Курсовая работа для гр 08-503 по спецкурсу Асимптотические методы
.pdfРаспределение вариантов
Фамилия Имя студента |
№ варианта |
|
|
Величкина Елена |
X |
|
|
Емелькин Александр |
VIII |
|
|
Краснухин Александр |
VI |
|
|
Кузнецов Алексей |
I |
|
|
Кузнецова Анастасия |
IX |
|
|
Лебедев Максим |
XIV |
|
|
Леонов Сергей |
II |
|
|
Майоров Андрей |
XII |
|
|
Никанорова Екатерина |
V |
|
|
Правоторова Наталия |
IV |
|
|
Токан Михаил |
XIII |
|
|
Хан Юлия |
XI |
|
|
Вариант I
Колебания балки с жёстко закрёпленными концами описываются уравнением краевыми условиями
ε 2 d 4u − d 2u = λ 2u dx4 dx2
u (0)= u (1)= u′(0)= u′(1)= 0
Определить разложение первого порядка при малых ε для u и λ .
Вариант II
Определить при малом ε разложение второго порядка (трёхчленное) для решения задачи
uɺɺ+ (δ + ε COS 2t )u = 0
u (0)= a, uɺ(0)= 0
Для каких значениях δ это разложение будет равномерным? Определить разложения второго порядка для нечётных решений, соответствующим переходным кривым уравнения, если δ близко к 1 или к 4.
Вариант III
Задача о ламинарном течении в канале с равномерно пористыми стенками различной проницаемости может быть приведена к виду
f ′′′ + R ( ff ′′ − f ′2 )= c
f (0)= 1, f ′(0)= 0
f (1)= 1 − α , f ′(1)= 0
Показать, что при малом α справедливы соотношения
f = 1 + α A 2 (e− Rx + Rx −1)− R (1 − e− R )x2 + O (α 2 )
c= 2α R2 A(e− R −1)+ O (α 2 )
иопределить A .
Вариант IV
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для периодического решения системы уравнений
uɺɺ+ u = ε (1 − z )uɺ
τ zɺ+ z = u 2
где τ -- постоянная.
Вариант V
Рассмотреть уравнение
uɺɺ+ ω02u = ε u 2 + k COS ωt
Определить равномерно пригодные разложения первого порядка для периодических решений, если:
(A) ω0 ≈ 2ω
(B) ω0 ≈ ω 2
Вариант VI
Рассмотреть уравнение
uɺɺ+ (δ + ε COS3 t )u = 0
Определить разложение второго порядка для первых трёх переходных кривых, используя метод растянутых параметров и метод Уиттекера.
Вариант VII
Определить разложение первого порядка решений уравнения
uɺɺ+ λu = ε (SIN 2t + u 2 )u
удовлетворяющих условию u (t + 2π )≡ u (t ).
Вариант VIII
Рассмотреть задачу Коши
utt +uxx +uxxxx = ε u3
u (x, 0)= a COS kx, ut (x, 0)= 0
(а) Построить прямое разложение первого порядка.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, применив метод перенормировки.
(в) Определить разложение, пригодное для t = O (ε −1 ), используя метод растянутых параметров.
(г) Показать, что частота становится непригодной вблизи k =1.
(д) Удалить особенность, применив метод перенормировки к этой частоте. (е) Показать, что в результате получается ошибочное решение.
Вариант IX
Рассмотреть задачу
(1 +ε u )∂u + ∂u = 0 ∂x ∂y
u (x, 0)= εϕ (x )
(а) Определить прямое разложение первого порядка при ε 1 и исследовать его равномерность.
(б) Сделать это разложение равномерно пригодным, используя метод перенормировки.
(в) Построить разложение первого порядка, используя метод Лайтхилла, и сравнить результат с п. (б).
Вариант X
Рассмотреть краевую задачу
ε y′′′ − y′ + y = 0
y (0)= α , y (1)= β , y′(1)= γ
(а) Показать, что пограничный слой существует у обоих концов и характеризуется преобразованиями растяжения
η = x , ζ = 1 − x
ε ε
(б) Определить равномерно пригодное разложение второго порядка, используя метод сращивания асимптотических разложений.
(в) Определить разложение второго порядка, используя метод составных разложений и полагая
y = F (x;ε )+ G (η;ε )+ H (ζ ;ε )
где G → 0 при η → ∞ и H → 0 при ζ → ∞ .
Вариант XI
Рассмотреть краевую задачу
ε y′′ + a (x ) y′ + y 2 = 0
y (0)= α , y (1)= β
(а) Определить одночленное разложение решения, используя метод сращивания асимптотических разложений.
(б) Определить одночленное разложение решения, используя метод составных разложений.
Рассмотреть два случая: 1) a (x ) > 0, x [0,1] и 2) a (x ) < 0, x [0,1].
Вариант XII
Определить равномерно пригодные разложения первого порядка решения задачи
ε y′′ ± yy′ − y = 0
y (0)= α , y (1)= β
используя метод сращивания асимптотических разложений и метод составных разложений.
Вариант XIII
Рассмотреть уравнение Матьё
uɺɺ+ (δ + ε COS 2t )u = 0
Определить равномерно пригодные разложения второго порядка, используя:
A) Методику Крылова-Боголюбова;
б) Обобщенный метод усреднения;
в) Преобразования Ли.
Вариант XIV
Рассмотреть задачу о качающейся пружине с демпфированием:
ɺɺ |
ɺ |
|
k |
|
|
ɺ2 |
|
|||
|
|
|
x + g (1 − COSθ )− (l + x )θ |
= 0 |
||||||
x |
+ δ1 x + |
|
|
|||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|||
ɺɺ |
+ δ 2θ + |
|
|
g |
SIN θ + |
2 |
ɺ ɺ |
|
||
θ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
l + x |
l + x |
xθ = 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Положить ω 2 = k m и ω 2 |
= g / l . Используя обобщенный метод усреднения и |
|||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
преобразования Ли, определить равномерные разложения второго порядка для случаев (A) ω1 ≈ 2ω2 и (B) ω1 ≈ 3ω2 .