- •1. Точные грани числовых множеств. Понятие точных граней ограниченного множества. Теорема существования точной верхней грани у множества, ограниченного сверху.
- •Определение сходящейся последовательности. Геометрический смысл определения.
- •Определение бесконечно малой последовательности. Геометрический смысл определения.
- •4. Определение бесконечно большой последовательности. Геометрический смысл определения.
- •5. Определение предела функции в точке по Коши. Геометрический смысл определения.
- •6. Определение предела функции в точке по Гейне.
- •7. Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости.
- •8. Определение функции, непрерывной в точке, по Коши.
- •9. Определение функции, непрерывной в точке, на языке приращений
- •10. Точки разрыва и их классификации.
- •11.Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала.
- •13Понятие предела фнп
- •14 Понятие частной производной фнп. Геометрический смысл
- •23 Понятие частной производной высшего порядка
- •24 Понятие дифференциала высшего порядка
- •25 Понятие частных производных высших порядков. Теорема
- •26 Точки локального экстремума фнп
- •Оглавление
1. Точные грани числовых множеств. Понятие точных граней ограниченного множества. Теорема существования точной верхней грани у множества, ограниченного сверху.
Множество действительных чисел А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число m), что каждый элемент хА удовлетворяет неравенству хМ(хm). При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества А.
Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества АR называется точной верхней гранью. Другими словами, действительное число М является точной верхней гранью множества АR, если
и ’ < М x0 >М’, x0 А.
Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества АR называется точной нижней гранью. Другими словами, действительное число m является точной нижней гранью множества АR, если
и ’ > m x0 m’, x0 А.
Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Определение сходящейся последовательности. Геометрический смысл определения.
Точка называется пределом числовой последовательности при п стремящемся к бесконечности, если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство |xn-a|<ε
Обозначение:
Кр. , |xn-a|<ε
Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся.
N зависит от ε. Чем меньше ε, тем больше N. Исключение, когда последовательность состоит из одинаковых членов.
a- ε
a+ ε
a
Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки а (U (a, ε))
Определение бесконечно малой последовательности. Геометрический смысл определения.
Последовательность {xn} называется бесконечно-малой (б.м.п.), если , то есть a=0
- ε
ε
0
Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера (п>N) все элементы последовательности находятся внутри ε-окр. точки 0 (U (0, ε))
4. Определение бесконечно большой последовательности. Геометрический смысл определения.
Говорят, что последовательность имеет предел равный если для любого ε>0 существует такой номер N, что для всех номеров п>N выполняется неравенство
Обозначение.
()
Если предел числовой последовательности равен , то это бесконечно большая последовательность.
при
при
5. Определение предела функции в точке по Коши. Геометрический смысл определения.
Число A называется пределом функции f(x) в точке x=, если для любого такое что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство
Если , то на графике функции y=f(x) это иллюстрируется следующим образом:
Так как из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее, чем на , точки М графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми y=A- и y=A+.
6. Определение предела функции в точке по Гейне.
Число A называется пределом функции f(x) в точке x=, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента х, отличных от соответствующая последовательность значений функции f() сходится к числу А.
7. Сравнение бесконечно малых величин. Порядок малости.
Функция α(х) называется б.м. функцией при х -> a (или в окрестности точки а),если limα(x)=0.
x->a
Две б.м. α и β называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения равен некоторому числу, отличному от нуля, т.е. если lim(α/β)=A ≠ 0.
x->a
Две б.м. α и β называются эквивалентными если предел их отношения равен 1, т.е. :
lim(α/β)=1 α~β
x->a
Если lim(α/β)=0 (a lim(β/α)=∞), то α называется б.м. высшего порядка малости по
x->a x->a
сравнению с бесконечно малой β, напротив,β называется при этой бесконечно малой низшего порядка малости по сравнению с α .
Бесконечно малая α называется б.м. к-го порядка по отношению к б.м. β, если α и βк будут бесконечно малыми одного порядка, т.е. lim (α/βk)=A ≠ 0.
x->a
Если отношение α/β при x->a не стремится ни к какому пределу; ни к конечному, ни к бесконечному, то говорят, что б.м. α и β несравнимы между собой.
Таблица э.м.ф.
-
sinα(x)~α(x)
-
tgα(x)~α(x)
-
1 – cosα(x)~
-
arcsinα(x)~α(x)
-
arctgα(x)~α(x)
-
ln(1+α(x))~α(x)
-
(a>0)
eα(x)-1~α(x)
-
(1+)
-1~