25.2 Постулат максвелла

Известно, что различные процессы движения, происходящие в различных физических системах, описываются часто одинаковыми по виду дифференциальными уравнениями. Это обстоятельство дает возможность устанавливать аналогии между системами различной физической природы.

Впервые, такая аналогия была установлена Максвеллом (последняя треть 19-го века) для механических и электрических систем. Это позволило ему сформулировать для электромеханических систем Постулат Максвелла:

Уравнения электромеханических систем могут составляться в форме уравнений Лагранжа (уравнений Лагранжа – Максвелла), если считать, что ,где

Утверждение этого Постулата дало возможность составлять уравнения движения электромеханических систем и решать задачи по алгоритмам механики.

Глубинная суть аналогии заключается в том, что уравнения Лагранжа для механической системы и электрических систем и уравнений Лагранжа – Максвелла для электромеханических и мехатронных систем являются вариационными уравнениями Эйлера вариационного исчисления, созданного гением Леонарда Эйлера.

25.3. Первая электромеханическая аналогия

Рассмотрим и сравним две простейшие механические и электромагнитные системы. Они изображёны на Рис. 25.1 и Рис.25.2.

Здесь: , сила вязкого трения , - коэффициент вязкого трения. - уравнение движения массы m.

Error: Reference source not found

Рис. 25.1 Рис. 25.2

Запишем 2-й закон Кирхгофа для контура, представленного на Рис.25.2.

Тогда .

Окончательно получим: .

Налицо полная аналогия между механическим и электрическим уравнениями.

Таким образом, . И более того:

,	,	,
, (Вт) , (Вт)	, (Н, Нм) , (В)	, (м, рад) , (Кл)

Всё это позволяет рассчитывать механические, электрические и электромеханические системы на основе уравнений Лагранжа по одному и тому же алгоритму.

25.4. Использование уравнений лагранжа для расчёта чисто электрических систем

Рассмотрим систему двух связанных контуров, представленных на Рис.17.3. Составим уравнения движения (электрического) по Лагранжу.

S=2_эл

Рис 25.3

, ,

(Дж), (Вт)

Тогда

Перепишем эти уравнения в ПВД:

.

Анализ уравнений говорит о том, что в системе, - в первом и втором контурах, происходят связанные вынужденные затухающие колебания. Роль ЭДС выполняют в первом контуре - (внешнее напряжение и падение напряжения - ), во втором – .

25.5. Пример использования уравнений лагранжа –

– МАКСВЕЛЛА ДЛЯ РАСЧЁТА ЭлектромеханическОЙ

СИСТЕМЫ ТИПА ДАТЧИКА УСКОРЕНИЙ

Рассмотрим электромеханический датчик ускорений, расчётная схема которого представлена на Рис.25.4.

П=0

x

Рис 25.4

Здесь якорь массы m подпёрт пружинами общей жёсткости k и может перемещаться относительно магнитопровода. На якорь действует сила . На него намотана катушка L. Индуктивности катушки L= L(х) зависит от смещения якоря , отсчитываемого из положения, относительно которого пружины не напряжены. Электрическая подсистема состоит из катушки L, резистора постоянного сопротивления , постоянной Э.Д. С. - , и измерительного прибора ИП.

Данная электромеханическая система имеет две степени свободы: механическую и электрическую.

1) . За обобщенные координаты примем , .

2) Запишем уравнения Лагранжа – Максвелла для датчика в общем виде:

. Здесь L-функция Лагранжа (не путать с L(х)!)

3)

4) ,

5)

6)

5). Обобщенная сила является, действующей на якорь силой .

6). - это первое уравнение по х.

7).

Запишем полученные уравнения движения электромеханической системы в ПВД:

(*)

Заметим, что используя уравнения Лагранжа – Максвелла, мы достаточно просто получили конечную систему связанных ДУ второго порядка с вынуждающими силами в правой части, где в роли вынуждающих сил выступают как задаваемые силы, так и ЭДС, и еще что-то. Так что же это что то? Разберёмся с этим. Парциальные движения подсистем связаны динамикой: движение по x зависит от движения по q и наоборот. Анализ уравнений с точки зрения физики показывает, что в системе происходит процесс вынужденных колебаний как по x , так и по q.

Попробуем получить уравнения движения системы из физических соображений и понять смысл неизвестных компонент правых частей уравнений. Запишем уравнения - чистых парциальных движений по х и q. Что и как нужно добавить в правые части этих уравнений, чтобы получить правильную систему уравнений (*)? Без хорошего знания физики это сделать трудно!

Нарисуем эквивалентные расчетные схемы электрической и механической взаимодействующих подсистем.

Рис. 25.5

Составим уравнение электрического движения на основе 2-го закона Кирхгофа. Здесь:

, ,

Анализ выражения показывает, что здесь Э.Д.С. индукции состоит из дух компонент: из ЭДС самоиндукции, равной - и градиентной ЭДС= - , неизвестной нам ранее!

Таким образом, .

С электрической подсистемой более-менее всё ясно, что не скажешь про механическую подсистему. Составим уравнение её движения. Без хорошего знания физики, то есть понимания откуда берётся последняя компонента в и каков её физический смысл, составить механическое уравнение в рамках механики скорее всего Вам не удастся! А вот по алгоритму Лагранжа – Максвелла всё получается автоматически! Так что же это за сила? Это – градиентная сила, подобная градиентной Э.Д.С.! Откуда же она взялась? Она появилась при вычислении производной как та её часть, которая получилась при вычислении , как следствие наличия зависимости . Таким образом, .

Здесь есть ещё один важный аспект. Есть подобие и аналогия между . О чём это говорит? – Только о том, что разделение энергии чисто условно, и происходит только в наших головах. И и измеряются в джоулях, и каждая из них есть только часть полной энергии. То, что в физике высоких энергий давно стало очевидным, - Вам стало понятно только сейчас благодаря электромеханике.

Ясно, что без знания уравнений Лагранжа – Максвелла решение задачи заметно усложнилось бы. Что же мы получили в итоге? А получили нелинейную систему уравнений. Чтобы её далее решить хотя бы численно, приведем её к форме Коши. Запишем

.

Здесь .

Введём обозначения: . Тогда уравнения движения в форме Коши примут вид:

Далее её остаётся только проинтегрировать и получить ответ. Это Вы можете сделать на лабораторных работах по информатике.