13. Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня
Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).
Рис.1. Расчетная схема изогнутого и скрученного вала
Примем следующий порядок расчета.
1. Разлагаем все внешние силы на составляющие
P1x, P2x,..., Pnx и P1y, P2y,..., Pny.
2. Строим эпюры изгибающих моментов My и My. от этих групп сил.
У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть, следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и Myа целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом (рис. 2)
,
который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия относительно нейтральной оси п—п, перпендикулярной вектору Мизг. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Поскольку все направления у круга с точки зрения прочности равноценны, то обычно эпюру Мизг спрямляют, помещая все ординаты в одну (например, вертикальную) плоскость. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.
Рис.2. Формирование результирующего изгибающего момента
3. Строится эпюра крутящего момента Мz.
Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k/, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 3),
.
где Wизг — момент сопротивления при изгибе.
В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения
,
где Wр— момент сопротивления при кручении.
а) эпюры напряжений б) распределение напряжений Рис.3. Напряженное состояние вала:
Как следует из рис. 3, напряженное состояние является упрощенным плоским (сочетание одноосного растяжения и чистого сдвига). Если вал выполнен из пластичного материала, оценка его прочности должна быть произведена по одному из критериев текучести. Например, по критерию Треска—Сен-Венана имеем
.
Учитывая, что Wр=2 Wизг, для эквивалентных напряжений получаем
,
где —эквивалентный момент, с введением которого задача расчета вала на совместное действие изгиба и кручения, сводится к расчету на эквивалентный изгиб.
Аналогично для Мэкв по.критерию Губера—Мизеса получаем
Тогда условие прочности для вала из пластичного материала будет иметь вид
.
Для стержня из хрупкого материала условие прочности следует записать в виде
,
где Мэкв должен быть записан применительно к одному из критериев хрупкого разрушения. Например, по критерию Мора
где .
Обратим внимание на особенности расчета при сочетании изгиба, растяжения и кручения стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.) Для выявления опасной точки здесь должны быть сравнены напряжения косого изгиба с растяжением в точке А, с эквивалентными напряжениями в точках В и С.
Рис.4. Модель расчета напряжений при сочетании кручения, растяжения и изгиба.
Полученные соотношения приобретают крайнюю необходимость и востребованность при выполнении Вами курсового проекта по основам конструирования при расчете на прочность и жесткость валов передач.
14. 2.7. Основные механические характеристики материалов
Для количественной оценки основных свойств материалов, как
Рис. 2.9 |
Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называетсяпределом пропорциональности П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой = f () к оси определяется величинойЕ.
Упругие свойства материала сохраняются до напряжения У , называемого пределом упругости. Под пределом упругости У понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.
Величина Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии Т соответственно заменяется на ТР и ТС . При напряжениях больших Т в теле конструкции развиваются пластические деформации П , которые не исчезают при снятии нагрузки.
Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через, ВР (при сжатии ВС ).
В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м2) наиболее распространенных конструкционных материалов.
Таблица 2
Материал |
ТР |
ТС |
ВР |
ВС |
Е10-8 |
Сталь |
250000 |
250000 |
390000 |
|
2 |
Чугун |
140000 |
310000 |
150000 |
640000 |
0.7 |
Медь |
250000 |
250000 |
320000 |
|
1.1 |
Алюминий |
50000 |
50000 |
840000 |
|
0.75 |
н аче ведут себя при испытании на сжатие хрупкие материалы. Диаграмма сжатия этих материалов сохраняет качественные особенности диаграммы растяжения Предел прочности хрупкого материала при сжатии определяется так же, как и при растяжении. Разрушение образца происходит с образованием трещин по наклонным или продольным плоскостям (рис. 12).
15.
16. 6.2. Расчет заклепочных соединений
Неразъемные соединения деталей машин и строительных конструкций имеют две основные разновидности: заклепочные и сварные. Неразъемными эти соединения называют потому, что для их разборки необходимо разрушить соединительные элементы — заклепки, сварные швы. Сварные соединения имеют целый ряд существенных достоинств по сравнению с заклепочнымии почти полностью заменили их во многих отраслях промышленности. Вопросы расчета и конструирования заклепочных и сварных соединений подробно изучаются в курсах деталей машин и стальных конструкций. Здесь ограничимся рассмотрением основных вопросов расчета заклепочных соединений для случаев, когда соединяемые элементы работают на растяжение или сжатие.
На рис.6.11,а представлено соединение двух полос внахлестку, а на рис.6.11,б — встык с одной накладкой. В том и другом случае при разрушении заклепок срез каждой из них происходит по одному поперечному сечению (отмечено волнистой линией), поэтому эти соединения называют односрезными.
а |
|
б |
|
Рис.6.11. Односрезные соединения
На рис.6.12,а показано соединение встык с двумя накладками, а на рис.6.12,б — прикрепление к фасонному листу узла фермы стержня, состоящего из двух равнобоких прокатных уголков. В том и другом случае срез каждой заклепки при разрушении происходит по двум поперечным сечениям, и соединение называют двухсрезным.
а |
|
б |
|
Рис.6.12. Двухсрезные соединения
Расчет заклепочных соединений ведется на срез и смятие на основе допущений, указанных в предыдущем параграфе. Между склепываемыми элементами развиваются значительные силы трения, и работа заклепок на срез начинается лишь после того, как внешние силы станут больше сил трения и начнется сдвиг склепанных полос. При расчетах это обстоятельство не учитывают.
Склепываемые элементы (полосы, уголки и т. п.) рассчитывают на растяжение (сжатие) с учетом ослабления их поперечных сечений отверстиями для заклепок.
Расстояние е от центра первой заклепки до края полосы (рис.6.11,а) принимают обычно равным удвоенному диаметру заклепки. При таком расстоянии прочность края полосы на срез (выкалывание) обеспечена и специальный расчет не нужен.
Отверстия в склепываемых элементах имеют диаметр, на 0,5-1 мм больше, чем диаметр непоставленной заклепки. В расчетные формулы входит диаметр d отверстия, так как в выполненном соединении заклепка практически полностью заполняет отверстие.
Зависимости для проверочных расчетов имеют следующий вид:
а) на срез
|
(6.3) |
где i — общее число заклепок, передающих заданную нагрузку ; в конструкциях типа, представленного на рис.6.11,а и 6.12,б, — это общее число заклепок, а в соединениях встык (рис.6.11,б и 6.12,а) — это число заклепок по одну сторону стыка; к — число плоскостей среза одной заклепки: для конструкций по рис.6.11 — k = 1 и по рис.6.12 — k = 2;
б) на смятие
|
(6.4) |
При односрезных соединениях (рис.6.11) вместо надо подставлять в формулу значения меньшей из толщин склепываемых элементов, а при двухсрезных — меньшей из величин или (рис.6.12,а). Для соединения по рис.6.12,б под надо понимать толщину полки уголка.
При проектировочном расчете заклепочного соединения диаметром заклепок задаются, принимая его примерно равным . При различной толщине склепываемых элементов под понимают меньшую из них. Затем определяют допускаемое усилие на одну заклепку:
а) из условия прочности на срез
|
(6.5) |
б) из условия прочности на смятие
|
(6.6) |
По меньшему из допускаемых усилий определяют требуемое число заклепок:
|
(6.7) |
Для заклепочных соединений стальных конструкций промышленных и гражданских сооружений, а также подъемных кранов допускаемые напряжения на срез и смятие принимают по следующим данным (табл.6.1).
Таблица 6.1