Лекція 11 Ряд Лорана
.pdfЛекція 11. Ряд Лорана та ізольовані особливі точки аналітичних функцій
Ряд і теорема Лорана Нулі функції
Ізольовані особливі точки і їх класифікація Нескінченно віддалена особлива точка
5.І. Ряд і теорема Лорана
Вище було встановлено, що сума f z степеневого ряду
|
z z0 |
|
|
f z an |
n |
(5.1) |
n 0
є аналітичною функцією всередині круга збіжності цього ряду і було доведено, що кожну функцію, аналітичну в області D, в околі кожної точки цієї області можна розкласти в степеневий ряд. Таким чином, суми степеневих рядів в деякому розумінні описують всі аналітичні функції.
|
Розглянемо більш загальні ряди по додатних і від’ємних степенях |
z z0 , |
||||||||||||||||||||||||||
тобто ряди вигляду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S z an |
n ; |
|
|
|
|
|
|
(5.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
які можна розуміти як суму двох рядів, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an z z0 n , |
a n |
|
|
|
|
|
(5.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
і які збігається в області, де збігаються |
обидва ряди (5.3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Припустимо, що ряд |
an z z0 |
n |
збігається |
в крузі |
|
z z0 |
|
|
R, |
а ряд |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a n z z0 n |
|
збігається |
в області |
|
z z0 |
|
r. Якщо |
r R, то |
в |
області |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
K z |
|
|
|
r |
|
z z0 |
|
R збігатиметься ряд (5.2). Це кільце може виродитися в круг |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z z0 |
|
|
|
R з “виколотою” точкою z z0 |
(при r 0, |
R ), |
в усю комплексну |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
площину з “виколотою” точкою z z0 |
|
(при r 0, R ), у зовнішню частину |
||||||||||||||||||||||||||
круга |
|
z z0 |
|
r |
|
(при r 0, |
R ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Доведемо, що сума ряду (5.2) є аналітичною функцією в області K. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Для цього, очевидно, нам досить довести, що сума ряду |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z a n z |
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
буде аналітичною функцією в області K (сума другого ряду, |
як показано вище, |
|||||||||||||||||||||||||||
– аналітична функція). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Зробимо заміну |
|
, тоді ряд (5.4) запишеться у вигляді степеневого |
z z0 |
||
|
|
76 |
ряду
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n n . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
тоді сума є ана- |
Нехай його радіус збіжності дорівнює : |
0 , |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
літичною функцією в крузі |
|
|
|
, а |
|
|
|
|
, якщо її розглядати як функцію |
||||||
|
|
z z |
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
від z, є аналітичною всюди, крім точки z z0 . |
|
|
|
|
|||||||||||
Тоді за властивістю 20 функція z буде аналітичною функцією в області |
|||||||||||||||
збіжності ряду (5.4), тобто поза кругом |
|
z z |
0 |
|
|
|
1 |
r. |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, область збіжності ряду (5.2) є кругове кільце, а його сума – аналітичною функцією в цьому кільці.
Виникає питання: чи не можна кожну функцію, аналітичну в кільці, розк-
ласти в ряд вигляду (5.2) ? Позитивну відповідь дає |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Теорема (Лорана). Кожну функцію |
f z , однозначну і аналітичну в кру- |
||||||||||||||||||||||||
говому кільці r |
|
z z0 |
|
R, можна розкласти в цьому кільці в ряд |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z an z z0 n , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
де an |
1 |
|
|
|
dz, n 0, 1, 2,..., L |
– довільне коло з центром в точці z0 , |
|||||||||||||||||||
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 i |
L |
|
z z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
яка лежить всередині кільця. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Візьмемо довільну точку z |
кільця |
r |
|
z z0 |
|
R і проведемо всередині |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
два кола L1 |
|
і L2 із спільним центром у точці z0 і так, щоб точка z лежала все- |
|||||||||||||||||||||||
редині L2 і зовні L1 (рис.4.8). За формулою (4.5) маємо |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
f |
1 |
|
f |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
L |
|
d |
|
L |
|
d . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
z |
2 i |
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Перший доданок правої частини на основі результатів попередньої лекції
77
можна записати:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
z z0 n , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d an |
|
|
|
(5.5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
L |
2 |
z |
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
де a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 i |
L z n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L – будь-яке додатно орієнтоване коло з центром в точці |
z0 , |
