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||||||||||
12.11. lim |
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¡ |
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¡ 1 |
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||||||||
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|||||||
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n!1 tg(x2 ¡2 |
3x + 2) |
|
|
´ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n!1 |
³3 |
¡5n22¡ 2n ¡ 1 |
¡4n+1 |
||||||||||||||||||
12.12. lim |
|
|
|
¡5n + 4n ¡ 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
12.13. lim |
x ¡ 3x ¡ 4x + 12 |
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x!2 |
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|
|
|
x2 |
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5x + 6 |
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||||||
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sin(¡ |
5x) |
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¢ |
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||||||
12.14. |
lim |
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|
|
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¡ |
2 |
|
|
x) |
tg2(9x) |
´. |
||||||||
|
|
x!¼=2 ln ³ |
|
sin |
(3 4x+2 |
. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x!0 ³ |
|
|
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|
´ |
|
|
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|||||||||
12.15. lim |
|
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¡ |
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|
¡ |
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||||||
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ТР1-3 Пределы |
9 |
Вариант 13 |
Вариант 14 |
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4x3 + 2x2p |
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+ 2x + 5 |
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13.1. |
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x |
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xlim |
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3 |
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2 |
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p |
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. |
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|||||||
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4x |
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3x + 5 |
x |
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!1 x |
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´ |
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x!+1 |
³ |
5x + 5 |
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4x + 3 |
¡4x+4 |
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13.2. |
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lim |
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¡ |
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||||
13.3. |
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sinp |
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p |
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xlim p |
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¡ |
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¢ |
||||
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|
3p |
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|
3p |
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x + 7 |
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x |
+ 9 ¡ |
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|
x |
+ 10 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
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) |
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7x |
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|||||||||||||||||||
13.4. lim |
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(e4x ¡ 1) . |
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||||||||||||||||||||||||
13.5. |
x!0 |
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lim arcsin(7x) ¡ ln(1 ¡ arctg(3x)) |
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x!0 |
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|
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¡ |
|
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|
¡ |
2x) |
¡ |
1 |
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|
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|
1 + sin( |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
13.6. |
|
lim |
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(3x |
|
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|
4) ln(x + 7) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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(4x + 7) ln(x |
¡ |
4). |
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x!+1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5x |
4 |
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2 |
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|||||||||
13.7. |
|
lim |
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¡ 2x |
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¡ 4x |
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2x4 |
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|||||||||||||||||||||
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|
x!0+0 |
|
|
¡ |
|
2x3 + 4x2 . |
|
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4 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
4 |
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||||
13.8. |
|
lim |
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(n ¡ 2) |
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¡ (n + 2) |
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|||||||||||||||||||||||||||
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(n ¡ 2)2 + (n ¡ 3)2 . |
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n!+1 |
|
|
|
´ |
|
. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!+1 |
³ |
1 + 4 + 7 + : : : + 3n |
¡1 |
|
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13.9. |
|
lim |
|
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(n + 2)(5n + 5) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
j cos(¡2x) ¡ cos(¡3x)j |
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13.10. lim |
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. |
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|||||||||||||||||||
13.11. lim |
|
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arctg(2x2 ¡ 2x ¡ 12) |
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sin(x2 + 3x + 2) |
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³ |
¡3 |
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4n2 |
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¡2 |
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2n ¡ 2 |
´ |
|
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||||||||||||||||||||||||
13.12. lim |
|
|
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¡4n2 |
|
¡ 2n ¡ 4 |
|
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2n¡2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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13.13. lim |
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x ¡ 2x ¡ 13x ¡ 10 |
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x!¡1 |
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x2 + 3x + 2 |
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13.14. lim |
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0 |
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ln |
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¢ |
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j |
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j´ |
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x!¼=4¡2x³2 |
