![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
47. Матрицы. Операции над матрицами. Ранг матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица специального вида.
Обозначается большими латинскими буквами. Если в матрице m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры mxn. Элементы матриц обозначают соответствующие малые буквы с двумя нижними индексами: первый – номер строки, второй – столбца: a12=3, a23=6.
Если количество строк и количество столбцов в матрице одинаково, то такая матрица называется квадратной, а число строк – ее порядком. Например:
-
квадратная матрица двойного порядка.
Матрица, состоящая из одной строки (столбца) называется вектором-строкой, (вектором-столбцом). Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Главной (побочной) диагональю квадратной матрицы называется диагональ, проведенная из левого верхнего угла в правый нижний (из правого верхнего угла в левый нижний). Квадратная матрица называется единичной, если по ее главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы =0. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали =0. Квадратная матрица называется скалярной, если все элементы вне главной диагонали =0, а все элементы главной диагонали = между собой. Квадратная матрица называется верхнетриугольной (нижнетриугольной), если все элементы, находящиеся ниже (выше) главной диагонали =0. Матрица, которая является и верхнетриугольной и нижнетриугольной будет диагональной.
Операции над матрицами:
Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.
Умножение матрицы на число:
Умножать на число можно матрицу любого размера. При этом получая матрицу такого же размера. Все элементы исходящей матрицы умножаем на данное число.
Сложение матриц:
Складывать можно матрицы одинакового размера. В результате получается матрица такого же размера. Матрицы складываются покомпонентно:
Аmxn+Bmxn=Cmxn
Линейные операции:
Асоциативность: (А+В)+С=А+(В+С)
Свойство существования нейтрального элемента: А+
=В+ =А
Существование противоположного элемента: А+(-А)= .
Комутативность: А+В=В+А.
1*А=А. 7.
Дистрибутивность:
. 8.
Умножение матриц:
Умножать матрицу А на матрицу В можно только тогда, когда количество столбцов матрицы А = количеству строк матрицы В. Произведение матрицы А и В называется матрица С, такая, что для любого i, j, элементы матрицы Сij = произведению i-ой строки матрицы А на j-ый столбец матрицы В: АmxnBnxk=Cmxk.
Обратная матрица:
На множестве матриц нет операции деления. Частично эту операцию можно заменить на умножение на обратную матрицу. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А, если АхВ=ВхА=Е. В=А-1.
А=
А-1=
А*А-1=
Если
к матрице существует обратная, то она
единственная. Вычислить обратную матрицу
можно еще и с помощью формулы: А-1=
(с
помощью союзной).
Ранг матрицы:
Рангом
матрицы называется ранг ее системы
строк (или столбцов): А=
rang А=1.
Теорема: Для любой матрицы строчный ранг = ее столбцовому рангу.
Две системы строк называются эквивалентными, если каждая из строк первой системы есть линейная комбинация второй системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем строк равны. При эквивалентных преобразованиях над строками матрицы ее ранг не изменяется. Ранг матрицы равен количеству не нулевых строк после приведения ее к ступенчатому виду с помощью элементарного преобразования.
59. Гомоморфизм групп.
Множество g называется группой, если на этом множестве задана одна алгебраическая операция (сложения или умножения) и выполняются:
Замкнутость относительно введенной операции : для любых а и в є g: а*в є g.
Ассоциативность: для любых а, в, с є g: (а*в)*с=а*(в*с).
Существование единственного нейтрального элемента: существует e є g такое, что для любого а є g, а*е=е*а=а.
Существование обратного элемента: для любого а є g существует единственные элемент а-1 , такой, что а*а-1=а-1*а=е.
Пусть
H є G, тогда H будет называться подгруппой,
если оно само образует группу относительно
операций, введенных на группе G. Пусть
g1
и
g2
группы. Отображение
называется
гомоморфизмом, если для любого g1
, h
є g1:
,
где
* - операция из g1,
- операция из g2.
Гомоморфизм – это такое отображение,
которое сохраняет операцию.
Свойства гомоморфизма: Пусть , тогда:
, где l1 – нейтральный элемент группы g1, l2 –группы g2.
Для любого g є g1:
Ядром
(ker
)
гомоморфизма называется множество
.
Образом гомоморфизма называется
множество:
.