яке лежить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
всередині кільця. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Тепер |
|
|
|
|
|
нехай |
|
|
z z0 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
тоді |
|
|
при |
L1 |
|
маємо |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
і оскільки |
|
z0 |
|
|
r1 |
1, |
то останній вираз мо- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
z z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
жна розглядати як суму спадної геометричної прогресії з першим членом |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z z0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
і знаменником |
z0 . Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 n |
. |
|
|
|
(5.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Цей ряд збігається на колі |
L1 рівномірно, оскільки мажорується числовим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
збіжним рядом |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Множимо (5.6) на f , |
інтегруємо почленно вздовж контура L1 і ділимо |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на 2 i , в результаті чого одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z0 n 1 d a n z z0 n , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 i L z |
|
|
|
n 1 |
0 |
2 i L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
де a n |
|
1 |
|
|
|
f z0 n 1 d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.7) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 i L |
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Оскільки функція |
|
0 |
аналітична між колами L |
і L, |
і на них, то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
ми змогли замінити L1 на L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Складаючи |
(5.5) |
|
і (5.7) |
одержимо |
розклад |
функції |
по додатним і |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
від’ємним степеням z z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a n |
|
|
Ряд f z a n z z 0 |
n |
|
a n z z |
0 |
n |
|
|
, коефіцієнти |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
n |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
n 1 z z 0 n |
|
||||
визначаються за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
1 |
|
|
dz, n 0, 1, 2,... |
|||||||
|
|
n |
2 i L z z n 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z . |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
називається рядом Лорана функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
якого
(5.8)
78
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
an z z0 n називається правильною частиною ряду Лорана, а ряд |
|||||||
|
a n |
n 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– головною частиною цього ряду. |
|
|
|
|
|
z z 0 |
n |
|
|
|
|
|
|||
n 1 |
|
f z у крузі |
|
|
|
|
|||
|
Раніше було доведено, що коли функцію |
|
z z0 |
|
R можна ро- |
||||
|
|
|
|||||||
зкласти в степеневий ряд по степенях z z0 , |
то цей ряд єдиний і є рядом Тей- |
||||||||
лора даної функції. |
|
|
|
|
|
Аналогічне твердження має місце і для ряду Лорана.
Якщо функцію f z у кільці r z z0 R можна розкласти в ряд
f z an z z0 n ,
n
то цей ряд єдиний і є рядом Лорана для функції f z , тобто кожний збіжний ряд по додатним і від’ємним степеням z z 0 є рядом Лорана своєї суми.
На практиці для розкладу функції в ряд Лорана стараються уникнути застосування формул (5.8), оскільки вони можуть привести до складних обчислень, а використовують інші методи.
5.2. Нулі функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нехай функція |
f z |
– аналітична в області D і |
z0 D. Точка z0 |
назива- |
|||||||||
ється нулем функції |
f z порядку m, якщо виконуються умови |
|
|||||||||||
|
|
f z0 f z0 ... f m 1 z0 0, |
f m z0 0, |
(5.9) |
|||||||||
тобто розклад функції в ряд Тейлора в околі точки z0 має вигляд |
|
||||||||||||
|
|
f z am z z0 m am 1 z z0 m 1 ..., am 0. |
(5.10) |
||||||||||
Зокрема, якщо m 1, |
то точка z0 називається простим нулем. |
|
|||||||||||
Теорема. Для того щоб точка z0 |
була нулем m -го порядку функції f z , |
||||||||||||
аналітичної в точці |
z0 необхідно і достатньо, щоб в деякому околі цієї точки |
||||||||||||
виконувалась рівність |
|
|
|
f z z z0 m z , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(5.11) |
|||||||
де функція z аналітична в точці z0 і z0 0. |
|
|
|
||||||||||
|
Достатність. |
Нехай в деякому околі точки |
z0 виконується |
рівність |
|||||||||
(5.11), тоді функцію z в цьому околі можна розкласти в степеневий ряд |
|||||||||||||
|
|
z b0 b1 z z0 b2 z z0 2 ..., |
|
||||||||||
де b0 |
z0 0. Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z z z0 m b0 |
b1 z z0 b2 z z0 2 ... |
|
||||||||||
|
b z z |
0 |
m b |
z z |
0 |
m 1 |
b |
z z |
0 |
m 2 ... |
|
||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
b0 0, тобто z0 є нулем порядку m функції |
f z |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
79 |
|
|
|
|
|
Необхідність. Нехай точка z0 є нулем m -го порядку. Тоді в деякому її околі виконується рівність (5.10), звідки
f z z z0 m am am 1 z z0 ... z z0 m z ,
де z визначається як сума степеневого ряду
z am am 1 z z0 ...
