- •Раздел 1. Теория вероятности
- •Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей Параграф 1. Понятие о случайном событии
- •Параграф 2. Действия над событиями
- •Параграф 3. Классическое определение вероятности
- •Параграф 4. Статистическое определение вероятности
- •Параграф 5. Геометрическое определение вероятности
- •Параграф 6. Элементы комбинаторики
- •Параграф 7. Теоремы произведения вероятностей
- •Параграф 8. Теоремы сложения вероятностей
- •Параграф 9. Формула полной вероятности
- •Параграф 10. Формула Байеса
- •Глава 2. Повторные независимые испытания Параграф 1. Формула Бернулли
- •Параграф 2. Формула Пуассона
- •Параграф 3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Параграф 4. Интегральная торема Муавра-Лапласа
- •Глава 3. Случайные величины Параграф 1. Понятие случайной величины
- •Параграф 2. Действия над случайными величинами
- •Параграф 3. Дискретная случайная величина
- •Параграф 4. Функция распределения
- •Параграф 5. Непрерывная случайная величина
- •Параграф 6. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •Глава 4. Основные законы распределения Параграф 1. Биномиальный закон распределения
- •Параграф 2. Закон распределения Пуассона
- •Параграф 3. Геометрическое распределение
- •Параграф 4. Гипергеометрическое распределение
- •Параграф 2. Дискретная многомерная случайная величина
- •Параграф 3. Функция распределения многомерной случайной величины
Раздел 1. Теория вероятности
Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей Параграф 1. Понятие о случайном событии
Опыт или наблюдение явления называется испытанием.
Пример 1. Бросание монеты; выстрел из винтовки; бросание игральной кости.
Результат или исход испытания называется событие.
Пример 2. Выпадение герба или выпадение цифры; попадание в цель или промах; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.
Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: и т.д.
События называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие – появление четырех очков; событие– появление четного числа очков. Событияисовместимые, так как появление одного из них не исключает появление другого.
События называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого.
Пример 4. Испытание: однократное бросание монеты. Событие – выпадение герба; событие– выпадение цифры. Событияинесовместимые, так как появление одного из них исключает появление другого.
Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом.
Событие называется невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.
Пример 5. Испытание: Извлечение шара из урны, в котором все шары белые. Событие – вынут белый шар – достоверное событие; событие– вынут черный шар – невозможное событие.
Событие называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Пример 6. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие – выпадение шести очков – случайное событие, так как оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
События называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Событие, противоположное событию , обозначается через.
Пример 7. Испытание: однократное бросание монеты. Событие – выпадение герба (не выпадение цифры); событие– не выпадение герба (выпадение цифры). Событияипротивоположныили, так как они несовместимы и одно из них обязательно происходит.
Параграф 2. Действия над событиями
Произведением событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.
Пример 1. Испытание: два стрелка делают по выстрелу. Событие – попадание в цель первым стрелком; событие– попадание в цель вторым стрелком. Событие– попадание в цель первым и вторым стрелком вместе.
Суммой событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.
Пример 2. Испытание: два стрелка делают по выстрелу. Событие – попадание в цель первым стрелком; событие– попадание в цель вторым стрелком. Событие– попадание в цель первым или вторым стрелком.
Разностью событий называется событие, которое состоит в том, что одно из событий не произойдет.
Пример 3. Испытание: два стрелка делают по выстрелу. Событие – попадание в цель первым стрелком; событие– попадание в цель вторым стрелком. Событие– попадание в цель первым стрелком и промах второго стрелка.
Диаграмма Венна и свойства действий над событиями.
; ;;;;.
Рис. 1.1