- •Тема 6. Законы распределения случайных величин
- •Свойства биномиального закона распределения
- •2. Закон распределения Пуассона.
- •Свойства закона распределения Пуассона.
- •3. Равномерное распределение
- •Свойства равномерного распределения
- •4. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Свойства показательного распределения
- •5. Нормальный закон распределения.
- •Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.
- •Зависимость нормальной кривой от значений параметров закона и.
Тема 6. Законы распределения случайных величин
План темы
1. Биномиальное распределение.
2. Закон распределения Пуассона.
3. Равномерное распределение.
4. Показательное (экспоненциальное) распределение.
5. Нормальный закон распределения.
В этой теме мы изучим некоторые конкретные случайные величины, часто используемые в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях.
1. Биномиальное распределение
Случайная величина с биномиальным законом распределения возникает в схеме Бернулли. Пусть проводится серия независимых испытаний, причем каждое испытание имеет два исхода: «событиепоявилось» или «событиене появилось». Вероятность появления событияв каждом отдельном испытании равна.
Определение. Дискретная случайная величина , возможными значениями которой являются частоты появления событиявнезависимых испытаниях, а вероятность соответствующих значений определяются по формуле Бернулли
называется биномиальной случайной величиной с параметрами и.
Таким образом, закон распределения биномиальной случайной величины можно записать в виде таблицы 1.
Таблица 1.
-
0
1
…
…
Свойства биномиального закона распределения
Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений биномиальной случайной величины равна единице, т.е.
.
Доказательство.
Из этого свойства вытекает название биномиального распределения вероятностей.
Свойство 2. Если частота возрастает то нуля до некоторого значения частоты, то вероятности соответствующих значений также возрастают до величины, а при дальнейшем возрастании частотывероятности соответствующих значений убывают.
Доказательство. Выведем условия, при которых вероятности с ростомвозрастают, т.е. удовлетворяют неравенству
или . (1)
Так как
; ,
то из равенства (1) получаем
,
откуда находим
(2)
Следовательно, при возрастании от нуля довероятности соответствующих значений монотонно возрастают.
Аналогично выводим условие, при котором вероятности соответствующих значений с ростомубывают.
Если
,
то
. (3)
Так как
,
то
,
откуда находим
. (4)
Следовательно, при возрастании отдовероятности соответствующих значений монотонно убывают.
Таким образом, существует частота, которой соответствует наибольшая вероятность.
Определение. Частота, которой соответствует наибольшая вероятность при заданных параметрах иназываетсянаивероятнейшей частотой.
Наивероятнейшую частоту обычно обозначают .
Свойство 3. Наивероятнейшая частота определяется из двойного неравенства
.
Доказательство. Из определения наивероятнейшей частоты получаем
и .
Согласно свойству 2, имеем
; (5)
. (6)
Объединив неравенства (5) и (6) получаем двойное неравенство для определения наивероятнейшей частоты
.
Если целое число, то наивероятнейшая частота принимает два значения:
или .
Если дробное число, то наивероятнейшая частота имеет единственное значение, которое равно целой части числа, т.е.
.
Из рассмотренных свойств биномиального закона распределения следует, что полигон распределения вероятностей биномиальной случайной величины имеет вид
дробное число
|
целое число |
Свойство 4. Числовые характеристики биномиальной случайной величины вычисляются по формулам
,
,
.
Доказательство.
Следствие. Числовые характеристики относительной частоты вычисляются по формулам:
,
,
.
Доказательство.