збіжного в тому ж околі точки z0 , що і ряд (5.10), причому z0 am 0.
5.3. Ізольовані особливі точки і їх класифікація |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Точки, в яких порушується аналітичність функції, називаються особливи- |
||||||||||||||||||||||||
ми. Особлива точка |
z z0 функції f |
z |
|
називається ізольованою, якщо в де- |
||||||||||||||||||||
якому її околі функція |
|
f z |
на має других особливих точок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
||||||||||||
Ізольовану особливу |
|
точку z z0 |
однозначної |
аналітичної функції |
||||||||||||||||||||
називатимемо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z в точці z z0 ; |
|
|||||||||||
а) усувною, якщо існує скінченна границя функції |
|
|||||||||||||||||||||||
б) полюсом, якщо lim |
f z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|||||
в) істотно особливою точкою, якщо в точці z z0 |
функція |
не має |
||||||||||||||||||||||
границі ні скінченної, ні нескінченної. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|||||||||
Теорема 1. Для того, |
щоб точка z z0 була полюсом функції |
необхі- |
||||||||||||||||||||||
дно і достатньо, щоб вона була нулем для функції z |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Достатність. |
Нехай точка z z0 |
|
є нулем функції z |
1 |
|
, |
|
тобто |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
f z |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z0 0. Тоді lim |
|
1 |
|
|
lim z 0, |
звідки lim f z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z z0 |
|
z z0 |
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Необхідність. |
Нехай |
|
lim f z . |
Тоді функція |
z |
|
1 |
|
має в точці |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
f z |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z z0 границю, що дорівнює 0, тобто |
z |
0 |
– усувна особлива точка функції z . |
|||||||||||||||||||||
Якщо покласти z0 0, |
то функція z |
буде аналітичною в околі точки z0 , а |
||||||||||||||||||||||
точка z0 буде її нулем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ця теорема дає можливість дати таке означення: |
|
|
|
|
|
|
f z , якщо вона |
|||||||||||||||||
Точка z z0 називається полюсом порядку m для функції |
||||||||||||||||||||||||
є нулем порядку m для функції z |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Використовуючи теорему п. 5.2. неважко довести таку теорему |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Теорема 2. Для того, щоб точка |
z z0 була полюсом порядку m функції |
f z необхідно і достатньо, щоб в деякому околі цієї точки виконувалась рівність
80
|
f z |
|
z |
|
, |
|
z z0 m |
||||
|
|
|
|||
де z – аналітична в точці z0 |
і z0 0, |
або, щоб існувала не рівна нулю скі- |
|||
нченна границя |
|
|
|
|
|
lim z z0 m f z C . |
|||||
z z0 |
|
|
|
|
|
З’ясуємо, як зв’язана поведінка функції f z |
в околі ізольованої особливої |
точки з розкладом функції в ряд Лорана в околі цієї точки. Cправедливі такі
Твердження:
1.Для того, щоб точка z0 була усувною особливою точкою функції f z , необхідно і достатньо, щоб ряд Лорана для f z в околі точки z0 не мі-
стив головної частини, |
тобто, щоб коефіцієнти an |
0 для |
n 1, 2,.... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Для того, щоб точка z0 була полюсом порядку m функції |
f z необхід- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но і достатньо, щоб головна частина ряду Лорана для |
f z в околі точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z0 містила лише скінченне число членів і коефіцієнт |
a m 0, а |
an 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для n m 1 , m 2 ,... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z , |
|||||||||||||||||||
3. Для того, щоб точка z0 |
|
була істотно особливою точкою функції |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
необхідно і достатньо, щоб головна частина ряду Лорана для |
f z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
околі точки z0 містила нескінченну кількість членів. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доведемо, наприклад, перше твердження |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Достатність. Нехай в околі 0 |
|
|
|
z z0 |
|
R ряд Лорана має вигляд |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
an z z0 n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Оскільки сума степеневого ряду є неперервною функцією всередині круга |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
збіжності, то lim f z a0 , |
тобто функція |
|
|
f z в точці z0 має скінченну грани- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
цю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Необхідність. Нехай аналітична функція |
|
f z має |
скінченну границю в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ізольованій особливій точці z0 . |
|
Тоді в околі |
0 |
|
z z0 |
|
|
r при досить малому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r 0 функція обмежена, тобто |
|
f z |
|
M. Виберемо |
|
|
|
, |
|
|
0 r |
так, щоб коло |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C радіуса належало околу 0 |
|
z z0 |
|
r. Тоді маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
M 2 |
|
M |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 i |
C z0 n 1 |
|
|
|
|
|
|
2 n 1 |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Візьмемо n 1, 2... . Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
lim |
|
M |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
f z . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Отже, z0 – усувна особлива точка функції |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4. Нескінченно віддалена особлива точка
Поняття ізольованої особливої точки можна ввести і для нескінченної площини.
