Вектора / Умнож. векторов.Шпаргалка
.docУмножение векторов
Произведение |
Определение |
Обозначение |
Законы |
Равенство нулю |
Выражение в декартовых координатах |
Скалярное |
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ав = |а| |в| соsφ = |а| прав = = |в| прва |
ав = а · в = (а, в)
|
1. ав = ва; 2. а (в + с) = ав +ас; 3. (λ а) в = λ (а в); 4. а2 = а а = |а| |а| соs0 = |а|2. |
а в = ׀а׀ ׀в׀ соsφ = 0 < => соsφ = 0 => φ = π/2 => а ┴ в |
i i = j j = k k =1 i j = i k = j k = 0. Если а = (а1, а2, а3) в = (в1, в2, в3), то ав = а1·в1 + а2·в2 + +а3·в3. |
Векторное |
Векторным произведением двух векторов а и в называется третий вектор с, удовлетворяющий условиям: 1. с ┴ а, с ┴ в; 2. (а, в, с) – правая тройка векторов; 3. |с| = |а х в| = |а| |в|sinφ= S параллелограмма, построен-ного на векторах а и в |
а х в = [а, в] |
1. а х в = - (в х а) 2. (а + в) х с = а х с + в х с – 3. (α а) х в = α (а х в)
|
а х в = 0, |а х в| = |а| |в|sinφ = 0 <=> sinφ = 0,
=> а ║ в. |
i x i = j x j = k x k = 0.
ахв=
|
Смешанное |
Смешанным произведением векторов а, в, с называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение векторов в и с. |
(а, в, с) = а(вхс) = а[в,с] = авс. |
1. авс = вса = сав = -вас = -сав = -асв; 2. а (в + d) с = авс +аdс; 3. а (λв)с = ав(λс) = λ (авс) |
авс = 0 <=> векторы а, в, с – компланарны,
|
авс =
|авс| = Vпар-да, построенного на векторах а, в, с. |