- •1. Непараметричні методи оцінювання законів розподілу випадкової величини
- •1.1. Побудова інтервального варіаційного ряду
- •1.2. Побудова гістограми частот
- •1.3. Побудова емпіричної функції розподілу
- •1.4. Знаходження характеристик положення випадкової величини
- •1.5. Знаходження характеристик розсіювання випадкової величини
- •1.6. Контрольний приклад
- •Параметричне оцінювання закону розподілу випадкової величини
- •2.1. Порядок виконання роботи та методичні вказівки з її виконання
- •2.1.1. Побудова точкових оцінок параметрів розподілу
- •2.1.2. Інтервальне оцінювання параметрів розподілу
- •2.2. Контрольний приклад
- •3. Перевірка статистичних гіпотез про закон розподілу випадкової величини
- •3.2. Контрольний приклад
- •4. Індивідуальні завдання
1. Непараметричні методи оцінювання законів розподілу випадкової величини
1.1. Побудова інтервального варіаційного ряду
Непараметричний метод оцінювання закону розподілу випадкової величини полягає в оцінюванні форми розподілів по вибірці реалізації випадкової величинибез припущення, що закон розподілує відомою функцією з точністю до параметрів. У результаті такого оцінювання одержують статистичний аналог закону розподілу випадкової величини.
Якщо об’єм вибірки достатньо великий (), то для побудови статистичного аналогу закону розподілу випадкової величинивикористовується інтервальний варіаційний ряд, у якому значення реалізацій випадкової величинигрупуютьсяза інтервалами.
При виборі рівних інтервалів ширина інтервалів визначається за формулою:
,
де – розмах варіаційного ряду;– максимальне значення реалізації випадкової величини у вибірці;– мінімальне значення реалізації випадкової величини у вибірці;n – об’єм вибірки; k – число інтервалів (ціла частина знаменника, округленого у більшу сторону).
При обсязі вибірки число інтервалів повинно знаходитися в межах. Тоді ширина інтервалуможе бути визначена за формулою:
.
Для побудови інтервалів за нижню межу першого інтервалу приймається величина
.
Нижня межа другого інтервалу збігається з верхньою межею першого і дорівнює:
.
Цей процес продовжується до k-го інтервалу, до того ж за верхню межу останнього інтервалу приймаємо величину
.
Визначивши шкалу інтервалів, роблять розподіл елементів вибірки (варіант) за інтервалами, перебираючи їх у порядку запису по вибірці.
Якщо значення варіанти співпало з межею інтервалу, то це значення відносять до інтервалу, що лежить зліва від границі, з якою він збігається (крім значення варіанта , що варто віднести до першого інтервалу).
Розподіливши елементи вибірки за інтервалами, для кожного інтервалу визначають такі величини:
1) частоту попадання елементів вибірки в-й інтервал;
2) відносну частоту попадання елементів вибірки в-й інтервал:
;
3) представник -го інтервалу:
.
У результаті одержуємо інтервальний варіаційний ряд, поданий у табл.1.1
Таблиця 1.1 – Інтервальний варіаційний ряд
Номер -го інтервалу |
1 |
2 |
... |
i |
... |
k |
Межа -го інтервалу |
|
|
... |
|
... |
|
Частота попадання в -й інтервал |
|
|
... |
|
... |
|
Відносна частота попадання в -й інтервал |
|
|
... |
|
... |
|
Представник -го інтервалу |
|
|
... |
|
... |
|
Щільність відносної частоти |
|
|
... |
|
... |
|
1.2. Побудова гістограми частот
Для побудови статистичного аналогу щільності розподілу випадкової величинитабл.1.1 доповнюється рядком, у якому розташовується щільність відносної частоти, яка визначається так:
.
Для графічного зображення варіаційного ряду служить гістограма – ряд зімкнутих прямокутників, основою кожного з яких є ширина інтервалу , а висота дорівнює або частоті, або частості, або щільності відносної частоти.В останньому випадку гістограма є аналогом щільності розподілу випадкової величини. На рис.1.1 подано всі три типи гістограм.
Рисунок 1.1 – Гістограми