Ядро гомоморфизма является подгруппой
g1,
а образ – подгруппой группы g2.
Гомоморфизм является изоморфизмом
тогда и т. т., к. его ядро тривиально, а
образ совпадает с g2:
.
60. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.
Высказывание –это повествовательное предложение о котором можно сказать, что оно истинно или ложно (2*3=5 –ложное). Высказывания могут являться истинными или ложными.
Логические операции над высказываниями:
Отрицание
– высказывание А, высказывание не А которое истинно тогда
и только тогда, когда А – ложное.
Коньюнкция (
)– высказывание А и В, которое истинно тогда и только
тогда, когда А – истинно и В – истинно.
Дезьюнкция (АvВ (А или В)) – высказывание А и В которое ложно , если А
и В – ложны.
Импликация (А => B) – высказывание А и В, которое будет ложно т. и т. т.,
к. А –истино и В – ложно.
Эквиваленция (АB)– высказывание А и В, которое истино т. и т. т., к. А=В.
Теперь построим таблицу истинности для данных высказываний:
А |
В |
|
|
АvВ |
А => B |
АB |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Формула логики высказываний называется тавтологией, если она истина при
любых значениях, входящих в нее элементарных высказываний. Например:
А |
|
Аv |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Формула логики высказываний называется тождественно ложной (
![](/html/2706/1005/html_yRtTK1zrNr.MuIr/htmlconvd-H6iiIf_html_b2d09f761c804e57.gif)
![](/html/2706/1005/html_yRtTK1zrNr.MuIr/htmlconvd-H6iiIf_html_be0147ecbae4081d.gif)
Законы
Де – Моргана: 1)
;
2)
.
Теорема:
- тавтология.
Можно привести такие наиболее встречающиеся формулы логических высказываний:
5)
9) (А*В)*С=А*(В*С
6) 10) (АvВ)
С=АСvВС
7) 11)
8) А*В=В*А 12) АvАВ=А
13)
А=>В=
14)
АВ=(А=>B)(B=>A)
17) AB=
15)
AB=
)
18) A
16)
AB=AB
19)
43. Репер Френе кривой. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
Пусть
,
- кривая класса Сn,
n
.
Репером Френе этой кривой в т. М0=
,
называется правый ортонормированный
репер
,
- векторы базисных репера, базисные
вектора, которые определяют соответственно
касательную кривую, главную нормаль и
бинормаль в т. М0.
Формулы по касательным:
.
Допустимая замена параметра:
.
Бинормалью кривой в т. М0
называется прямая, перпендикулярная
соприкасанию плоскости в т. М0.
Нормалью кривой в т. М0
называется пересечение нормальной и
соприкасающей плоскости в т. М0.
Соприкасающей плоскостью кривой в т.
М0
называется положение секущей плоскости
при условии, что т. М1
и т. М2
стремится по кривой к т. М0,
т. е.
,
.
Формулы
Френе: Пусть
,
s
– длина дуги. Кривая класса
- произвольная точка,
.
Тогда формулы Френе кривой
имеют вид:
,
где
,
-
скалярные функции.
Кривизна
кривой: Пусть
,
,
называется вектором кривизны кривой,
а его модуль
- кривизной кривой, т. к.
,
т. е. можно сказать, что кривизна кривой
– это коэффициент к
в формулах Френе. Теорема: Кривизна
кривой в т. М0
равна угловой скорости вращения
касательной кривой в этой точке:
,
где
- приращение угла между касательными
на дуге
кривой. Если в т. М0
кривой
,
то число
называется радиусом кривизны кривой.
Для того, чтобы кривая была прямой или
ее частью нужно, чтобы в каждой точке
этой кривой кривизна =0. Точка кривой, в
которой к=0 называется точкой распределения.
Кривизна вычисляется по формуле:
или
.
Кручение:
Кручением кривой в данной точке М=r
называется коэфициент
.
В формулах Френе этой кривой, записанных
для значения параметра s0.
Теорема (критерий плоской кривой):кривая
является плоской т. и т. т., к. в каждой
точке кручение =0. Точка кривой, в которой
кручение =0 называется точкой уплощения.
Абсолютным кручением кривой
называется модуль вектора
:
.
.
Кручение показывает на отличие
пространственной кривой от плоской
кривой. Кручение можно вычислить по
формулам:
или
.