![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2 предел функции
- •2.1. Определение предела функции
- •2.2. Односторонние пределы
- •2.3. Условие существования предела функции
- •2.4. Предел функции при бесконечно большом значении аргумента ()
- •2.5. Предел числовой последовательности
- •2.6. Бесконечно большие функции
- •2.7. Бесконечно малые функции
- •2.8. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
- •2.9. Основные теоремы о пределах
- •2.10. Признак существования предела функции
- •2.11. Два замечательных предела
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •2.12. Эквивалентные бесконечно малые
- •2.13. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей
- •Примеры
- •Неопределенность вида
- •Примеры
- •Примеры
Глава 2 предел функции
2.1. Определение предела функции
Одним из основных в математике является понятие предела, связанное с поведением функции при изменении аргумента, т.е. как именно величина функции меняется при изменении аргумента.
Рассмотрим функцию
непрерывно изменяющегося
аргументах.
Пусть х
стремится к некоторому числу
(
).
Введем понятие окрестности точки
.
Определение.
−окрестностью
точки
называется интервал
,
где
−некоторое
положительное число.
Если
,
то выполняется неравенство
,
или, что то же,
.
Выполнение последнего неравенства
означает попадание точких
в
−окрестность
точки
(рис. 2.1).
0
δ δ
х
Рис. 2.1
Рассмотрим поведение
функции
вблизи точки
.
Считаем, что функция определена в
некоторой окрестности точки
,
кроме, быть может, самой точки
.
Пусть при неограниченном приближении
аргументах
к
значения функции
неограниченно приближаются к числуА.
Это записывается так:
при
.
Данный факт означает, что с приближениемх
к
разность
становится как угодно малой и, какое бы
число
не было выбрано заранее, наступит такой
момент в изменении
,
когда будет выполняться неравенство
.
В данном случае
рассматриваются значения функции
при значениях аргументах,
близких к
и не равных
,
т.е. длях,
лежащих в интервале
,
что равносильно выполнению неравенства
.
Утверждение «,
если
»
означает, что для любого заранее заданного
положительного числа
можно найти такой интервал
около точки
,
что для всех
из этого интервала, выполняется
неравенство
.
Очевидно, что
величина δ зависит от выбора
,
поэтому пишут
.
Если функция
изменяется именно так при
,
то
числоА
называется пределом функции
при
.
Определение.
Число А
называется пределом
функции в точке
(или при
),
если для любого положительного числа
,
найдется такое положительное число δ,
зависящее от
,
что для всех
и, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Записывают:
.
Иными словами,
числовые значения функции
будут заключены в произвольной
−окрестности
числаА
при условии, что числовые значения
аргумента х
взяты в достаточно малой δ−окрестности
числа
(исключая само число
).
Из определения следует, что закон, по
которому
,
безразличен:х
может стремиться к
возрастая или убывая, или колеблясь
около
.
Точка
называетсяпредельной
точкой.
Поясним понятие
предела геометрически. Если
,
то для всех точек
,
отстоящих от точки
не далее чем на δ, точки графика функции
лежат внутри полосы шириной 2
,
ограниченной прямыми
и
(рис.2.2).
Рис. 2.2
2.2. Односторонние пределы
В определении
предела функции аргумент х
принимает значения из окрестности точки
,
как слева, так и справа от
,
кроме
.
Однако, есть
функции, поведение которых вблизи
некоторой точки
,
существенно зависит от того, рассматриваются
ли точких,
лежащие правее или левее точки
.
Поэтому вводят понятиеодносторонних
пределов.
Определение.
Число
называетсяпределом
функции
слева в точке
,
если для любого числа
существует число
такое, что при
,
выполняется неравенство
.
Предел слева обозначают:
или
(рис.2.3).
Определение.
Число
называетсяпределом
функции
справа в
точке
,
если для любого числа
существует число
такое, что при
,
выполняется неравенство
.
Предел справа обозначают:
или
(рис.2.3).
Рис. 2.3
Например, для функции
в точке
имеем:
предел слева −
,
предел справа −
.
Числа
и
характеризуют поведение функции
,соответственно
в левой [
]
и правой [
]
полуокрестности точки
,
поэтому пределы слева и справа называютодносторонними
пределами.
Если
,
то предел слева функции
обозначают
или
,
а предел справа −
или
.
Если функция
задана на отрезке
или на интервале
,
то в точке
функция может иметь только предел
справа, а в точке
− только предел слева.