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|
´ |
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. |
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x!0 |
³ |
e |
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3x |
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¡2x+10 |
|
|
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|||||||||||||||||||||
13.15. lim |
|
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¡ 1 |
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14.1. lim |
¡2x2p |
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¡ 3x2 + 3x + 4p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
p |
|
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|
5 |
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|
p |
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|
3 |
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|
|
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|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
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|
|
|
5 |
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|
+ 2x |
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|
2 |
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||||||||||||||||||||||
|
!1 |
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|
|
|
|
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|
|
x |
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|
|
¡ |
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|
|
|
x |
|
|
|
¡ |
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|
´ |
6x |
|
1 |
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|||||||||||
14.2. |
lim |
ln |
|
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2x ¡ 3 |
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|
¡ |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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4x + 2 |
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x!+1 |
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|
³ |
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||
14.3. lim p |
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|
p |
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|
p |
|
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x + 5 |
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|
x + 5 |
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x + 2 |
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x!1sin(tg( |
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|
¡4x)) |
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|
¡ |
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|
¢. |
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14.4. lim |
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¡ |
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|||||||
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x!0 ln(1 ¡ 4x) . |
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||||||||||||||||||||||||||
14.5. lim |
ln(1 ¡ 2x) ¡ tg(4x) |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
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|
2x) |
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. |
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||||||||||||||||||||
|
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|
3 |
|
|
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|
¡ |
2 |
|
|
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|
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|
|
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|||||
14.6. lim |
¡5x |
|
|
¡ 5x |
|
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+ 2x ¡ 4 |
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
2e5jxj |
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|
||||||||||||||
|
!1 |
|
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5x4 + 3x2 ¡ 3x |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
14.7. |
lim |
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x4 + 2x3 + 4x2 . |
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!0+0 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
14.8. |
lim |
|
(¡4n + 4)2 + (5n + 4)2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n + 6)3 ¡ (n + 7)3 . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14.9. |
n!+1 |
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p |
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p |
|
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2 |
|
p |
|
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||||||||
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2 |
+ 3n + 4) |
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|||||||||||||||
lim |
( n + 5 + n + 3) |
|
( 36n |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1 + 3 + 5 + : : : + (2n + 1) |
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. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n!+1 |
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14.10. lim |
cos(7x) ¡ cos(¡4x) |
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x!0 |
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sin2(p2x) . |
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14.11. lim |
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arctg(¡5x2 + 15x + 20) |
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n!¡1 |
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ln(x2 + 3x + 3) |
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|||||||||||||||||||||||||||||
14.12. lim |
|
|
|
¡5n2 + 4n ¡ 4 |
|
3n¡3 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
³3 |
¡5n22¡ 3n ¡ 3´ |
|
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|
n!1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
14.13. lim |
x ¡ 7x + 15x ¡ 9 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x!3 |
|
|
|
³ |
x2 |
¡ |
6x + 9 |
|
|
|
|
´. |
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
14.14. lim ln |
|
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¡ |
4x) |
|
|
ctg2(4x) |
|
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cos( |
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x!0 |
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5x+8 |
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sin(¯ |
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2x) |
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¯ |
|
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|||||||||||
14.15. lim |
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¯ |
¡ |
|
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|
¯ |
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¡2x |
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|
x!0 ³ |
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|
|
|
´ . |
|
|
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10 ТР1-3 Пределы
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Вариант 15 |
|
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|
Вариант |
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2x3 + 5x2p |
|
+ 2x ¡ 6 |
|
¡3x2 |
¡ 2x + 4p |
|
+ 3 |
|
||||||||||||||||||
15.1. lim |
x |
16.1. lim |
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||
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|||||||||
x |
x3 |
¡ |
5x2 |
+ 4x + 5px . |
x |
|
|
2p |
|
|
|
|
p |
3 |
|
|
|
|
. |
||||||||
3x |
x + 6 |
|
|
6 |
|||||||||||||||||||||||
!1 |
|
³ |
|
´ |
6x+4 |
!1 |
|
|
|
x |
|
|
¡ |
|
|||||||||||||
|
|
5x + 5 |
|
|
6x + 2 |
|
4x+4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x!+1 |
|
|
|
|
|
|
x!¡1 ³7x ¡ 2 |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6x ¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
15.2. lim |
|
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16.2. lim |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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15.3.
