![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Лабораторная работа № 2
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.1. Общие сведения
Как известно, если функция
непрерывна на отрезке
и известна ее первообразная
,
то для вычисления определенного
интеграла используется формула
Ньютона-Лейбница
.
Однако во многих задачах первообразную
найти невозможно (так называемые,
неберущиеся интегралы) или
процедура ее нахождения является
слишком сложной. В
частности, теория дает алгоритм
нахождения первообразной, если
подынтегральная функция
есть рациональная дробь. Но в случае,
когда многочлен в знаменателе этой
рациональной дроби имеет большую
степень, данный алгоритм крайне сложно
реализовать.
Вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция часто задается таблично (как результат измерений в процессе опытов), и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому, важное значение имеют приближенные (численные) методы вычисления определенного интеграла.
Обычный прием численного
интегрирования состоит в том, что данную
подынтегральную функцию
заменяют аппроксимирующей
(приближающей) функцией
простого вида, а затем
приближенно полагают
,
(2.1)
причем функция должна быть такова, чтобы интеграл справа в (2.1) можно было вычислить непосредственно.
2.2 Формула прямоугольников
Самая простая формула
численного интегрирования - формула
прямоугольников. В
этом случае аппроксимирующая функция
выбирается кусочно-постоянной:
отрезок интегрирования разбивается на
отрезков одинаковой длины точками
(узлами)
,
где
,
(узлы
являются равноотстоящими,
а число
называется шагом
вычислений), и на
каждом полуинтервале
(либо
)
значение приближающей функции
полагают постоянным
,
где
- фиксированная точка из отрезка
.
Тогда
,
и мы получаем
.
Заметим, что, так как приближающая функция зависит от количества отрезков разбиения , то и приближенное значение интеграла также будет зависеть от . Таким образом, можно записать формулу прямоугольников в следующей форме:
.
(2.2)
Если подынтегральная функция
непрерывна на отрезке интегрирования
(
),
то числа
(при любом выборе местоположения точек
)
образуют приближающую
последовательность для
точного значения интеграла, т.е.
.
(2.3)
О
бычно
точки
выбирают по определенному
правилу. Например, в
качестве
можно брать левые концы отрезков
(в этом случае получаем формулу
левых прямоугольников)
или правые концы этих отрезков (формула
правых прямоугольников)
или середины отрезков
(формула средних
прямоугольников). В
частности, формулу левых прямоугольников
можно записать так:
.
Ее геометрическая
интерпретация приведена на рис.2.1-2.3.
Площадь криволинейной трапеции,
образованной графиком функции
,
осью Ох и прямыми
и
,
заменяется на площадь заштрихованных
прямоугольников. Из рисунков видно, что
для возрастающей функции при любом n
значения
всегда меньше искомого
интеграла, для убывающей – больше.
Упражнение 1. Обоснуйте равенство 2.3.
Упражнение 2. Запишите формулы правых и средних прямоугольников и дайте их геометрическую интерпретацию.