Book_2016_Liubchyk_Vyshcha_matemat_teoriia_funkts
.pdfЗнайдемо повний диференціал функції u x, y :
du u dx |
u dy ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy . |
||
x |
|
y |
|
З цього виразу випливає, що |
|||
u x, y |
x; y |
ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy C . |
|
|
|
||
|
x0 ; y0 |
|
Оскільки інтеграл не залежить від шляху інтегрування, то зручно інтегрувати по ламаній, ланки якої є паралельними до координатних осей:
u x, y |
|
x; y0 |
|
ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x0 ; y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x; y |
ex cos y 2x 5 dx ex sin y 2 y dy C |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x; y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ex cos y |
|
|
|
|
|
ex sin y |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2x |
5 |
|
|
|
dx |
|
|
2 y dy C |
|
||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
ex cos y0 x2 5x |
|
x ex cos y y2 |
|
y C |
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||
ex cos y |
|
ex0 cos y |
|
x2 x2 |
|
5x 5x |
ex cos y ex cos y |
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
||||
y2 y2 |
C ex cos y x2 |
5x y2 C . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f z ex cos y x2 |
5x y2 |
C1 i ex sin y 2xy 5y |
|
ex cos y i sin y x2 2xyi y2 5 x iy C1
ex iy x iy 2 5 x iy C1 ez z2 5z C1 .
Сталу C1 знайдемо з умови f 0 0 :
0 e0 02 5 0 C1 C1 1 .
55
Остаточно отримаємо шукану функцію:
f z ez z2 5z 1 .
За ува ж е н ня . Враховуючи функцію u x, y іншим шляхом.
v u ex cos y 2x 5 .y x
Тоді:
u x, y ex cos y 2x 5 dx
ex cos y x2 5x y .
Диференціюємо цей вираз по
(10.2): u |
v , і |
|
y |
x |
|
ex sin y 2y y ex sin y |
||
y 2ydy y2 |
C . |
|
Звідси випливає: |
|
|
u x, y ex cos y x2 |
5x y2 |
умови Коші-Рімана, можна знайти
y ex cos y 2 x2 5x y 2
y : u y ex sin y , а за умови
y
y 2y ;
C .
56
§13. Інт егруванн я фун кці й ком плек сної змін ної
Нехай однозначна функція |
f z u x, y iv x, y |
є неперервною |
||
в області E комплексної площини z , |
і C – довільна крива яка по- |
|||
вністю належить області E (рис. 13.1). |
|
|
|
|
Im z |
|
|
|
|
|
|
zk 1 |
b |
zn |
z1 |
… |
|
zk |
|
a z0
0 |
|
Re z |
|
Рисунок 13.1 |
|
Розіб’ємо криву C довільним способом на n |
ділянок точками |
|
z0 0; z1; z2 ;...; zk 1; zk ;...; zn |
b , розташованими на кривій C в порядку |
зростання параметра k . Виберемо на кожній дузі zk 1 zk |
довільну точку |
||
k |
k i k , і через zk позначимо: |
|
|
|
zk zk zk 1 . |
|
|
|
Побудуємо інтегральну суму In f z ;C; k для функції |
f z , |
|
яка відповідає розбиттю C і вибору точок k : |
|
|
|
|
n |
|
|
|
In f z ;C; k f k zk . |
|
(13.1) |
k 0
57
О зн а ч е н н я 13.1. Якщо існує скінченна границя нтегральної суми (13.1) при n , яка не залежить від способу розбиття кривої C
та від вибору точок k kn |
1 , то вона називається інтегралом від функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||
f z вздовж кривої C і позначається f z dz : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z dz . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f |
k |
zk |
|
|
|
(13.2) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В зроблених раніше припущеннях границя (13.2) повинна існува- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ти, тому що зводиться до границь |
неперервних |
|
функцій |
u x, y і |
|||||||||||||||||||||||||||||
v x, y ( u x, y Re f z ; v x, y Im f z ), |
які |
задані на |
кусково- |
||||||||||||||||||||||||||||||
гладкій кривій C , тобто до криволінійного інтеграла по координатах. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Дійсно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f k u k ;k iv k ;k |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim f k zk |
|
|
|
k k |
i k ; zk xk i yk |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
u |
|
|
|
|
|
|
iv |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
k |
; |
k |
k |
; |
k |
|
i y |
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
u |
|
|
|
|
|
|
x |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
k |
; |
k |
|
k |
; |
k |
y |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
u |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i lim |
|
k |
; |
k |
k |
v |
k |
; |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Звідси випливає, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f z dz u x, y dx v x, y dy i u x, y dy v x, y dx . |
(13.3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
З отриманого результата видно, що для існування інтеграла від |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функції комплексної змінної |
|
f z u x, y iv x, y достатньо лише |
|||||||||||||||||||||||||||||||
неперервності функцій |
u x, y |
|
|
і |
|
|
v x, y . Отже, |
|
інтеграл існує і в |
||||||||||||||||||||||||
випадку неаналітичної функції |
f z , якщо вона також є неперервною. |
58
Очевидно, інтеграл (13.3) володіє тими ж властивостями, що і криволінійний інтеграл по координатах.
