- •Вопрос 1: Классические задачи, иллюстрирующие необходимость построения теории случайных процессов. Понятие случайного процесса.
- •Вопрос 2. Классификация случайных процессов. Процесс с независимыми приращениями. Мартингалы.
- •Вопрос 3. Классификация случайных процессов. Марковские процессы. Стационарные случайные процессы.
- •Вопрос 4. Классификация марковских случайных процессов.
- •Вопрос 5. Понятие дискретной цепи Маркова и ее вероятностных характеристик.
- •Вопрос 6. Вероятностная структура однородной цепи маркова (вывод формулы ).
- •Вопрос 7. Определение вероятности перехода цепи Маркова за m шагов.
- •Вопрос 8. Примеры цепей Маркова.
- •Вопрос 9. Классификация состояний цепи Маркова
- •Вопрос 10. Критерий возвратности. Применение критерия возвратности к одномерному случайному блужданию по целочисленной решетке.
- •Вопрос 11. Предельная теорема для конечных цепей Маркова
- •Вопрос 12. Понятие марковского процесса и основных его вероятностных характеристик.
- •Вопрос 13. Вывод дифференциальных уравнений Колмогорова. Составление уравнений Колмогорова с использованием графа состояний.
- •Вопрос 14. Эргодические свойства однородных марковских случайных процессов.
- •Вопрос 15. Определение предельных вероятностей состояний Марковского процесса для двух состояний.
- •Вопрос 16. Понятие пуассоновского процесса. Примеры.
- •Вопрос 17. Утверждение о распределении промежутков времени и моментов времени для пуассоновского распределения.
- •Вопрос 18. Понятие процесса чистого рождения. Теорема Феллера.
- •Вопрос 19. Процесс рождения и гибели.
- •Вопрос 20. Процессы массового обслуживания. Основные понятия и классификация смо.
- •Вопрос 21. Характеристики простейшого потока. Основные свойства простейшего потока. Время ожидания и время обслуживания.
- •Вопрос 22. Принципы построения моделей массового обслуживания.
- •Вопрос 23. Основные характеристики систем массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга.
- •Вопрос 24. Основные характеристики смо с ожиданием.
- •Вопрос 25. Понятие мартингала, субмартингала, супермартингала. Свойства мартингала, субмартингала, супермартингала.
- •Вопрос 26. Разложение Дуба.
- •Вопрос 27. Тождество Вальда. Доказательство тождества Вальда по Колмогорову-Прохорову.
- •Вопрос 28. Применение тождества Вальда для случайного блуждания.
- •Вопрос 29. Теорема Дуба о преобразовании свободного выбора.
- •Вопрос 30. Неравенство Дуба для максимального значения мартингала.
Вопрос 17. Утверждение о распределении промежутков времени и моментов времени для пуассоновского распределения.
Ответ:
Рассмотрим распределение промежутков между моментами событий в пуассоновском потоке с интенсивностью l>0. Пусть tк – случайная величина – длина интервала времени, в течение которого процесс изменяет свое состояние с «к-2» на «к»-ое
Утверждение 1. Если {x(t)} – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью l, то распределение промежутков времени tк между моментами его скачков независимы и имеют одно и то же показательное распределение с функцией распределения .
Утверждение 2. Если – однородный пуассоновский процесс с интенсивностью l, то распределение моментов времени имеет распределение Эрланга
Вопрос 18. Понятие процесса чистого рождения. Теорема Феллера.
Ответ:
Простейшим обобщением пуассоновского процесса является процесс чистого рождения, если допустить зависимость вероятности осуществления события в данный момент от числа событий, которые уже произошли. Определим процесс чистого рождения как марковский процесс X(t), t≥0, удовлетворяющий постулатам:
1) P{X(t+h) – X(t) = 1/X(t) = k} = λkh + 01(h), h0;
2) P{X(t+h) – X(t) = 0/X(t) = k} = 1 -λkh + 02(h), h0;
3) P{X(t+h) – X(t) <0/X(t) = k} = 0, k≥0;
4) X (0) = 0 – число рождений в момент t = 0.
