Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts
.pdfдві різні послідовності Zn1 і Zn2 , які збігаються до одиниці, такі що
lim f (Z1 ) lim f (Z |
2 ) . |
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n |
n |
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n |
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n |
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|||||
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Нехай |
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1 |
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2 |
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1 |
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2 |
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Zn |
1 |
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, Zn |
1 |
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. |
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||||||
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(1 4n) |
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||||||||||||||
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2 n n 1 |
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n 1 |
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|||||||||
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Тоді: |
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f (Z1 ) cos |
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1 |
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cos 2 n 1; |
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|||||||||
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|
n |
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1 |
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1 |
1 |
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||||||
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2 n |
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|||||||
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lim f (Z1 ) 1 |
; |
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|||||||
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n |
|
n |
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|
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f (Z 2 ) cos |
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1 |
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cos( 2 n) 0 ; |
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||||||||||
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|||||||||||
|
n |
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|
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2 |
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|
2 |
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||
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1 |
|
1 |
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|||||||||
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(1 4n) |
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||||||||||
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lim f (Z 2 ) 0 . |
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||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
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Оскільки для різних послідовностей Zn , які збігаються до оди- |
|||||||||||||||||||||
ниці, |
виходить різний результат, |
то границі функції f (z) cos |
1 |
|
|||||||||||||||||
z 1 |
|||||||||||||||||||||
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|
|||
при |
z 1 не існує, а отже, |
точка |
z 0 – істотно особлива точка для |
даної функції.
95
§19. Лиш ки т а їх обч ис ленн я
Нехай точка z z0 – ізольована особлива точка функції f (z) ,
аналітичної у кільці 0 z z0 R . Тоді функція f (z) може бути роз-
кладеною в ряд Лорана (17.1), де
С |
1 |
|
f (z) |
dz . |
|
||||
2 i |
(z z |
|
)n 1 |
|
|||||
|
n |
|
|
|
|
||||
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
C |
|
0 |
|
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При n 1 маємо: |
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|
|
C |
|
|
1 |
|
f (z)dz . |
|
(19.1) |
||
1 |
2 i |
|
|||||||
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|||
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|
||
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|
|
C |
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Озна чен ня 19.1. |
|
Лишком аналітичної функції f (z) |
в ізольова- |
ній особливій тoчці z0 називається число, яке дорівнює
де C – контур, всередині якого міститься точка z0 .
Позначається лишок функції наступним чином:
Res f (z) |
1 |
f (z)dz . |
|
2 i |
|||
z z0 |
C |
||
|
|
З формули (19.1), випливає, що
1 |
. |
f (z)dz, |
|
|
|||
2 i |
|||
|
C |
||
|
|
(19.2)
Res f (z) C 1 . |
(19.3) |
z z0 |
|
Якщо z z0 – усувна особлива точка функції f (z) , то з означення лишка функції (19.1) та означення усувної особливої точки функції
(18.2) маємо:
Res f (z) 0 . |
(19.4) |
z z0 |
|
96
Якщо z z0 – простий полюс функції f (z) , то з означення (18.4) маємо:
f (z) C |
1 |
(z z |
0 |
) 1 |
C |
0 |
C (z z |
0 |
) ... . |
(19.5) |
|
|
|
|
1 |
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|
Помножимо обидві частини (19.5) на (z z0 ) і розглянемо границю:
lim f (z) (z z |
0 |
) lim (C |
1 |
C (z z |
0 |
) C (z z |
0 |
)2 |
... , |
z z0 |
z z0 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (z) (z z0 ) C 1 .
z z0
З означення (19.1) для простого полюса отримуємо:
Res f (z) lim f (z) (z z0 ) . |
(19.6) |
|
z z0 |
z z0 |
|
Якщо точка z0 є полюсом k -го порядку, то з означення 18.3 випливає:
f (z) C |
k |
(z z |
) k C |
k 1 |
(z z |
) k 1 C |
1 |
(z z |
) 1 C |
0 |
... . |
(19.7) |
||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
Помножимо (19.7) на |
(z z |
0 |
)k : |
|
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|
||||
(z z )k f (z) C |
C |
(z z ) k 1 |
C |
(z z )k 1 |
C (z z ) ... . |
(19.8) |
||||||||||
0 |
|
k |
k 1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
Візьмемо (k 1) похідних від обох частин рівності (19.8):
|
d k 1 |
(z z |
|
)k |
f (z) |
(k 1)! C |
|
k !C |
|
(z z |
|
) ... . |
(19.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dzk 1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
З виразу (19.9) лишка функції маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Res f (z) |
1 |
lim |
d k 1 |
(z z |
|
)k |
f (z) . |
(19.10) |
||||||||
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
z z0 |
|
|
(k 1)! z z0 |
dzk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
У випадках істотно особливих точок, єдиний спосіб знаходження лишків в них – розклад даної функції в ряд Лорана.
97
П р и к л а д 19.1. |
Знайти лишки в особливих точках наступної |
||
функції |
f (z) |
sin z |
. |
|
|||
|
z2 3 z
Р о з в ’ я за н н я .
Знайдемо особливі точки функції:
|
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|
|
|
z1 0, |
|
||
z |
2 |
|
z 0 z(z |
|
|
|
|
||
|
3 |
3 |
) 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
z2 |
3 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
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|
Додслідимо поведінку функції в околах цих точок:
lim |
sin z |
lim |
z |
|
lim |
1 |
|
|
3 |
. |
|
|
|
) |
|
|
|
||||||
z 0 z2 |
z |
z 0 z(z |
z 0 z |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
Точка z 0 – усувна особлива точка, а за формулою (19.4).
Res |
sin z |
0 . |
|
|
|
||
|
z |
||
z 0 |
z2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
– полюс функції. |
|
|||||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
z 3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
Визначимо порядок полюса: |
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|||||||||||||||||||||
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sin z |
|
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|
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|
|
|
sin z (z )k |
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
(z |
) |
k |
lim |
|
3 |
|
|
при k 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
z(z |
|
|
|
|
|
||||||
z 3 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
sin z |
|
3 |
|
|
|
3 3 |
|
z |
– простий полюс. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
z 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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98
Враховуючи формулу (19.6) для простого полюса функції, маємо:
|
|
|
|
|
|
|
Res |
sin z |
|
|
3 3 |
. |
|
z2 z |
|
|||||
z 3 |
|
2 |
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
П р и к л а д 19.2. Знайти |
лишки |
в |
особливих точках наступної |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
функції f (z) z4 e z .
Р о з в ’ я за н н я .
Знайдемо особливі точки функції: z 0 .
Аналогічно до прикладу §18 (2) розглянемо дві різні послідовності, які збігаються до нуля:
{Z } |
|
1 |
0 f (Z ) |
|
1 |
|
|
e2n , |
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
16n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2n n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
{Z } |
|
1 |
0 f (Z ) |
1 |
|
|
|
e 2n 0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
16n |
|
|
|||||||
|
|
|
2n n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
lim f (Z1 ) lim f (Z 2 ) |
|
lim z4e z |
|
z 0 – істотно особлива |
||||||||||||||
n |
n |
|
n |
n |
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точка функції.
Враховуючи означення 19.1 для знаходження лишка, розкладемо функцію в ряд Лорана:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
e z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
n |
n! |
|
z |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
z2 |
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||||||||||||||
z |
3 |
|
3! |
z |
4 |
4! |
|
z |
5 |
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
z |
|
5! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
1 |
|
|
|
Res z4 |
e z |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
120 |
|
|
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99
П р и к л а д 19.3. |
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Знайти лишки |
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в особливих |
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точках |
наступної |
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функції |
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f (z) |
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e2 z 1 |
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lim |
e2 z |
8z4 32z3 20z2 4z 6 6 |
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0 |
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6 z |
2 |
z |
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0 |
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z 0 |
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lim |
2e2 z |
8z4 32z3 20z2 4z 6 e2 z 32z3 96z2 40z 4 |
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6 |
2z 1 |
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z 0 |
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2 6 1 4 |
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12 4 |
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8 |
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4 |
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. |
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6 1 |
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6 |
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6 |
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3 |
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Розглянемо z2 1 : |
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lim |
e2 z 1 |
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e 2 1 |
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e 2 1 |
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z |
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1 – полюс. |
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z5 z4 |
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1 1 |
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0 |
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2 |
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z 1 |
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Визначимо порядок полюса: |
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lim |
e2 z 1 |
z 1 k lim |
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e2 z 1 |
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z 1 k |
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при k 1 |
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z 1 z5 z4 |
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z 1 z4 z 1 |
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lim |
e2 z |
|
1 |
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e 2 1 |
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e 2 |
1 |
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|
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1 |
|
1 |
1 e2 |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
z |
4 |
|
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1 |
4 |
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|
1 |
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e |
2 |
|
|
e |
2 |
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z 1 |
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Таким чином, |
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z2 1 – простий полюс функції. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отже, |
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Res |
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e2 z 1 |
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1 e2 |
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. |
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z5 |
z4 |
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e2 |
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z 1 |
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102
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§20. Теорема Коші про лишки |
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|||||||||||||||||||
Розглянемо застосування введених понять. |
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||||||||||||||||||||
Тео рема 20.1 (т еорема Кош і п ро л иш ки ). |
Якщо |
функ- |
|||||||||||||||||||||
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||||||||
ція f (z) є аналітичною всюди в області |
Е (включаючи її межу С ), |
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окрім скінченного числа ізольованих особливих точок |
z1 , z2 ,..zn , які |
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лежать всередині області Е , то |
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||||||||||
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n |
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f (z)dz 2 i Res f (z) . |
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(20.1) |
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C |
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k 1 z zk |
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||
Іншими словами, інтеграл по замкненому контуру |
|
C дорівнює |
|||||||||||||||||||||
добутку 2i на суму лишків підінтегральної функції f (z) |
в її особли- |
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вих точках, які знаходяться всередині області Е . |
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ez |
|
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П р и к л а д 20.1. |
Обчислити інтеграл |
|
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dz . |
|
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|||||||||||||
|
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z3 z 1 |
|
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||||||||||||||||
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z |
2 |
|
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|
Р о з в ’ я за н н я . |
|
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|
Особливі точки функції |
f (z) |
|
ez |
|
|
|
– це точки z1 |
0 і |
|
||||||||||||||
z3 |
z 1 |
|
|||||||||||||||||||||
z2 1 |
|
z 1 |
|
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z3 |
0, |
|
|
|
|
|
|
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|||
z3 |
0 |
|
|
|
|
z 0, z 1 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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z 1 0, |
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|||||||
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||||||||
Контур інтегрування C : |
|
z |
|
2 являє собою коло радіуса |
R 2 з |
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|
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центром в точці z0 |
0 (рис. 20.1). |
|
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|||||||||
Обидві точки, |
z1 |
і z2 , належать області, обмеженій контуром С . |
Отже, за теоремою 20.1, шуканий інтеграл дорівнює:
103
z 2
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
dz 2 i Res |
|
|
|
|
|
||
z |
3 |
z |
1 |
|
|
|
|
z 0 |
y
2
|
|
ez |
Res |
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(20.2) |
|
z |
|
z 1 |
z |
|
|
|||
3 |
|
3 |
z 1 |
|
||||
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
z1 0
z2 1 |
2 |
x |
Рисунок 20.1
Знайдемо лишки в точках z1 0 і z2 1, попередньо дослідивши характер цих особливих точок:
lim |
ez |
|
|
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e0 |
|
|
1 |
|
z 0 |
– полюс функції. |
||||||||
z3 z 1 |
|
|
|||||||||||||||||
z 0 |
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||
Визначимо порядок полюса: |
|
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||||||||||||||
lim |
ez |
|
zk |
|
при k 3 |
|
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|
lim |
|
ez |
|
1 . |
|||||
|
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|||||||||||||||
z3 z 1 |
|
z 1 |
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z 0 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
Таким чином, z 0 – полюс 3-го порядку. Застосуємо формулу (19.10) для знаходження лишка:
|
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e |
z |
|
1 |
|
|
d |
2 |
|
|
e |
z |
z3 |
|
|
1 |
|
d |
2 |
|
e |
z |
|
|
||||
Re s |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z |
3 |
z 1 |
|
dz |
2 |
|
3 |
z 1 |
2 |
dz |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
z 0 |
|
|
2! |
z 0 |
|
z |
|
|
|
|
z 0 |
|
z 1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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104