Радиоактивность
Формулу (35.2) запишем в виде:
dNdt N
Число распадов в единицу времени
A |
|
dN |
|
N |
(35.6) |
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
называется (радио)активностью препарата (образца)
Измерив активность образца, можно определить по- стоянную распада (метод абсолютного счета испус-
каемых частиц): |
|
A |
где |
|
mNA |
(35.7) |
|
|
N |
||||
|
N |
|
||||
|
|
|
||||
m - масса образца, μ - молярная масса, NA - число
Авогадро
Единицы измерения активности
Беккерель (Бк, Bq): 1 распад в секунду,
1 Бк = 10-6 Рд = 2.703·10-11 кюри.
Резерфорд (Рд, Rd): 1 миллион распадов в секунду, 1 Рд = 106Бк = 1/37000 кюри.
Кюри (Ки, Ci): 3.7·1010 распадов в секунду
(активность 1 грамма радия-226).
Последовательный радиоактивный распад
Рассмотрим более сложный случай, когда ядра, воз- никающие в результате радиоактивного распада,
сами являются радиоактивными. Такой процесс
последовательного распада описывается двумя
уравнениями: |
dN1 |
N |
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
dt |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dN2 |
|
|
|
|
|
(35.8) |
|
N |
2 |
N |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
dt |
2 |
1 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
где N1(t) - количество ядер 1-го (исходного) элемен- та, N2(t) - количество ядер 2-го элемента (продук- та), λ1, λ2 - соответствующие постоянные распада.
Во втором уравнении учитывается как распад ядер (первое слагаемое), так и их прирост (второе сла-
гаемое) за счет распада исходных ядер.
Первое уравнение полностью аналогично уравнению
(35.2), поэтому имеет аналогичное решение:
N1 (t) N10e 1t |
(35.9) |
где N10 - первоначальное количество исходных ядер.
Второе уравнение можно решить методом вариации
постоянной. Запишем его в виде |
|
|
|
|
|||||
dN2 |
N |
2 |
N (t) N |
e 1t |
(35.10) |
||||
dt |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и найдем сначала общее решение однородного |
|||||||||
уравнения: |
|
N2 (t) Ce 2t |
|
|
|
|
|||
Считая теперь величину С функцией t, подставим в
уравнение (35.10): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dC |
e |
t |
|
N |
|
|
N |
|
N e |
t |
|
dC |
N e |
( |
)t |
||
|
2 |
2 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
||||||||||
dt |
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
10 |
|
|
dt |
1 |
10 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интегрируя, находим: |
|
|
1N10 |
|
e 2 1 t C2 |
|
|||||||
|
|
C(t) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
N |
|
N2 C2 |
1 10 |
|
e 2 |
1 |
|
e 2t |
C2e 2t |
1 10 |
e 1t |
||||
|
|
|
2 1 |
||||||||||
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из начального условия |
|
|
N2 (0) N20 |
|
|
||||||||
находим |
|
C2 N20 |
|
1N10 |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, найдено решение 2-го уравнения (35.8) в окон-
чательном виде: |
1N10 |
e 1t e 2t (35.11) |
|
N2 N20e 2t |
|||
2 1 |
|||
|
|
Положим N20 = 0 и разделим (35.11) на (35.9):
N2 |
|
1 |
|
1 e 1 2 t |
N1 |
2 |
|
||
|
1 |
|||
Если λ1 << λ2, т.е. если вторичные ядра распадаются гораздо быстрее, чем исходные, то при t по-
лучаем очень простое соотношение
N2 |
|
1 |
или |
N |
N |
(35.12) |
|
|
|||||
N1 |
|
2 |
1 1 |
2 2 |
||
|
|
|
|
|
которое называется уравнением векового (или секу- лярного) равновесия. С помощью этого соотноше- ния можно определить периоды полураспада дол- гоживущих радиоактивных веществ.
Рассмотрим, например, распад 226Ra88 → 222Rn86. Пе- риод полураспада радона-222 равен 3.82 суток, его можно измерить непосредственно с высокой точностью. Так же с большой точностью взвешива- нием можно измерить количество ядер радия и ра- дона, после чего по формуле (35.12) можно вычис- лить период полураспада радия-226: 1620 лет.
В свою очередь, радий является продуктом распада урана-238: 238U92 → 226Ra88. Измеряя соотношение между числом ядер урана и радия в урановой ру- 
де, можно вычислить период полураспада урана
по известному уже периоду полураспада радия: 4.51·109 лет. 
Эти результаты совпадают с результатами, получен-
ными методом абсолютного счета испускаемых частиц. 