![](/user_photo/1144_wzNgE.jpg)
контрольная ММвЦОС 4ый вариант
.docxКонтрольное задание №4
1
Показать, что дискретная система,
описываемая уравнением
является нелинейной.
Решение:
Систему называют линейной, если она обладает свойствами:
- аддитивности: реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий (принцип суперпозиции);
- однородности: умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реакция, умноженная на тот же коэффициент.
Соотношение вход/выход линейной системы описывается линейным уравнением.
Следовательно,
система, описанная уравнением уравнением
,
является нелинейной.
2
Вычислить линейную свертку двух
дискретных последовательностей, где
импульсная характеристика цифровой
системы,
реакция
системы на входную последовательность
.
Построить график свертки.
Решение:
3
Показать, что разностное уравнение
c
начальным условием
},
где
входная последовательность, описывает
отклик cумматора
.
Решение:
Следовательно,
4
Вычислить Фурье-образ (дискретизированное
по времени преобразование Фурье)
последовательности
гдеПостроить
графики модуля и фазы как функции
нормированной частоты
в
диапазоне
где
,
–
циклическая и линейная частоты,
-
частота дискретизации.
Решение:
Исходная последовательность
График модуля
График фазы
5
Вычислить элементы системы дискретных
экспоненциальных функций (ДЭФ) и записать
систему в виде матрицы
размером
Матрицу представить в алгебраической
и экспоненциальной форме.
Решение:
В дискретном преобразовании Фурье используется система дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), определяемых следующим выражением
Обе
переменные
принимают дискретные значении
Обозначим
Тогда
Всю
систему ДЭФ можно записать в виде матрицы
V , строки которой нумеруются переменной
k
, столбцы
переменной п,
а
в пересечении k-n
строки
и n-го столбца записана величина
Рисунок 2 – Поворачивающие множители ДПФ
Для N=3 матрица V имеет вид:
6
Выполнить прямое дискретное преобразование
Фурье (ДПФ) последовательности
Восстановить исходную последовательность
через вычисление обратного ДПФ
последовательности коэффициентов
дискретного преобразования Фурье
.
Решение:
,
k=0,1,…,N-1;
,
n=0,1,…,N-1.
Выражение
для вычисления
называется прямым преобразованием
(ДПФ), а для вычисления
- обратным (ОДПФ).
Коэффициент
(постоянная составляющая) равен сумме
всех отсчетных значений сигнала:
7
Дана последовательность
Применить быстрое преобразование Фурье
(БПФ) для вычисления коэффициентов ДПФ.
Показать, что алгоритм БПФ можно применять
для восстановления
по коэффициентам ДПФ используемым в
качестве исходного массива данных.
Оценить вычислительную сложность
алгоритма БПФ.
Решение:
Сигнал состоит из 8-х отсчетов во временной области. Применяя уравнение ДПФ, получаем:
Разобьем эту сумму на две при n = (0, 2, 4, 6) и (1, 3, 5, 7). Получим выражение:
Раскрывая суммы, запишем
Два различных поворачивающих множителя можно связать с помощью определения:
Тогда формула примет вид:
Полученное выражение для 8-точечного БПФ не слишком сложно, но по мере возрастания количества точек увеличивается его сложность. Чтобы упростить выражение, его обычно изображают в другом виде.
Представим
в виде графа алгоритм БПФ с прореживанием
по времени основанный на разбиении —
объединении при
Рисунок
- Граф алгоритма БПФ с прореживанием по
времени при N=8
На
первом этапе отсчеты входного сигнала
переставляются местами и исходная
последовательность делится на «четную»
и «нечетную последовательности»
(обозначены красными и синими стрелками).
Потом «четная» и «нечетная»
последовательности в свою очередь
делятся на «четную» и «нечетную»
последовательности. При такое
деление можно делать
раз.
В нашем случае
.
Данная процедура называется
двоично-инверсной перестановкой, так
можно выполнить перенумерацию отсчетов
переписав номер отсчета в двоичной
системе в обратном направлении.
Например
имеет
индекс в десятичной системе счисления
,
если же
переписать
справа налево то получим
,
то есть
после
разбиения на четные нечетные перед
первой операцией «Бабочка» встанет на
место
,
которая в свою очередь встанет на
место
.
По аналогичному правилу поменяются
местами все отсчеты, при этом некоторые
останутся на месте, в частности
,
так как если
переписать
справа налево то все равно останется
,
аналогично
и
.
Очень важно понять, что данный метод
перенумерации должен применяться при
записи числа в двоичной системе состоящей
из
разрядов.
В приведенном примере использовалось
3 разряда двоичного числа, но если
же
(
),
то необходимо записать число при
использовании 4 разрядов. В этом случае
и
после переписывания получим
,
то есть при
не
останется на месте, а поменяется местами
с
.
Можно
сказать что напрямую двоично-инверсная
перестановка удобна когда заранее
количество отсчетов входного сигнала
фиксировано, однако в универсальных
алгоритмах БПФ на различные размеры ,
двоично-инверсная перестановка не
эффективна, проще и быстрее поменять
отсчеты местами.
После двоично-инверсной перестановки получаем четыре 2-точечных ДПФ:
|
|
На основе четырех 2-точечных ДПФ формируются два 4-точечных ДПФ:
|
|
И на последнем уровне формируется полный спектр входного сигнала.
Алгоритм
с прореживанием по времени на каждом
уровне требует комплексных
умножений и сложений. При
количество
уровней разложения — объединения
равно
,
таким образом общее количество операций
умножения и сложения равно
.
8
Заданы последовательности
и
Вычислить
циклическую дискретную свертку
последовательностей с помощью ДПФ.
Построить график свертки.
Использование БПФ для вычисления свертки основано на том, что ДПФ свертки последовательностей есть покомпонентное произведение ДПФ соответствующих последовательностей.
Для выполнения свертки с помощью дискретного преобразования Фурье необходимо дополнить нулями обе входные последовательности так, чтобы количество элементов в этих последовательностях равнялось Nвых=4+5-1=8. Далее необходимо произвести прямое ДПФ по формуле прямого преобразования Фурье.
Вычислим ДПФ последовательностей:
,
k=0,1,…,7;
Далее производится поочередное умножение элементов первой последовательности с элементами второй последовательности и просуммировать полученные значения. После производится обратное преобразование по формуле обратного преобразования, в результате которого получаем свертку, рассчитанную с помощью ДПФ.
,
n=0,1,…,7.
9
Вычислить матрицу косинусных функций
дискретного косинусного преобразования
(ДКП) размером
Матрицу представить в алгебраической
и экспоненциальной форме.
Решение:
10
Выполнить прямое ДКП
последовательности
Изобразить
график функции
.
Восстановить исходную последовательность
через вычисление обратного ДКП
последовательности коэффициентов
дискретного косинусного преобразования
.
Решение:
11Вычислить
двумерное ДКП массива данных
размером
Восстановить исходный массив, выполнив
двумерноеобратное дискретное косинусное
преобразование (ОДКП), если
Решение:
Матрица
ДКП
:
Двумерное
ДКП массива данных
Обратное ДКП:
12Вычислить среднеквадратичную ошибку восстановления исходных данных (задача 11) при обнулении 12,5 % наименьших по значениям коэффициентов преобразования ДКП и последующем выполнении ОДКП над полученным массивом.
Решение:
Обнулим 12 наименьших значений матрицы с·х:
Обратное ДКП
Среднеквадратичная ошибка восстановления исходных данных: