![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
«Никто не сомневается в точности результатов,
получаемых при вычислениях с мнимыми количествами,
хотя они представляют собой только алгебраические
формы и иероглифы нелепых количеств»
Л. Карно1
Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных уравнений, поскольку, оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя.
В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Формула для решения уравнения х3+рх+q=0
x=
содержит кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения х3+3х-4=0), а если оно имело три действительных корня (например, х3-7х+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы
объяснить получившийся парадокс,
итальянский алгебраист Дж. Кардано2
в 1545 г. предложил ввести числа новой
природы. Он показал, что система уравнений
х+у=10, ху=40, не имеющая решений в множестве
действительных чисел, имеет решения
вида х=5,
у=5
,
нужно только условиться действовать
над такими выражениями по правилам
обычной алгебры и считать, что
=-а.
Кардано называл такие величины «чисто
отрицательными» и даже «софистически
отрицательными», считал их бесполезными
и стремился не применять их. В самом
деле, с помощью таких чисел нельзя
выразить ни результат измерения
какой-нибудь величины, ни изменение
этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга
итальянского алгебраиста Р. Бомбелли3,
в которой были установлены первые
правила арифметических операций над
такими числами, вплоть до извлечения
из них кубических корней. Название
«мнимые числа» ввел в 1637 г. французский
математик и философ Р. Декарт4,
а в 1777 г. один из крупнейших математиков
XVIII века – Л. Эйлер5
предложил использовать первую букву
французского слова imaginaire
(мнимый) для обозначения числа
(«мнимой»
единицы); этот символ вошел во всеобщее
употребление благодаря К. Гауссу6
(1831).
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.
Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на формуле английского математика А. Муавра7 (1707).
В конце XVIII века с помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли8 применил комплексные числа для вычисления интегралов.
Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.
В
конце XVIII – начале XIХ
веков было получено геометрическое
истолкование комплексных чисел. Датчанин
Г. Вессель9,
француз Ж. Арган10
и немец К. Гаусс независимо друг от друга
предложили изображать комплексное
число z=a+ib
точкой M(a,b)
на координатной плоскости. При этом их
рассуждения сводились к следующему.
Подобно тому, что всю область действительных
величин можно представить с помощью
бесконечной прямой, можно себе представить
область всех величин, действительных
и мнимых, с помощью бесконечной плоскости,
где каждая точка, определенная своей
абсциссой а и своей ординатой b,
представляет в то же время величину
a+ib.
Позднее оказалось, что еще удобнее
изображать число не самой точкой М, а
вектором
,
идущим в эту точку из начала координат.
При таком истолковании сложению и
вычитанию комплексных чисел соответствуют
эти же операции над векторами.
Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.
Учение о комплексных числах и теория функций комплексного переменного нашли в ХХ веке важнейшие применения в естествознании и технике, в частности в теории электричества и электротехнике, в динамике, аэродинамике и теории упругости. Особенно следует отметить применение комплексных чисел к нахождению профиля крыла самолета и к выводу основных закономерностей теории самолета.
-
Основные понятия. Комплексная плоскость.
Термин «комплексные числа» означает числа, составленные из разного рода единиц: 1 и i (лат. слово complexus означает «совокупность, соединение, состав»).
Комплексным числом называется выражение вида х+iy,
где х, у – действительные числа;
i – мнимая единица – число особого рода, квадрат которого равен –1, т.е.
-
i2=-1
Тогда i3=i2i=-i ; i4=i2i2=1 ; i5=(i2)2i=i
Примеры.
i97=(i4)24i=i; i127=(i4)31i3=-i
z=х+iy |
- алгебраическая форма записи комплексного числа |
х=Re(z) – действительная часть числа z ;
y=Im(z) – мнимая часть числа z.
Замечание. Действительное число х является частным случаем комплексного числа z=х+iy при у=0.
Множество всех комплексных чисел обозначается через С.
RС
=х-iy
– комплексно сопряженное число с числом
z.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел:
Для изображения комплексных чисел используются точки координатной плоскости Оху.
Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z=х+iy ставится в соответствие точка плоскости z(х,y), причем это соответствие взаимно однозначное. |
|
В этой плоскости ось Ох называется действительной, а ось Оу – мнимой осью.
С
каждой точкой z(х,y)
комплексной плоскости связан радиус-вектор
этой точки
.
Модулем комплексного числа z называется длина его радиуса-вектора:
-
r=z=
Аргументом
комплексного числа z
называется угол между действительной
осью Ох и радиусом-вектором
,
отсчитываемый от положительного
направления действительной оси против
часовой стрелки: =arg
z
Замечания:
1) Для числа z=0 аргумент не определен;
2) Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: любое число z, неравное нулю, имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2.
Главным значением аргумента называется наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка -<.
-
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами.
Пусть z1=х1+iy1, z2=х2+iy2
1) |
z1+z2=(х1+х2)+i(у1+y2) |
2) |
z1-z2=(х1-х2)+i(у1-y2) |
3) |
z1z2=(х1х2-у1y2)+i(х1у2+х2y1) |
Свойства операций сложения и умножения:
1 z1+z2=z2+z1 2 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
3 z1+0=z1 4 z1+(-z1)=0
5 z1z2=z2z1 6 (z1z2)z3=z1( z2z3)
7 z11=z1 8 z1z1-1=1
9 z1(z2+z3)= z1z2+z1z3
4) |
|
, z20 |
Свойства операций с комплексно сопряженными числами:
1
2
3
zR z= 4
z – мнимо z=-
5
z+R 6
z
R
5) z1=z2 Re(z1)=Re(z2), Im(z1)=Im(z2)
z=0 Re(z)=Im(z)=0
Пример. Пусть z1=12+5i, z2=3-4i . Найти сумму, разность, произведение и частное чисел z1 и z2 .
z1+z2=(12+5i)+(3-4i)=15+i ; z1-z2=(12+5i)-(3-4i)=9+9i
z1z2=(12+5i)(3-4i)=36-48i+15i-20i2=56-33i