21
треугольником АВС определится отрезком ДIVFIV, который является перпендикуляром, проведенным из ДIV до пересечения с АIVВIVСIV.
|
|
|
|
|
ВIV |
π2 |
|
f II |
oπ |
||
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π4 |
|
|
|
FIV |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
AIV = 1IV |
|||
ДIV |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
В
Х12
Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СIV |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
I |
|
|
|
х14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
π1 |
|
|
|
|
|
|
h |
oπ4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14
Решение задачи:
1 По заданным координатам точек А, В, С и Д строятся проекции треугольника АВС и точки Д (рис. 15).
2 Произведем замену плоскости π2 плоскостью π4 и перейдем к системе π1,π4, при этом π4 должна быть перпендикулярна плоскости треугольника АВС. Из условия перпендикулярности плоскостей необходимо, чтобы одна из прямых, лежащих в плоскости треугольника АВС, была перпендикулярна π4. В качестве такой прямой принимаем горизонталь А1 треугольника АВС (проведем АII1II параллельно оси Х12, 1II лежит на ВIIСII, а 1I находится в месте пересечения вертикальной линии связи (1I1II) и ВIСI). Из условия проецирования прямого угла, на чертеже ось Х14 располагается перпендикулярно АI1I на произвольном расстоянии от 1I.
3 Построим проекции треугольника АВС и точки Д на π4. Для этого через горизонтальные проекции точек (АI, ВI, СI и ДI) проведем линии связи
22
перпендикулярные оси Х14, на которых определим проекции этих точек на π4 (АIV, ВIV, СIV и ДIV), исходя из того, что расстояние от заменяемой проекции точки (АII, ВII, СII и ДII) до заменяемой оси (Х12) равно расстоянию от новой оси (Х14) до новой проекции точки (АIV, ВIV, СIV и ДIV). Отсюда, положение ДIV определится равенством ДIIДX14 = ДX24ДIV. А построение АIVВIVСIV выполним следующим образом: определим АIV и СIV, зная, что AIIAX14 = AX24АIV и CIICX14 = CX24CIV; ВIV находится в месте пересечения линии связи (BIBIV) и проекции АС
на π4 (АIVСIV).
4 Определим расстояние от точки Д до треугольника АВС, измерив отрезок ДIVFIV (ДIVFIV располагается перпендикулярно АIVВIVСIV , а FIV лежит в месте пересечения ДIVFIV и АIVВIVСIV).
ВII
|
|
|
|
АII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
AХ14 |
|
ДХ14 |
|
ВХ14 |
|
|
|
|
|
СХ14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Х12 |
|
|
|
|
|
1Х14 |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
π1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
АI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СХ24 |
СIV |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AХ24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AIV = 1IV |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДI |
|
|
|
BII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВХ24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
IV |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДХ24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДIV |
|
|
|
|
|
|
ВIV |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х14
Рис. 15
23
Задача 2. Определение натуральной величины прямой способом вращения вокруг оси
При вращении (рис. 16, 17) вокруг некоторой неподвижной прямой (ось вращения – 12) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости (плоскость вращения – π4), перпендикулярной к оси вращения. Точка перемещается по окружности, центр вращения которой (точка 1) находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения, а радиус вращения окружности (отрезок А1) равняется расстоянию от вращаемой точки до центра вращения. Если какая-либо точка данной системы (точка 2) находится на оси вращения, то при вращении системы эта точка считается неподвижной.
Ось вращения может быть задана или выбрана; в последнем случае целесообразно расположить ось перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.
На рис. 16 точка А вращается вокруг оси 12 перпендикулярной к π2,
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
II |
≡ 2 |
II |
|
|
|
II |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
AII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
O |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А
2I
hIoπ4
I |
1 |
I |
I |
A |
|
A |
π1
Рис. 16
24
при этом фронтальная проекция точки (АII) перемещается по окружности радиусом равным отрезку АII1II, а горизонтальная проекция точки (АI) перемещается по горизонтальному следу плоскости π4 (hIoπ4), который располагается перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (1I2I).
На рис. 17 точка А вращается вокруг оси 12 перпендикулярной к π1, при этом горизонтальная проекция точки (АI) перемещается по окружности радиусом равным отрезку АI1I, а фронтальная проекция точки (АII) перемещается по фронтальному следу плоскости π4 (fIIoπ4), который располагается перпендикулярно горизонтальной проекции оси вращения (1II2II).
π2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f II |
|
|
|
|
||
|
|
II |
|
|
1 |
II |
|
|
|
|
II |
|
oπ |
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
||||
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 2
π4
1I ≡ 2I |
AI |
|
AI
π1
Рис. 17
A – этоновое (требуемое, в том или ином случае) положение точки А, в которое переводится точка А при вращении вокруг оси 12.
25
Решение задачи:
1 По заданным координатам точек А и В строятся проекции прямой АВ
(рис. 18).
2 Выберем положение оси вращения, так чтобы она располагалась перпендикулярной к π2 и проходила через точку В.