xlim p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
¡ p |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
x + 5 |
9x2 + 7 |
9x2 + 8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
!1 |
|
|
|
sin(tg( 4x)) |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
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|
|
|
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||||||||||||||||
15.4. lim |
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|||||||
|
ln(1 ¡ 4x) . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
15.5. |
x!0 |
|
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||||||||||||||||||
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lim |
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1 + 2 tg(¡2x) ¡ |
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|
1 ¡ 2 sin(¡4x) |
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x 0 |
|
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|
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arctg(2x) |
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|||||||||||
! p |
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|||||||||||||||
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|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
15.6. lim |
¡3x3 |
¡ 3x2 + 7x ¡ 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||
|
x!1 |
|
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|
|
pe8jxj + 10 . |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||
15.7. lim |
¡4x3 ¡ 2x2 ¡ 2x |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
4x4 |
¡ |
3x2 + 2x . |
|
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|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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||||
15.8. |
|
|
lim |
|
|
(5n ¡ 2) + (6n + 4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
|
(n + 4)3 |
|
|
|
(n + 3)3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
¡ 2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||
15.9. |
|
|
lim |
|
|
|
( |
|
12n ¡ 4) ( |
|
|
8n ¡ 3) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
||||||||||||||||||||||||||
|
n!+1 |
1 + 3 + 5 + : : : + (2n |
¡ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
15.10. lim |
|
|
e¼+4 sin(5x) ¡ e¼ |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
¼ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x!¼+0 |
|
|
e 2¡ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15.11. lim |
p¡4x ¡ 20x ¡ 23 ¡ 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n!¡2 |
|
|
arcsin(x2 |
¡ |
1x |
¡ |
6) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
15.12. lim |
|
|
5n ¡ 2n + 4 |
|
2n+3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5n2 + 4n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
!1 ³ 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15.13. lim |
x |
¡ 6x |
|
|
¡ 7x + 60 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
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|
x!¡3 |
|
|
|
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x2 ¡ x ¡ 12 |
|
|
|
|
|
|
|
j´. |
|||||||||||||||||||
15.14. lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
ln |
|
|
sin( 4x) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x!¼=2 ³tg |
(5 )4¢x+7j |
|
|
|
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
15.15. lim |
|
|
5x ¡ 4 |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
³4x ¡ 2 |
´ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16.3.
lim px + 5¡p5px + 5 ¡ p5px + 8¢.
x!1
16.4. lim |
sin(tg(¡3x)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x!0 ln(1 + 4x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
16.5. lim |
esin(¡3x) ¡ arctg(¡2x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
|
|
ln(1 + 4x) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||
. 16.6. lim |
¡4x3 + 5x2 ¡ 5x ¡ 5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x!1 |
|
|
|
|
|
pe2jxj + 7 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
16.7. |
lim |
|
¡2x4 + 2x2 + 5x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x!0+0 |
|
|
|
3x4 + 2x3 |
¡ |
4x2 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
16.8. |
lim |
|
(5n ¡ 2) + (4n + 5) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(n ¡ 3)3 ¡ (n ¡ 2)3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
16.9. |
n!+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)(7n + 3) |
|
||||||||||||||||||||
lim |
n2 + 14n |
n2 ¡ 5n |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n!+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + 3 + : : : + n |
||||||||||||||||||||
16.10. lim |
e6x + sin(11x) ¡ 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
|
|
|
tg(5x) ¡2 |
10x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
16.11. lim |
arctg(¡2x |
¡ 4x + 16) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n!2 |
|
|
|
|
ln(x2 |
¡ |
5x + 7) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡3n+4 |
|
||||||
16.12. lim |
|
|
|
2n ¡ 3n + 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2n2 + 2n + 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n |
!1 |
|
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
³ 3 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
16.13. lim |
|
x |
|
¡ 10x + 8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x!¡4 |
|
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
¡ |
8 |
|
|
´. |
|
|
|||||||||||||||
16.14. lim ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cos(6x) ctg |
|
(3x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x!0 |
³ |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
¯ |
2x+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4¯x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.15. lim |
|
¡ |
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x!0 ³ ¡4x ¡ 4 ´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|