3. Расчёт и исследование двухконтурной статической сар с последовательной коррекцией

1. Расчёт регулятора внешнего контура сар. Составление структурной схемы двухконтурной сар

Внешней замкнутый контур САР может быть представлен следующей структурной схемой (рис. 10)

Рис. 10 Структурная схема внешнего контура регулирования САР

Передаточная функция регулятора внешнего контура выглядит следующим образом

(16)

где передаточная функция той части объекта регулирования, которая компенсируется регулятором контура

коэффициенты обратных связей контуров (при единичной обратной связи)

Теперь подставляя параметры соответствующие варианту получаем следующий вид функции

Следовательно регулятор имеет пропорциональную характеристику (т.е. передаточная функция имеет вид пропорционального звена).

На двухконтурную САР оказывают влияние следующие виды внешних воздействий:

1. Задающее воздействие ;

2. Возмущающее воздействие .

Поэтому при исследовании двухконтурной САР необходимо определить её реакцию на эти воздействия:

а) реакция САР на управляющее воздействие:

1. для выходной координаты внутреннего контура;

2. выходная координата внешнего контура.

б) реакция САР на управляющее воздействие:

1. 

2. 

Для определения динамических и статических показателей двухконтурной САР необходимо для каждого случая получить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР. Показатели качества САР могут быть найдены частотными методами по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых и замкнутых САР, а также более точно – по кривым переходных процессов, полученных по методу структурного моделирования на ЭВМ.

2. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой сар по управляющему и возмущающему воздействиям для выходной координаты внешнего и внутреннего контуров

Для начала рассмотрим передаточные функции внешнего замкнутого контура регулирования по управляющему воздействию для выходных координат внутреннего и внешнего контуров регулирования.

4. Для выходной координаты

Передаточная функция внешнего разомкнутого и замкнутого контуров для координаты :

(17)

Где передаточная функция внутреннего контура (14), т.е. этот контур является колебательным звеном;

(18)

Выражения (14) и (15) показывают, что внешний замкнутый контуру по отношению к выходной координате имеет оптимальные передаточные функции системы третьего порядка (по управляющему воздействию).

Переходная функция системы, полученной на основании обратного преобразования Лапласа, будет определена выражением:

(19)

или в относительных координатах

где относительное время переходного процесса

В данном случае

Характеристическое уравнение

(20)

Корни характеристического уравнения

(21)

Рис. 11 Кривая переходного процесса в оптимальной системе третьего порядка

Данные, по которым построен выше продемонстрированный график, представлены в таблице 2

Таблица № 5

0,02	0,05	0,08	0,09	0,1	0,12	0,152	0,196	0,24	0,25	0,29
0,098	0,64	1,03	1,07	1,0814	1,05	0,99	0,993	1,0023	1,0022	1,000007

Переходная функция характеризуется следующими показателями

1. Перерегулирование

2. Время первого достижения установившегося значения .

3. Время первого достижения максимального значения .

4. Время переходного процесса (вхождения в 2-х процентную зону)

Графическое изображение переходной функции системы третьего порядка представлено на рис. 11. Можно сказать, что для систем четвёртого и более порядков величины перерегулирование практически изменяется незначительно и составляет величину, равную (рис. 11). Однако время регулирования при повышении порядка на единицу возрастает приблизительно в 2 раза, соответственно быстродействие уменьшается в 2 раза

Управление переходной функции, полученным на основании обратного преобразования Лапласа: для этой оптимальной системы запишется:

(22)

Кривая переходного процесса, построенная по выражения (19) имеет вид как на рис. 12. В рассмотренном случае внутренний замкнутый контур представлен колебательным звеном с передаточной функцией (20)

(23)

Однако, учитывая, что является малой некомпенсируемой постоянной времени и , первым слагаемым в знаменателе можно пренебречь, т.к. .

В этой связи передаточная функция внутреннего замкнутого контура может быть представлена передаточной функцией апериодического звена первого порядка, следовательно, получаем следующее выражение

(24)

Где наименьшая некомпенсируемая постоянная времени внешнего контура.

Такая аппроксимация позволяет представить передаточную функцию внешнего замкнутого контура в виде

(25)

Т.е. внешний замкнутый контур при в этом случае представляется колебательным звеном (второго порядка).

Переходная функция внешнего контура в этом случае рассчитывается по тому же выражению (194), что и для внутреннего контура представлена на рис. 12

Следовательно, при аппроксимации (упрощении) порядок системы снижается. При этом снижается перерегулирование .

4. Для выходной координаты

Передаточная функция по управляющему воздействию для выходной координате внутреннего контура.

Передаточная функция имеет следующий вид

или

(26)

Аппроксимируя выражение

Получим

(27)

Переходные характеристики могут быть найдены следующим образом. Из выражения следует, что

В то же время

Отсюда можно записать

Следовательно, выходная координата является производной от

(28)

Для упрощения САР при аппроксимации внутреннего контура имеем:

где

Таким образом

(29)

Кривые переходных процессов при управляющем воздействии для и представлены на рис. 12

Рис. 12 Переходные процессы передаточных функций САР по управляющему воздействию для выходных координат и (аналитический метод)

где и соответственно выходные функции внешнего контура САР

где и соответственно выходные функции внешнего контура САР после аппроксимации

Тоже самое можно получить при использовании приложения MATLAB Simulink

Теперь построим те же кривые, но в среде MATLAB Simulink

Для этого необходимо в данном приложении построить соответствующую схему

Рис. 13 Схема для исследования кривых переходных процессов по управляющему воздействию для выходных координат и в среде MATLAB Simulink

Полученный результат можно увидеть на рис. 14

Рис. 14 Переходные процессы передаточных функций САР по управляющему воздействию для выходных координат и (MATLAB Simulink)

По кривым переходных процессов (по табличным данным), рассчитанным аналитическим и на ЭВМ, могут быть определены основные показатели качества регулирования статических САР: и др. Для этого могут быть использованы такие логарифмические частотные характеристики, построенные для статической САР.

Теперь необходимо рассмотреть реакцию статической двухконтурной системы на возмущающее воздействие.

4. Для выходной координаты

Передаточная функция разомкнутой системы:

(30)

Соответственно для замкнутой системы

(31)

Следовательно, при возмущающем воздействии реакция системы в отношении координаты будет такой же, как при управляющем воздействии в отношении координаты . Аналогично при аппроксимации внутреннего замкнутого контура передаточная функция разомкнутого и замкнутого контуров будет:

(32)

(33)

Таким образом, переходная функция при возмущающем воздействии может быть построена по следующим выражениям:

(34)

(35)

Перечисленные кривые показаны на ниже приведенном рисунке 15

Рис. 15 Кривые переходных процессов САР по возмущающему воздействию

То же самое можно получить, воспользовавшись пакетом MATLAB Simulink, предварительно собрав схему на рис. 16.

Рис. 16 Кривые переходных процессов по управляющему и возмущающему воздействиям, построенные в среде MATLAB Simulink

Чтобы получить переходную функцию при возмущающем воздействии необходимо задать время установки

Получаем переходные функции представленные на рис. 16

4. Для выходной координаты

Передаточная функция разомкнутой системы:

(36)

В случае аппроксимации внутреннего замкнутого контура () порядок уравнений снижается на один, поэтому

(37)

Отсюда

(38)

Поэтому для переходной функции выходной координаты при возмущающем воздействии можно записать

Где

оптимальная переходная функция системы второго порядка

Следовательно, для переходных функций можно записать следующие выражения

(39)

Учитывая, что при единичном возмущающем воздействии на входе системы имеется задающее возмущающее воздействие (возмущение) . Результирующая переходная функция для выходной координаты упрощенной аппроксимированной системы при возмущающем воздействии будет определяться следующим выражением:

(40)

Аналогично путём подобных преобразований можно получить функцию и для полной неаппроксимированной системы:

(41)

На рис. 15 представлены кривые переходных процессов статической САР по управляющему и возмущающему воздействиям для выходных координат и внутреннего и и внешнего контуров регулирования.