Выполним построение проекций оси вращения (В1): через ВI проведем горизонтальную проекцию оси вращения перпендикулярно оси Х (ВI1I), на которой в произвольном месте выбираем положение точки 1I (для обозначения проекции оси вращения на чертеже).
AII
|
|
ВII ≡ 1II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
II |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ВI |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1I |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
hIoπ4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
АI |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 Определим новое положение прямой (А ),Ввращая её вокруг оси В1, при котором она будет располагаться параллельно плоскости π1, тогда на π1 прямая проецируется в натуральную величину, то есть АВ = АIВI.
Так как точка В лежит на оси вращения, то её проекции не изменяют своего положения. Следовательно, задача сводится к вращению точки А вокруг оси В1. При этом АII перемещается по окружности радиусом равным АIIВII, а АI перемещается по прямой (hIoπ4), проходящей через АI перпендикулярно ВI1I.
Определим новое положение АII таким образом, чтобы АIIВII располагалась параллельно оси Х. Через АII проведем вертикальную линию связи до пересечения с hIoπ4, в месте пересечения находится АI. Далее строим новую горизонтальную проекцию прямой (АIВI).
26
Таблица исходных данных к выполнению всех задач
№ варианта |
|
|
|
|
|
|
|
Координаты точек, мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
|
D |
|
М |
|
|
N |
|
|
|
Xα |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
Y |
Z |
Х |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
Z |
X |
Y |
|
Z |
X |
Y |
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
125 |
30 |
30 |
95 |
70 |
60 |
60 |
10 |
5 |
65 |
60 |
45 |
20 |
15 |
0 |
35 |
0 |
|
40 |
10 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
120 20 40 |
90 60 80 |
65 |
5 |
15 |
60 50 30 |
30 35 |
0 |
30 |
0 |
30 |
5 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
130 45 40 |
90 15 55 |
55 70 |
5 |
80 40 20 |
10 10 |
0 |
15 |
0 |
15 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
135 50 40 |
95 10 60 |
70 65 10 |
70 15 15 |
20 20 |
0 |
25 |
0 |
20 |
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
110 35 35 |
80 75 10 |
50 10 65 |
90 20 15 |
15 20 |
0 |
10 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
120 40 25 |
85 60 |
5 |
55 |
5 |
70 |
65 25 20 |
20 25 |
0 |
10 |
0 |
5 |
5 |
0 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
125 35 40 |
95 75 65 |
55 10 10 |
80 45 25 |
20 25 |
0 |
15 |
0 |
10 |
5 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
135 35 30 |
90 20 60 |
65 75 10 |
75 45 25 |
25 20 |
0 |
20 |
0 |
25 |
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
125 40 40 |
85 20 10 |
50 70 65 |
80 35 10 |
15 20 |
0 |
35 |
0 |
40 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10 |
130 45 35 |
90 15 |
5 |
60 65 55 |
75 20 20 |
15 15 |
0 |
20 |
0 |
15 |
5 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 |
115 40 35 |
85 75 15 |
55 15 70 |
85 25 15 |
10 15 |
0 |
10 |
0 |
15 |
5 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12 |
120 30 35 |
80 15 15 |
55 65 60 |
75 40 15 |
10 10 |
0 |
20 |
0 |
10 |
5 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13 |
125 35 30 |
90 75 65 |
65 15 |
5 |
85 45 25 |
30 35 |
0 |
15 |
0 |
15 |
0 |
0 |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14 |
120 20 45 |
85 60 75 |
55 10 10 |
75 20 15 |
10 10 |
0 |
25 |
0 |
20 |
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15 |
135 40 45 |
85 10 60 |
60 75 10 |
75 35 15 |
10 10 |
0 |
10 |
0 |
10 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16 |
130 45 35 |
90 15 65 |
65 70 15 |
65 20 15 |
25 25 |
0 |
20 |
0 |
15 |
5 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17 |
135 40 40 |
75 70 10 |
55 |
5 |
70 |
85 20 15 |
15 20 |
0 |
10 |
0 |
15 |
5 |
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18 |
130 45 35 |
80 65 10 |
65 10 65 |
70 30 25 |
70 30 |
25 |
25 |
20 |
0 |
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
19 |
120 40 50 |
90 25 10 |
55 75 65 |
80 35 10 |
15 20 |
0 |
35 |
0 |
40 |
0 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20 |
135 40 45 |
90 20 10 |
65 70 65 |
70 15 25 |
20 20 |
0 |
15 |
0 |
15 |
10 |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Основная литература
1Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] : учеб. для вузов /
В.О. Гордон. – М.: Высш. шк., 2000. – 272 с.
2Бубенников, А. В. Начертательная геометрия – задачи для упражнений [Текст] : монография / А. В. Бубенников. – М.: Высш. шк., 1981. – 132 с.
Дополнительная литература
1Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] : учеб. пособие/ В.О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский. – М.: Наука, 1988. – 272 с.
2Арустамов, Х. А. Сборник задач по начертательной геометрии [Текст] : монография / Х. А. Арустамов. – М.: Машгиз, 1965. – 143 с.