Нескінченно віддалену точку називають ізольованою особливою точкою |
||||||||||||||
функції |
f z , якщо можна вказати окіл нескінченно віддаленої точки, в якому |
|||||||||||||
f z – |
однозначна аналітична функція, тобто, якщо f z є однозначною аналі- |
|||||||||||||
тичною функцією в області |
|
z |
|
R при досить великому R. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Зробивши заміну z |
|
, одержимо функцію f |
f z , яка буде |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
однозначною і аналітичною в області 0 |
|
|
|
|
1 |
комплексної |
-площини. Тому |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
логічно нескінченно віддалену точку назвати усувною особливою точкою функції f z , полюсом порядку m, або істотно особливою залежно від того, чи буде точка 0, відповідно, усувною точкою, полюсом порядку m або істотно
особливою точкою для функції . Таким чином підстановка |
z |
|
1 |
||
|
|||||
|
|
|
|||
дослідження функції f z в околі точки |
до дослідження функції |
зводить
1
f в
околі точки 0. |
|
Оскільки функція f z в області |
z R при досить великому R однознач- |
на і аналітична, то за теоремою Лорана її можна розкласти в цій області в ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z an z n . |
(5.12) |
||||
|
|
|
|
n |
|
|
||
Зробивши заміну z |
|
1 |
, дістанемо розклад функції в ряд в околі точки |
|||||
|
||||||||
нуль 0 : |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
a |
b n , |
||||
|
|
|
n n |
|||||
|
|
|
n |
n |
n |
де bn a n , n 0, 1, 2,...
Звідси і тверджень 1–3 п.5.3. можна зробити висновок, що нескінченно віддалена точка є для функції f z :
а) усувною особливою точкою, якщо в її лорановому розкладі (5.12) в околі нескінченно віддаленої точки коефіцієнти an 0, n 1,2,... ;
б) полюсом порядку m, якщо в її лорановому розкладі (5.12) в околі нескінченно віддаленої точки коефіцієнти am 0, а am 1 ... 0;
в) істотно особливою точкою, якщо в її лорановому розкладі (5.12) в околі нескінченно віддаленої точки серед коефіцієнтів an , n 1,2,... є нескінченна кількість відмінних від нуля.
82
Зауваження. Якщо нескінченно віддалена точка є усувною, розклад в ряд |
||||||||||||||||||||||||
Лорана функції f z в околі цієї точки |
|
z |
|
R має вигляд |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z a |
|
|
a 1 |
|
a 2 |
... |
(5.13) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z 2 |
f z a0 , |
|
||
Тому, якщо покласти за означенням |
f lim |
то особливість у |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
нескінченно |
|
віддаленій |
|
точці |
зникне, |
|
тому |
що відповідна функція |
||||||||||||||||
a |
a |
1 |
a |
2 |
2 ... після визначення її у точці 0 за допомогою рів- |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ності |
|
|
|
|
0 lim a0 |
lim f z f |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||
стає аналітичною у крузі |
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тому можна дати таке означення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Функція |
f z |
називається |
аналітичною у нескінченно |
віддаленій точці, |
||||||||||||||||||||
якщо її лорановий розклад в околі цієї точки має вигляд (5.13), при цьому |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
lim |
f z a0 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
Приклад. Визначити характер нескінченно віддаленої особливої точки для
функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зробимо заміну z |
|
1 |
, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
З формул |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
4 |
... |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Звідси |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
... |
|
|
|
||||||||||||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
z |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
... |
|||||||||||||||
|
|
|
z 2 |
|
|
1 |
|
|
z5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z3 |
|
|
|
|
||||||||||||
Цей ряд збіжний в околі нескінченно віддаленої точки |
z |
1 і в нього кое- |
||||||||||||||||||||||||||||
фіцієнти an 0, |
n 1,2,... . Тому нескінченно віддалена точка є усувною особ- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ливою точкою даної функції. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запитання для самоконтролю
83
1.Що називається рядом Лорана функції?
2.Сформулювати теорему Лорана.
3.Дати означення ізольованих особливих точок і привести їх класифікацію.
4.Який зв’язок між характером особливої точки і розкладом функції в ряд Лорана в околі цієї точки?
84