Лабораторная работа Оценка закона распределения на основе выборочных данных.
Цель работы:
Оценка закона распределения генеральной совокупности на основе выборочных данных..
Задание.
Имеется выборка объемом из неизвестного распределения (приложение 3). Предполагается, что может быть одним из следующих распределений:
1) - нормальное распределение с плотностью , , где параметры и - неизвестны;
2) - распределение Лапласа с плотностью , , где параметры и - неизвестны;
3) - распределение Коши с плотностью , , где параметры и - неизвестны;
4) - показательное распределение с плотностью , , где параметр - неизвестен;
5) - распределение Релея с плотностью , , где параметр - неизвестен;
-
- распределение с плотностью , , где параметр неизвестен.
-
- распределение хи-квадрат с с плотностью , где параметр неизвестен.
Требуется:
-
Представить выборку в виде интервальног статистического ряда. При разбивке на интервалы следует следить за тем, чтобы частоты для всех интервалов были одного порядка, причем количество выборочных значений попавших в каждый интервал должно быть не меньше 5 (). В противном случае следует изменять длины интервалов, добиваясь относительно равномерного распределения частот по интервалам.
-
Построить гистограмму и сравнить ее (качественно) с кривыми плотности возможных теоретических распределений.
-
Выдвинуть гипотезу о виде закона распределения (на основе сравнения гистограммы с графиком плотности теоретического распределения). Дополнительно для выбора можно использовать сравнение выборочных значений и с теоретическими: , , где - центральный момент -го порядка, - среднеквадратичное отклонение (теоретические значения и для каждого из возможных распределений предварительно подсчитать).
-
Используя критерий Пирсона на уровне значимости проверить гипотезу . Если гипотеза отвергается, следует выдвинуть другую и аналогично подвергнуть ее проверке.
-
Для принятой гипотезы уточнить значение оценок параметров распределения, используя метод наименьших квадратов (определяем оценки, исходя из минимума статистики критерия Пирсона )
-
Найти реально достигнутый уровень значимости , то есть вероятность того, что при истинности гипотезы значение статистики будет больше наблюдаемого значения статистики :
Приложение 1.
Критерий (Пирсона) для простой гипотезы
Пусть выборка из генеральной совокупности . Проверяется гипотеза против альтернативы .
Представим выборку в виде группированного ряда, разбив предполагаемую область значений случайной величины на интервалов. Пусть - число элементов выборки попавших в -ый интервал, а - теоретическая вероятность попадания в этот интервал при условии истинности . Составим статистику , которая характеризует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от ожидаемых по всем интервалам группирования.
Теорема Пирсона. Если верна, то при фиксированном и
. (1)
Таким образом, статистику можно использовать в качестве статистики критерия согласия для проверки гипотезы о виде закона распределения, который будет иметь вид:
, , (2)
где -квантиль распределения .
Данный критерий называется критерием или критерием согласия Пирсона.
Замечание. Критерий не состоятелен для альтернатив, для которых для всех . Поэтому, следует стремиться к как можно большему числу интервалов группирования. Однако, с другой стороны, сходимость к величины обеспечивается ЦПТ, то есть ожидаемое значение для каждой ячейки не должно быть слишком мало. Поэтому обычно число интервалов выбирают таким образом, чтобы .