33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014

полнении условия резонанса xL xC амплитудные значения становятся одина-
ковыми. Отсюда и название «резонанс
напряжений».	+j
Векторная диаграмма, изображенная			I
			a
		Ur0=U
на рис. 3.11, б, в режиме резонанса напря-
жений превращается в диаграмму, приве-	b=c
денную на рис. 3.34.	UL0		+1
На этой диаграмме напряжения UL0		UC0
и UC0 равны друг другу, поэтому падение
напряжения на сопротивлении r равно		d
приложенному напряжению U. Последнее	Рис. 3.34. Векторная диаграмма
по фазе совпадает с током I, и цепь отно-	резонанса напряжений
сительно входных зажимов воспринимает-
ся как чисто активная. Такой эффект является следствием взаимной компенса-
ции напряжений UL0 и UC0 , но не их исчезновения. Как и в любом другом ре-
жиме, процессы в индуктивности связаны с магнитным полем, а в емкости – с
электрическим. В индуктивности периодические изменения энергии магнитно-
го поля определяются формулой (1.10):

W

1

Li2 .

(3.141)

м	2

В емкости энергия изменяется согласно выражению (1.14):

W	1	Cu2 .	(3.142)
э	2	C

В произвольном режиме энергии Wм и Wэ в любой момент отличаются по величине, т. е. не компенсируются. Преобладание той или иной из них определяет режим схемы в том смысле, что относительно входных зажимов цепь может восприниматься как активно-индуктивная или как активно-емкостная. Векторная диаграмма на рис. 3.11, б отражает случай активно-индуктивной реакции цепи, поскольку на ней UL > UC и входное напряжение U опережает входной ток I. При резонансе (см. рис. 3.34) напряжения UL и UC одинаковы. Соответственно одинаковы и периодические составляющие энергий Wм и Wэ, которые взаимно компенсируются. В итоге на входных зажимах цепь воспринима-

130

ется как активная, хотя каждый из элементов L и C сохраняет свои энергетические параметры, как и падения напряжений UL и UC.

Реактивные сопротивления при резонансе имеют следующие значения:

2

1

L

L

L

L

;

0

LC

LC

C

(3.143)

1

LC

LC

L

.

C

C

2

C

0C

	Величина	L	обозначается буквой ρ и называется характеристическим
		C
	или волновым сопротивлением контура,
					L		.		(3.144)
					C
	Отношение
			Q						(3.145)
				r

есть величина, которая называется добротностью контура. Эта величина характеризует соотношение между реактивными и активным сопротивлениями в резонансном режиме. В такой же мере добротность характеризует и соотношение между напряжениями:

UL0

Ur 0

UC 0

Ur 0

	0LI0					Q;
	rI0			r			(3.146)
	I0
							Q.
	CrI	0			r
	0

Понятие добротности широко используется в теории фильтров как один из основных параметров оценки их качества.

На рис. 3.35 изображены две векторные диаграммы для резонансного режима.

Диаграмма, приведенная на рис. 3.35, а, соответствует значению добротности Q < 1. Диаграмма на рис. 3.35, б характеризуется значением Q > 1. В первом случае реактивные напряжения UL0 и UC0 меньше входного напряжения, во втором – больше. Следовательно, добротность Q является число-

131

вой оценкой кратности напряжений. Например, если имеем значение Q = 2, то это означает, что

		UL0		UC0	2	(3.147)
		U		U

и падения напряжений на индуктивности и емкости в два раза превышают приложенное напряжение.

		Q < 1			Q > 1
+j		.	.	+j		.
	.	UC0				I0
			I0
	UL0			.	.
				UL0	UC0
	. .				. .
	Ur0 = U
					Ur0 = U
		а	+1		б	+1

Рис. 3.35. Резонанс напряжений при различных значениях добротности Q:

а – Q < 1; б – Q > 1

При исследовании резонансных свойств электрических цепей широко используются частотные характеристики, т. е. зависимости токов, напряжений и других физических величин от угловой частоты ω. При этом распространено построение графиков в относительных координатах. При построении зависимости, например, тока от частоты в качестве независимой переменной вместо ω берется относительная частота ' , равная 0 , а вместо тока I – отношение I I0 , где 0 и I0 – соответственно резонансные значения частоты и тока. При таком подходе легче сравнивать характеристики, имеющие место при различ-

ных параметрах резонансного контура.
			На		рис. 3.36 в относительных координатах воспроизведены кривые
	I						для двух значений добротностей – Q1	и Q2.
			f
	I0			0

Рассматриваемый последовательный резонансный контур характеризуется свойствами полосового фильтра. В определенной полосе частот его входное сопротивление мало и он обусловливает значения тока, приближающиеся к максимальному значению I Ur . Такая полоса частот называется полосой пропускания, или полосой прозрачности фильтра.

132

Ширина полосы пропускания определяется точками пересечения резо-

нансных кривых с прямой, соответствующей значению тока I		0,707I			I	0		.
	п		0
				2

При данном значении тока мощность, теряемая в сопротивлении r, равна половине потерь мощности при резонансе: Iп2r 0,5I02r .

I/I0

1

0,707

Q2 Q1>Q2

Q1

		'1 '2 '3	'4	/ 0
		1
	Рис. 3.36. Характеристики резонанса в относительных координатах
	На	рис. 3.36 первой кривой	соответствует	узкая полоса пропускания
2	3 ,	у второй кривой полоса пропускания 1		4 значительно шире, по-

этому закономерен следующий вывод: чем выше добротность, тем ýже поло-

са пропускания.

Есть еще понятие избирательности резонансного контура как фильтра.

Чем ýже полоса пропускания, тем выше избирательность фильтра. Следовательно, значение добротности непосредственно определяет качество фильтра по отмеченному критерию – способности выделять полезный сигнал, в данном случае ток, в более узком диапазоне частот.

Наконец, легко показать, что в диапазоне частот от нулевой до резонансной рассматриваемая схема имеет активно-емкостный характер, а при частоте, превышающей резонансную частоту 0 , – активно-индуктивный. Так, при час-

	тоте 0 емкостное сопротивление	1	. Ток в схеме при этом равен ну-
		C

лю, напряжение источника приложено только к емкости и угол сдвига фаз2 . При увеличении частоты до значения 0 значение φ стремится к

133

нулю. При дальнейшем увеличении частоты знак угла φ изменяется на положительный и в пределе при становится чисто индуктивным, т. е. 2 . Следовательно, резонансная частота 0 является точкой раздела между отрицательными и положительными значениями угла сдвига фаз. В диапазоне частот 0 0 напряжение по фазе отстает от тока, при 0 , наоборот, напряжение опережает ток.

3.11.2. Резонанс токов

Особенности резонанса токов (параллельного резонанса) удобно рассматривать на примере схемы, изображенной на рис. 3.12, а, с параллельным соединением элементов r, L, C.

Входная комплексная проводимость этой схемы

Y g j b b

g j

1

C

ye j ,

L C

L

2

1

2

где y

g

C ;

L

arctg bL bC . g

При резонансной частоте 0 реактивная проводимость нулевое значение:

(3.148)

принимает

1			0C 0 ,					(3.149)
	0L
откуда резонансная частота
	0				1		.	(3.150)
					LC

На векторной диаграмме (рис. 3.37) ток IL отстает от напряжения на 90 º, а ток IC опережает напряжение на 90 º. Действующие значения этих токов равны между собой, поэтому их сумма равна нулю.

134

	+j			Входной ток схемы I равен току ветви с ак-
			.	тивным сопротивлением Ir.
			U
	I.r = I.			Угол сдвига фаз φ равен нулю. В итоге
		.	.	входной ток цепи по фазе совпадает с входным
			IC
		IL		напряжением и выполняется сформулированное в
	0		+1	п. 3.11.1 условие резонанса.
				Проводимость g 1 r	есть минимальное
	Рис. 3.37. Векторная			значение входной проводимости. Поэтому при ре-
	диаграмма резонанса токов
				зонансе токов входной ток схемы, в отличие от ре-
	зонанса напряжений, принимает минимальное значение:
				I0 Ir0 gU.	(3.151)

При нулевой частоте ( 0 ) сопротивление индуктивной ветви схемы на рис. 3.12, а равно нулю ( L 0 ), поэтому весь ток проходит только по этой ветви, имеет индуктивный характер и теоретически бесконечен. Вследствие этого левая ветвь кривой I ( ) на рис. 3.38 начинается в бесконечности, а начало кривой угла сдвига фаз соответствует значению 2 . В режиме резонанса ток имеет минимальное значение, а угол сдвига фаз равен нулю. В области изменения частоты от нуля до 0 схема на входных зажимах воспринимается как активно-индуктивная. При частоте 0 преобладает ток емкостной ветви, поэтому схема воспринимается как активно-емкостная.

Рассмотрим далее значения реактивных проводимостей при резонансной частоте 0 :

1

1

1

1

bL0

;

0L

1

L

L

LC

C

(3.152)

C

C

1

0C

bC 0

L

.

LC

Добротность цепи в данном случае определяется как отношение реактивных проводимостей к активной:

135

Q	bL0			1					r	;
	g			1 r
	bC 0				1				r
Q											.
	g				1 r

I ,

π
		0 = gU
0	0
– π

Рис. 3.38. Частотные характеристики при резонансе токов

В итоге получили формулу добротности

Q r ,

(3.153)

(3.154)

которая выглядит как обратная по отношению к аналогичной формуле для последовательной цепи.

Добротность цепи характеризует соотношение между токами индуктивной и емкостной ветвей и током через ветвь с сопротивлением r. Если Q 1, то реактивные токи IL0 и IC 0 при резонансе меньше активного Ir 0 . Значение Q 1 показывает кратность превышения реактивных токов по отношению к активному.

Схема на рис. 3.12, а с параллельным соединением элементов r, L, C имеет характеристики так называемого заграждающего (режекторного) фильтра. В области частот, примыкающей к резонансной, входное сопротивление цепи максимально, поэтому ток минимален, откуда и название «заграждающий фильтр». Добротность, как и в предыдущем случае, влияет на форму кривой I ( ) и другие характеристики фильтра.

136

3.11.3.Резонанс в электрических цепях произвольной структуры

Впрактике используются более сложные схемы электрических фильтров

идругие электрические цепи, содержащие различное количество реактивных элементов. В области электрических фильтров явление резонанса используется как полезное или необходимое явление. Однако в других областях явление резонанса может возникать как нежелательное явление, приводящее к повышенным значениям напряжения или тока. При высоких значениях добротности электрических цепей, т. е. в цепях с малыми потерями в активных сопротивлениях, напряжение и ток в резонансных режимах могут достигать опасных значений. Поэтому понимание резонансных свойств той или иной электрической системы является важной задачей.

Во всех случаях в качестве критерия наличия резонансного режима выступает условие совпадения начальных фаз входных напряжения и тока исследуемой электрической цепи. С этим условием согласуется условие обращения в нуль реактивной составляющей входного комплексного сопротивления (проводимости) электрической цепи. Поэтому исходным этапом математического исследования резонансных свойств любой электрической цепи является выделение из состава комплексного входного сопротивления (проводимости) реактивной составляющей и приравнивание ее к нулю.

Вцелом расчет проводится с реализацией следующих этапов.

1.Записывается входное сопротивление или входная проводимость цепи.

2.Входное сопротивление (проводимость) разделяется на действительную и мнимую части.

3.Выделяется реактивное сопротивление (проводимость) цепи (мнимая часть) и приравнивается к нулю.

4.Полученное уравнение решается относительно искомой неизвестной (частоты, индуктивности, емкости, сопротивления).

Как правило, первым этапом решения является вычисление резонансных частот, поскольку реализация именно этого этапа отвечает на вопрос, возможны в данной цепи резонансы или нет.

В цепях с двумя реактивными элементами определяется и исследуется одна резонансная частота.

Для цепей с тремя реактивными элементами определяются и исследуются две резонансные частоты. Количество резонансных частот возрастает с увеличением числа реактивных элементов (индуктивных и емкостных).

137

3.11.3.1. Резонанс в цепях с двумя реактивными элементами

На рис. 3.39 изображена группа схем, в которых индуктивность и емкость включены последовательно или находятся в составе последовательного соединения двухэлементных участков схем.

Схема, представленная на рис. 3.39, а, уже рассмотрена в п. 3.11.1, где и выявлены особенности, характеризующие резонанс напряжений. В остальных схемах также может возникать только резонанс напряжений в силу отмеченной их структуры. В качестве примера рассмотрим схему на рис. 3.39, б.

Входное сопротивление схемы на рис. 3.39, б

			j		1
		r
	Z j L			C				.	(3.155)
		r j			1
					C
	C						L		r
r

L		C
а		б
L	L	r2
C

r	r1	C
в		г

Рис. 3.39. Схемы, в которых возможен резонанс напряжений

Преобразуем выражение (3.155), умножая числитель и знаменатель на сопряженный комплекс знаменателя:

			1				1
	r	j				r j
Z j L			C				C				j L
			1				1
	r	j				r j
			C					C

j	r2			r
	C			2C2			.	(3.156)
r2				1
			2C2

138

Далее осуществляется разделение действительной и мнимой частей вы-

ражения (3.156):

				r														r2 C
Z												j L										.	(3.157)
	r	2	2	C	2										r			2 2	C	2
						1															1
Для определения резонансной частоты мнимая часть уравнения (3.157)
приравнивается к нулю:
			0L								r2 C						0 .
												0											(3.158)
									r		2 2C2
														1
												0
В итоге получается алгебраическое уравнение второй степени относи-
тельно резонансной частоты 0 :
		r2 LC					2				2	L r2C 0.											(3.159)
								0
Решение уравнения (3.159) имеет вид:
													r2C L				.						(1.160)
						0							r2LC2

Резонансная частота – реальный физический параметр, поэтому положительный ответ о наличии резонанса напряжений дает только положительное, действительное значение корня. Следовательно, окончательно используем значение

		r2C L	,	(3.161)
0		r2LC2

которое указывает на то, что резонанс в исследуемой схеме возможен при выполнении условия r2C L . Если это условие не выполняется, то числитель подкоренного выражения будет отрицательным, а корень, соответственно, мнимым.

Рассмотрим схему на рис. 3.39, б при следующих числовых значениях параметров: U = 10 В, r = 100 Ом, L = 0,01 Гн, C 10 4 Ф. Расчетная схема для резонанса напряжений представлена на рис. 3.40.

139