1°. f z dz f z dz ;
|
AB |
|
|
|
|
BA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2°. f z dz f z dz |
|
|
|
f z dz ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
C1 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
C1 C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3°. Якщо a – комплексна змінна, то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
af z dz a f z dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
C |
1 |
|
|
|
2 |
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
dz |
|
2 |
|
|
||||||||||
4°. |
|
f |
z |
|
|
z |
dz |
|
f |
z |
|
|
f |
|
|
z |
|
dz . |
||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
П р и к л а д 13.1. |
|
Обчислити інтеграл |
|
z Im z2 dz , де C – відрізок |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
прямої: z1 0; z2 1 i .
Р о з в ’ я за н н я . f z z Im z2 ; z x iy ;
x iy 2 |
x2 2xyi y2 |
f z x iy Im x2 y2 2xyi |
x iy 2xy 2x2 y i 2xy2 ; |
||
u x, y 2xy2 , |
|
|
v x, y 2x2 y. |
|
|
Тоді за формулою (13.3) маємо: |
||
z Im z2 dz 2xy2 dx 2x2 y dy i 2xy2dy 2x2 y dx |
||
C |
C |
C |
59
|
|
z1 0 A 0;0 ; |
|
z2 1 i B 1;1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
AB : |
x 0 |
|
y 0 |
|
y x |
|
|
|
x : 0 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
1 0 |
dy dx |
|
|||||||||||
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 dx 2x3 dx i 2x3 dx 2x3 dx |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 i 4x3dx 4i x3dx 4i |
|
|
|
i 1 0 i . |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и к л а д 13.2. Обчислити інтеграл z 4 3 dz , де C – відрізок
C
прямої: z1 i; z2 2 i .
Р о з в ’ я за н н я .
zx iy z x iy ;
z 4 3 x iy 4 3 x 4 iy 3 x 4 3 3i x 4 2 y
3y2 x 4 iy3 x 4 3 3y2 x 4 i y3 3 x 4 2 y .
z1 i M1 0;1 |
M M |
|
: |
x 0 |
|
y 1 |
|
|
x |
|
y 1 |
|
z2 2 i M 2 2; 1 |
|
2 0 |
1 1 |
|
2 |
|||||||
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y 1 y x 1 . 1 1
|
|
|
u x, y x 4 3 3y2 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 3 dz |
v x, y y3 3 x 4 2 y |
|
|
|
||
C |
|
|
C : y x 1 dy dx |
|
|
|
|
|
|
x : 0 2 |
|
|
|
|
x 4 3 |
3y2 x 4 dx y3 3 x 4 2 |
y dy |
|
||
C |
|
|
|
|
|
|
i x 4 3 |
3y2 x 4 dy y3 3 x 4 2 |
y dx |
|
|||
C |
|
|
|
|
|
|
60
2
x 4 3 3 1 x 2 x 4 1 x 3 3 x 4 2 1 x dx
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i x 4 |
3 |
3 |
1 x |
2 |
x |
4 |
1 x |
3 |
3 x |
4 |
2 |
1 x dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x3 12x2 48x 64 3 1 2x x2 x 4 1 3x 3x2 x3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x2 8x 16 1 x dx i x3 12x2 48x 64 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x2 |
x 4 1 3x 3x2 x3 3 |
x2 8x 16 |
1 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
3 1 2x |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||
2 |
9x2 45x 63 3x 6x2 3x3 12 24x 12x2 3x2 24x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 3x3 24x2 48x dx i 2x3 15x2 51x 65 3x 6x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 12 24x 12x2 3x2 |
24x 48 3x3 24x 48x dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18x2 90x 99 dx i |
4x3 |
30x2 48x 5 dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
18x3 |
|
90x2 |
|
|
|
4x4 |
|
30x3 |
|
|
48x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99x |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
2 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x3 45x2 99x 02 i x4 10x3 24x2 5x 02
6 8 45 4 99 2 i 24 10 23 24 22 5 2
48 180 198 i 16 80 48 10 48 18 i 74 80
66 6i .
Вдеяких випадках можна обчислювати інтеграл від функції комплексної змінної, не користуючись отриманою формулою (13.3).
61
П ри к л а д 13.3. |
Обчислити інтеграл |
|
dz |
|
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z z |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
R |
|
|
|
|
|
|
Р о з в ’ я за н н я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z z |
0 |
Rei |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
z z0 |
Rei |
|
2 Riei d |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i d i |
|
|
2 i . |
|||||
z z0 |
dz Riei d |
Re |
i |
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z z0 |
R |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
: 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П р и к л а д 13.4. |
Обчислити |
інтеграл |
z zdz , |
|
де |
C – крива |
C
AB : z 1; Re z 0; Im z 0 .
Р о з в ’ я за н н я . |
|
|
|
|||||
|
z |
|
1 ; |
x2 y2 1 ; |
|
1. |
||
|
|
|
||||||
Re z 0 ; |
x 0 ; |
|
3 |
2 . |
||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Im z 0 ; |
y 0 . |
|
|
|
y
1
0 |
1 |
x |
Рисунок 13.1
62
|
|
|
|
|
z ei |
|
ei ; z e i |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
z zdz |
dz ie |
i |
d ; : |
3 |
|
|
2 |
|
|
ei e i iei d |
|
|
|||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
i |
cos 2 i sin 2 |
|
|
|||||||||||
i ei d ei |
3 |
|
|
e2 i e 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
|
|
i sin |
|
|
|
|
1 i |
1 i . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо функція |
f z є аналітичною в однозв’язній області |
E , яка |
|||||||||||||||||||||||
містить точки z1 |
і z2 , то має місце формула Ньютона-Лейбніца: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 |
f z dz F z |
|
zz2 |
F z2 F z1 . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(13.4) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де F z |
– будь-яка первісна для функції |
f z , тобто F z f z |
в |
||||||||||||||||||||||
області E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р и к л а д 13.5. |
|
|
|
Обчислити |
інтеграл (cos i z 3z2 )dz , |
де |
: |
z 1, Im z 0 .
Ро з в ’ я за н н я .
y
1
0 |
1 |
x |
Рисунок 13.2
63
z 1, Im z 0 x2 y2 1, y 0
z) cos iz 3z2 |
– аналітична функція. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
(cos iz 3z2 )dz |
(cos iz 3z2 )dz |
cos iz dz 3 |
z2 dz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin iz |
|
1 |
|
|
z3 |
|
1 |
|
|
1 |
(sin( i) sini) ( 1)3 13 |
2 |
sin i 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
ei2 |
e i2 |
2 e 1 e1 |
2 2 |
e1 e 1 |
2 2 sh1 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П р и к л а д 13.6. |
Обчислити інтеграл |
|
ln z |
dz , |
|
|
– відрізок пря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мої: z1 1; z2 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Р о з в ’ я за н н я . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (z) |
ln z |
|
функція аналітична на відрізку прямої . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(lnz) |
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 z |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ln z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnz d (ln z) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
d (ln z) |
dz |
|
|
2 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ln |
2 |
i |
|
|
|
ln |
2 |
1 |
|
|
ln i ln1 i |
|
i |
|
|
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln1 ln1 i 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64