- •Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •1. Функції комплексної змінної.
- •1.1. Основні поняття
- •1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •1.3.1. Показникова функція
- •1.1.3.2. Логарифмічна функція
- •1.3.5. Тригонометричні функції
- •1.3.6. Гіперболічні функції
- •1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •3. Ряди в комплексній площині
- •3.1. Числові ряди
- •3.2. Степеневі ряди
- •3.3. Ряд Тейлора
- •3.4. Нулі аналітичної функції
- •3.5. Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •3.6. Класифікація особливих точок.
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •4. Лишок функції
- •4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
- •4.3.Теорема Коші про лишки
- •Доведення
Елементи теорії функцій комплексної змінної
1. Функції комплексної змінної.
1.1. Основні поняття
Нехай дані дві множини D і E, елементами яких є комплексні числа. Числа множини D будемо зображати точками комплексної площини z, а числа множини E – точками комплексної площини w.
Я кщо кожному числу (точці) за деяким правилом поставлено у відповідність певне число (точка) , то кажуть, що на множині визначена однозначна функція комплексної змінної , що відображає множину D у множину E (див. рис. 1).
Якщо кожному відповідає декілька значень , то функція
називається багатозначна.
Рис.1
Множина D називається областю визначення функції ; множина E1 всіх значень w, що f(z) приймає на E, називається областю значень цієї функції (якщо ж кожна точка множини E є значенням функції, то E – область значень функції; у цьому випадку функція f відображає D на E).
Далі, як правило, будемо розглядати такі функції , для яких множини D і E1 є областями. Областю комплексної площини називається множини точок площини, що мають властивості відкритості і зв’язності.
Функцію можна записати у вигляді: , тобто , де , , .
Функцію , при цьому, називають дійсною частиною функції , а – уявною.
Таким чином, задання функції комплексної змінної рівносильне заданню двох функцій двох дійсних змінних.
Приклад 1. Знайти дійсну і уявну частини функції .
○ Функцію можна записати у вигляді , тобто .
Звідси випливає: , . ●
1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
Нехай однозначна функція визначена в деякому околі точки z0, крім, можливо, самої точки z0. Під -околом точки z0 комплексної площини розуміють внутрішність круга радіуса з центром у точці z0.
Число w0 називається границею функції в точці z0 (чи при ), якщо для будь-якого додатного знайдеться таке додатне число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність .
Записують: . Це означення коротше можна записати так:
.
З означення випливає, що якщо границя w0 існує, то існують і границі і .
Справедливе обернене твердження.
Теореми про арифметичні властивості границь для функції однієї (чи декількох) дійсних змінних залишаються справедливими і для функції комплексної змінної. Так, якщо функції і мають границі в точці , то:
1. , де , - постійні;
2. ;
3. , якщо .
Нехай функція визначена в точці і у деякому її околі. Функція називається неперервною в точці , якщо .
Означення неперервності можна сформулювати так: функція неперервна в точці , якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції: .
Функція неперервна в області , якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Модуль неперервної функції комплексної змінної має ті ж властивості, що і неперервна функція дійсної змінної.