6 Вариант. Задача 1
Смесь газов (2 кг N2 + 8 кг H2) с начальной температурой t1 = 270C сжимается в одноступенчатом поршневом компрессоре от давления Р1 = 0,1 МПа до давления Р2 = 0,9МПа. Сжатие может происходить по изотерме, адиабате и по политропе с показателем политропы n = 1,23. Определить для каждого из трёх процессов сжатия конечную температуру газа t2, отведённое от смеси тепло Q, кВт, изменение внутренней энергии и энтропии смеси и теоретическую мощность компрессора, если его производительность G = 0,8*103 кг/ч. Дать сводную таблицу и изображение процессов сжатия в PV– и TS–диаграммах.
Решение:
Газовая постоянная смеси
RCM = 8314/ µCM,
где µCM - молекулярная масса смеси;
µCM= 1/[(mN2/ µN2) + (mH2/ µH2)],
µN2= 28 кг/кмоль -молекулярная масса азота
µH2 = 2 кг/кмоль -молекулярная масса водорода.
Массовые доли азота и водорода а в смеси:
MN2 = MN2 / Mсм;
mH2 = MH2/ Mсм;
где MN2 – масса азота;
MH2 – масса водорода;
Мсм – масса смеси, равная Мсм = MN2 + MH2.
Мсм = 2 + 8 = 10 кг.
mN2 = 2/10 = 0,2;
mH2 = 8/10 = 0,8.
µCM= 1/[(0,2/ 28) + (0,7/2)] = 2,8,
RCM = 8314/ 2,8 = 2969 Дж/(кг*К).
Начальный объём смеси
Запишем уравнение состояния Р1*V1 = M*RCM*T1, из которого выразим объём смеси:
V1 = M*RCM*T1/P1 = 10*2969*300 / (0,1*106) = 89,07 м3.
Массовая изобарная теплоёмкость смеси
Cрсм = *Cpi),
где Cpi = µCрi /µi - массовая изобарная теплоёмкость i-го компонента смеси
µCрi = 29,1 кДж/(кмоль*К) – мольная изобарная теплоёмкость азота и водорода(для двухатомных газов),
Cрсм = 0,2*29,1/28 + 0,8*29,1/2 = 11,848 кДж,(кг*К).
Массовая изохорная теплоёмкость смеси
Cvсм = *Cvi),
где Cvi = µCvi /µi - массовая изохорная теплоёмкость i-го компонента смеси
µvрi = 20,93 кДж/(кмоль*К) – мольная изохорная теплоёмкость азота и
водорода(для двухатомных газов),
Cvсм = 0,2*20,93/28 + 0,8*20,93/2 = 8,522 кДж,(кг*К).
Показатель адиабаты:
k = Cрсм/Cvсм = 11,848/8,522 = 1,39.
Изотермическое сжатие.
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,9 МПа.
При изотермическом процессе T2 = T1 = 300 K.
Конечный объём определяем по уравнению:
V2 = RCM*Т2 / P2 = 2969*300 / (0,9*106) = 0,98 м3.
Работа сжатия:
L = M* RCM*T*ln(V2/V1) = 10*2969*300*ln(0,98/89,07) = - 40167233 Дж.
Изменение внутренней энергии:
При изотермическом процессе температура не меняется, поэтому
∆U =0
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,
и ∆U = 0, то Q = L = - 40167233 Дж.
Изменение энтропии:
∆S = M*RCM*ln(V2/V1) = 10*2969*ln(0,98/89,07) = - 133891Дж/К.
Изменение энтальпии:
При изотермическом процессе ∆Н = 0.
Теоретическая мощность компрессора:
N = G*n*lсж = (0,8*103/3600)*1*4016723,3 = 892605 Вт.
n = 1;
lсж = L/M = 40167233/10 = 4016723,3 Дж/кг.
Адиабатное сжатие.
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,9 МПа.
Конечную температуру определяем из уравнения:
T2 = T1*(Р2 / Р1 )(k-1)/k = 300*(0,9/0,1)(1,39-1)/1,39 = 556 K.
k – показатель адиабаты.
Конечный объём определяем по уравнению:
V2k = P1*V1k / P2,
V21,39 = 0,1*106*89,071,39 / (0,9*106) = 57;
V2 = 18,33 м3.
Работа сжатия:
L = (M* RCM /(k – 1))*(T1 - T2) = (10*2969 / (1,39 – 1))*(300 - 556) =
= -19488821Дж.
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Так как процесс адиабатный, то Q = 0.
Изменение внутренней энергии:
Так как по первому закону термодинамики Q = L + ∆U,
и Q = 0, то ∆U = - L = 19488821Дж.
Изменение энтропии:
При адиабатном процессе ∆S = 0.
Изменение энтальпии:
∆Н = М*Срсм*(Т2 – Т1),
∆Н = 10*948*(556 – 300) = 2426880 Дж.
Теоретическая мощность компрессора:
N = G*n*lсж = (0,8*103/3600)*1,39*1948882,1 = 601988 Вт.
n = k = 1,39;
lсж = L/M = 19488821/10 = 1948882,1Дж/кг.
Политропное сжатие
Конечное давление по условию задачи Р2 = 0,9 МПа.
Конечную температуру определяем из уравнения:
T2 = T1*(P2 / P1 )(n-1)/n = 300*(0,9/0,1)(1,23-1)/1,23= 553 K.
