- •Введение Векторы и операции над ними.
- •Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).
- •Операции второго порядка.
- •Интегральные соотношения теории поля. Поток векторного поля.
- •1.4.2. Циркуляция вектора поля.
- •Формула Стокса.
- •Формула Остроградского – Гаусса.
- •1 Сновные понятия и определения
- •2. Элементы кинематики жидкости
- •3. Основные уравнения динамики несжимаемой жидкости
- •3.1. Силы в жидкости
- •3.2. Уравнение движения в напряжениях
- •3.3. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье—Стокса)
- •3.4. Уравнение энергии
- •4. Гидростатика
- •4.1. Основное уравнение гидростатики (уравнение Эйлера)
- •4.2. Равновесие жидкости в гравитационном поле
- •4.3. Сообщающиеся сосуды
- •4.4. Равновесие жидкости в центробежном поле
- •4.5. Сила давления на плоскую поверхность тела
- •4.6. Сила давления на цилиндрическую поверхность тела
- •4.7. Закон Архимеда
- •5. Динамика идеальной жидкости
- •5.1. Уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
- •5.2. Уравнение Бернулли для плоского установившегося течения
- •5.3. Плоские потенциальные течения
- •6. Общие закономерности динамики вязкой жидкости
- •6.1. Два режима течения
- •6.2. Уравнение турбулентного течения несжимаемой жидкости (уравнение Рейнольдса)
- •6.4. Решение задач гидродинамики методом теории подобия
- •6.5. Ламинарное безнапорное течение Куэтта
- •6.6. Равномерное ламинарное течение в плоском канале
- •6.7. Ламинарное течение в плоском клиновидном зазоре
- •6.8. Ламинарное течение в круглой трубе
- •6.9. Турбулентное безнапорное течение Куэтта
- •6.10. Сопротивление гидравлически гладких труб при турбулентном режиме течения жидкости
- •6.11. Сопротивление гидравлически шероховатых труб при турбулентном режиме течения жидкости
- •6.12. Ламинарное обтекание шара (задача Стокса) |
- •6.13. Уравнения пограничного слоя
- •6.14. Интегральное соотношение пограничного слоя
- •6.15. Ламинарный пограничный слой на полубесконечной пластине
- •6.16. Турбулентный пограничный слой на полубесконечной пластине
- •6.17. Струйное течение
- •7. Одномерные течения вязкой жидкости
- •7.1. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости
- •7.2. Уравнение Бернулли для сети с насосом
- •7.3. Гидравлические потери по длине
- •7.4. Гидравлические потери на местных сопротивлениях
- •7.5. Приборы для измерения скоростей и расходов
- •7.6. Истечение жидкости
- •7.7. Поле скоростей и давлений в циклонном устройстве
- •7.8. Вторичные токи в реальной жидкости
- •7.9. Гидравлический удар в трубах
- •7.10. Высота всасывания центробежного насоса
- •7.11. Высота всасывания поршневого насоса
- •7.12. Трубопровод с путевым расходом
Введение Векторы и операции над ними.
Полем какой-либо величины называется пространство, в каждой точке которого эта величина вполне определена. Если эта величина скаляр, т.е. характеризуется одним числом, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).
Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точке пространства величиной и направлением. К этому следует лишь добавить, что непременным условием, связанным с векторными величинами, является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма. Поэтому, например, поток автомашин, движущихся по улице и характеризующийся как величиной, так и направлением не является вектором.
Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат будем обозначать , , . Тогда вектор может быть представлен как
(1.2)
где , , – проекции (компоненты) вектора на соответствующие оси координат.
Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину
(1.3)
где a – угол между векторами.
Ясно, что скалярное произведение обращается в нуль, если векторы и взаимно перпендикулярны.
Векторное произведение двух векторов.
В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор. Векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка
(1.4)
Раскрывая определитель по общим правилам, получим:
(1.5)
Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля).
В теории поля рассматриваются три так называемые операции первого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные математические действия превратить
- скалярную величину в векторную;
- векторную величину в скалярную;
- векторную – в другую векторную;
Эти операции соответственно называются: градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.
Градиент какой-то скалярной функции есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий:
(1.6)
Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.
Дивергенцией вектора называется выражение вида
(1.7)
Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное поле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если , то поле называют соленоидальным. Для обозначения этих операций широко используется оператор Набла – .
Вихрь поля (ротор) – это вектор, образующийся при выполнении операции
(1.8)
Если , то поле называют безвихревым.
Каждая из трех операций имеет гидродинамическую интерпретацию, которая приводится в соответствующих разделах курса.
Операции второго порядка.
Операции , , , переводящие скаляр в вектор, вектор в скаляр и вектор в вектор порождают пять операций второго порядка:
- превращение скалярной величины в векторную
;
- превращение векторной величины в скалярную
;
;
- превращение одной векторной величины в другую
;
.
В теории поля показывается, что два из этих пяти соотношений тождественно равны нулю: и . Операция носит название оператора Лапласа для скалярного поля и имеет вид
(1.9)