Если h>0 и n≥1, то по формуле полной вероятности, марковскому свойству и постулату 3 имеем:
Pn(t + h) =
При k = 0, 1, 2, …, n – 2 имеем:
Таким образом,
Деля на h и проведя интегрирование, получим:
Теорема Феллера. Для того, чтобы при всех значениях t решения pk(t) уравнений чистого рождения удовлетворяли соотношению необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. (стр. 50-51)
Вопрос 19. Процесс рождения и гибели.
Ответ:
Одно из очевидных обобщений процессов чистого рождения состоит в том, чтобы позволить процессу {x(t)} как возрастать, так и убывать, например, из-за гибели членов популяции. Таким образом, если в момент времени t процесс находится в состоянии i , он может через некоторый случайный отрезок времени перейти в любое из соседних состояний i+1 или i-1. возникающие при этом «процессы гибели и рождения» могут рассматриваться как процессы с непрерывным временем, служащие аналогами случайных блужданий.
Мы предположим, что {x(t)} является марковским процессом с состояниями 0,1,2,… и что его вероятности перехода pij(t) стационарны. Кроме того, предположим, что pij(t) удовлетворяют постулатам:
pi,i+1(h)=lih+0(h), i³0
pi,ш-1(h)=mih+0(h), i³1
pi,i(h)=1-(li+mi)h+0(h), i³0
pii(0)=dij
m0=0, l0>0, mI,lI>0, i=1,2,…
Рассуждениями, подобными тем, которые были проведены выше, можно получить систему уравнений Колмогорова, управляющей процессом гибели и размножения.
(**)
Можно доказать, что при t®¥ пределы существуют, не зависят от начального состояния i и удовлетворяют уравнениям (**), где правая часть равна нулю, т.е.
Вопрос 20. Процессы массового обслуживания. Основные понятия и классификация смо.
Ответ:
При решении многих прикладных задач исследователи сталкиваются с процессами, для которых характерна общая структура: в определенную совокупность пунктов, называемую системой обслуживания, через некоторые промежутки времени поступают объекты – входной поток, которые подвергаются там операциям и затем покидают систему – выходной поток. На практике промежутки времени, через которые поступают объекты, время их обслуживания имеют случайный характер. Т.о. процесс является случайным.
Случайные процессы, соединяющие в себе, по крайней мере, три составляющие – входной поток, систему обслуживания, выходной поток, называются процессами массового обслуживания.
К процессам можно отнести: телефон, почту, транспорт, магазины и др.
Объекты, поступающие в систему обслуживания, называются заявками или требованиями.
Входной поток заявок рассматривают как последовательность случайных событий.
При массовом поступлении объектов в системе обслуживания могут возникнуть очереди. Заявки могут выполняться в порядке поступления; с приоритетом; в порядке первого очередного поступления при освободившемся канале обслуживания.
Очереди могут ограничиваться по длине, т.е. по числу находящихся в ней заявок, и по времени обслуживания.
Т.о., основными характеристиками очереди являются время ожидания и время обслуживания.
Система обслуживания состоит из определенного числа обслуживающих единиц, называемых каналами обслуживания, и могут иметь различную организацию:
-с последовательными каналами;
-с параллельными каналами;
-с комбинированными каналами.
При занятости всех каналов обслуживания, поступающие заявки могут получить отказ или становится в очередь.
Т.о., предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения эффективных путей управления этими процессами.
Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы СМО от входных показателей.
Классификация СМО опирается на важнейшее понятие в анализе СМО – понятие состояния системы:
- если i = 0,m, то занято i каналов и очереди нет – многоканальная система обслуживания без очереди;
- если i = m,m+1, то заняты m каналов, и в очереди находится (n-m) заявок;
- если n=m, то рассматривают систему обслуживания с отказами – формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется;
- если n = , то рассматривают систему обслуживания с ожиданием без ограничений на длину очереди – поступившая заявка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания.