- •3. Классическое определение вероятности события. Теорема умножения и её свойства.
- •8. Дисперсия дсв и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
- •6. Определение интегральной функции распределения и доказательство ее св-в.
- •7. Доказать теоремы: «Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
- •15. Простая и сложная статистическая гипотеза, ошибки 1и 2 рода
- •5. Математическое ожидание дсв и ее св-ва. 3св-ва доказать на выбор.
- •16. Поняття статистичної та кореляційної залежності. Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції та його властивості.
- •2. Определение дифференциальной функции распределения. Доказ-во свойств.
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа. Её частные случаи.
- •11. Схема применения критерия Пирсона.
- •13. Точечные оценки выборки и требования к ним.
- •18. Выборочная дисперсия
- •17. Статистические гипотезы
- •12. Декомпозиция дисперсий. Коэффициент детерминаций.
- •4.Числовые характеристики биномиального распределения.
- •14. Критерий независимости двух дискретных св. Корреляционный момент. Коэффи-циент корреляции и его св-ва.
- •19. Выборочная средняя арифметическая
- •9. Определение нормального закона распределения. Вывести формулу для вероятности попадання значений нормально распределенной св з заданный промежуток. Следствие. Правило «три сигма».
- •1. Центральная предельная теорема. Вывести интегральную теорему Муавра-Лапласа
3. Классическое определение вероятности события. Теорема умножения и её свойства.
Вероятностью события А называется отношение числа событий благоприятствующих событию А к общему числу единственновозмож-ных, равновозможных и несовместных событий. Обозначается Р(А). , гдеm - число событий благоприятствующих событию А, n – общее число единственновозможных, равновозможных и несовместных событий.
Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е. P(AB)=P(A)*PА(B), Р(АВ)=Р(В)*РВ(А).
Док-во. Пусть из n единственновозможных, равновозмож-ных и несовместных событий, m событий, благоприятствующих соб.А, l – событие благоприятствует событию В, k – их совместному наступлению, т.е. А*В. Воспользуемся классическим определением вероятности события:
Аналогично можно доказать справедливость второй формулы.
Следствия:
1.Если вероятность событий отличны от 0, то PА(B)=P(AB)/P(A), PB(A)=P(AB)/P(B).
2.Если А независит от В, то В независит от А, т.е. они взаимонезависимы. PB(A)=P(A);
3.Из независимости событий А и В следует независимость пар событий: А и
1.Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их событий:
Р(АВ)=Р(А)*Р(В)
10. Теорема суммы и следствия из нее. Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Док-во. Пусть из n единственновоз-можных, равновозможных и несовместных событий, m событий благоприятствует событию А, l – соб.B, k – их совместному наступлению. По определению суммы двух событий А+В – либо А, либо В, либо А*В. Соб. А благоприятствует m-k событий, соб.В
l-k событий, а соб. АВ k событий. Таким образом, соб. А+В благоприятствует m-k+l-k+k=m+l-k событий. Воспользуемся классическим определением вероятности событий:
Следствия:
1.Вероятность суммы двух несовместных событии равна сумме их вероятностей. P(A+B)=P(A)+P(B).
2.Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу =1 P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
3.Для взаимно противоположных событий А и Ā: Р(А)+Р(Ā)=1
4.Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, …, Аn равна: P(A1+A2+…+An)=1–P(Ā1+Ā2+…+Ān).
8. Дисперсия дсв и ее св-ва. 3 на выбор доказать.
Дисперсией дискретной СВ называется матем. ожидание квадрата её отклонения от матем. ожидания. D(X)=M[X-M(X)]2. Из определения матем. ожидания дискретной СВ следует, что:
На практике при вычеслении дискретной СВ удобно пользоваться формулой: D(X)=M(X2)-M2(X).
Свойства D(X):
1. Дисперсия постоянной величины равна 0: D(C)=0
Док-во. D(C)=M(C2)-[M(С)]2 = C2-C2=0
2. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возводя его в квадрат: D(kX)=k2D(X)
Док-во. D(kX)=M(k2X2)-[M(kX)]2=k2M(X2)-[kM(X)]2= =k2M(X2)-k2[M(X)]2=k2[M(X2)-M2(X)]=k2D(X)
3. Дисперсия алгебраической суммы (разницы) конечного числа независимых дискретных СВ равна сумме их дисперсий. D(X±Y)=D(X)+D(Y).
Док-во.1) Рассмотрим D(X+Y)=D(X)+D(Y),
По формуле вычисления дисперсии имеем:
D(X+Y)= M[(X+Y)2]-M2(X+Y), раскрыв скобки и пользуясь свойствами матем. ожидания суммы нескольких величин и произведения 2 CВ получим:
D(X+Y)=M(X2+2XY+Y2)-[M(X)+M(Y)]2= =M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)-M2(X)-2M(X)M(Y)-M2(Y)= =[M(X2)-M2(X)]+[M(Y2)-M2(Y)]=D(X)+D(Y)
2) Рассмотрим D(X-Y)=D(X)+D(Y),
D(X-Y)=D(X+(-1)Y), следуя предыдущему случаю имеем:
D(X-Y)=D(X+(-1)Y)=D(X)+D(-Y)=D(X)+D((-1)Y)=
=D(X)+(-1)2D(Y)=D(X)+D(Y)
4. Дисперсия любой CВ неотрицательна