Конечный объём определяем из уравнения:
V2n = P1*V1n / P2,
V21,23= 0,1*106*89,071,23 / (0,9*106) = 27,8;
V2 = 14,93 м3.
Работа расширения:
L =[M* RCM /(n – 1)]*(T1 - T2) = [10*2969 / (1,23 – 1)]*(300 - 553) =
= - 32659000Дж.
Количество теплоты, участвующее в процессе:
Q = [М*Cvсм *(n – k)/(n – 1)]*(T2 – T1),
Q = [10*682*(1,23 – 1,39)/(1,23 – 1)]*(553 – 300) = - 1200320 Дж.
Изменение внутренней энергии:
∆U = М*Cvсм*(T2 – T1) = 10*682*(553 – 300) = 1725460 Дж.
Изменение энтропии:
∆S = M*Cvсм* [(n – k)/(n – 1)]/ ln(T2/T1),
∆S = 10*682*103* [(1,23 – 1,39)/(1,23– 1)]*ln(553/300) = - 2901527 Дж/К.
Изменение энтальпии
∆Н = М*Срсм*(Т2 – Т1) = 10*948*(553 – 300) = 2398440 Дж.
Теоретическая мощность компрессора:
N = G*n*lсж = (0,8*103/3600)*1,23*3265900 = 892679 Вт.
n = 1,23;
lсж = L/M = 32659000/10 = 3265900 Дж/кг.
Результаты расчёта.
Параметры |
Изотермическое расширение |
Адиабатное расширение |
Политропное расширение |
V1, м3 |
89,07 |
89,07 |
89,07 |
P1, МПа |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
Т1,К |
300 |
300 |
300 |
V2, м3 |
0,98 |
18,33 |
14,93 |
P2, МПа |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
T2, K |
300 |
556 |
553 |
L, Дж |
- 40167233 |
-19488821 |
- 32659000 |
Q, Дж |
- 40167233 |
0 |
- 1200320 |
∆U, Дж |
0 |
19488821 |
1725460 |
∆S, Дж/К. |
- 133891 |
0 |
- 2901527 |
∆H, Дж |
0 |
2426880 |
2398440 |
N, Вт |
892605 |
601988 |
892679 |
Анализируя данные таблицы, приходим к выводу, что в адиабатном процессе теплота не подводится и не отводится. В изотермическом процессе сжатия теплота отводится. Политропный процесс сжатия (имеем <n < протекает также с отводом теплоты от рабочего тела. Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе, так как не меняется температура в процессе, следовательно и внутренняя энергия системы также не меняется, а тепло, подведённое, расходуется на совершение работы этой системой.
Изображение процессов расширения в PV- и TS- диаграммах
Р,МПа
V,м3
Р1
Р2
V1
1
2ад
2из
2п
Т,К
∆S,кДж/К
1
2ад
2из
2п
|
|
процесс 1-2из – изотермическое сжатие; процесс 1 -2ад – адиабатное сжатие; процесс 1 – 2п – политропное сжатие
В каком из процессов сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше?
В политроном процессе сжатия мощность, затрачиваемая на привод компрессора, будет больше, чем при изотермическом и адиабтном сжатии.
Какое количество воды необходимо прокачивать через рубашку цилиндра при сжатии газа по изотерме и политропе, если температура воды при этом повышается на 200?
Kоличество охлаждающей воды: МН2О = Q/(CH2O*∆t):
- при сжатии по изотерме: МН2О = 40167233/(4190*20) = 479 кг.
- при сжатии по политропе: МН2О = 1200320/(4190*20) = 143 кг.
Как изменится в вашем варианте задачи показатель адиабаты k = Cp/Cv, если учесть зависимость теплоёмкости газов от температуры?
Находим теплоёмкость смеси в промежутке температур t1 – t2 (например, при адиабатном процессе t1 = 270C; t2 = 2830C):
(СpN2)t1t2 = (Cp2N2*t2 - Cp1N2*t1)/(t2 – t1) = (1,0455*283 – 1,0392*27)/(283 – 27)= 1,046 кДж/(кг*К);
(СpH2)t1t2 = (Cp2H2*t2 - Cp1H2*t1)/(t2 – t1) = (14,435*283 – 14,252*27)/(283 – 27) = 14,454 кДж/(кг*К);
Срi – изобарная теплоёмкость азота и водорода при t1 и t2
CpCM = mN2*(СpN2)t1t2 + mH2*(СpH2)t1t2
CpCM = 0,2*1,046 + 0,8*14,454 = 11,772 кДж/(кг*К)
(СvN2)t1t2 = (Cv2N2*t2 – Cv1N2*t1)/(t2 – t1) = (0,7502*283 – 0,7424*27)/(283 – 27)= 0,908 кДж/(кг*К);
(СvH2)t1t2 = (Cv2H2*t2 – Cv1H2*t1)/(t2 – t1) = (10,302*283 – 10,128*27)/(283 – 27) = 10,320 кДж/(кг*К).
Сvi – изохорная теплоёмкость азота и водорода при t1 и t2
CvCM = mN2*(СvN2)t1t2 + mH2*(СvH2)t1t2
CvCM = 0,2*0,908 + 0,8*10,320 = 8,438 кДж/(кг*К)
k = CpCM/CvCM = 14,454/8,438 = 1,71.
Если учесть зависимость теплоёмкости от температуры, то в нашем случае коэффициент адиабаты увеличится.