2.6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ

Гидростатическое давление столба жидкости на глубине h

p =ρgh ,

где ρ – плотность жидкости.

Закон Архимеда

FA =ρgV ,

где FA – выталкивающая сила; V – объем вытесненной жидкости.

Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Sυ= const ,

где S – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжи-

маемой жидкости

ρυ22 +ρgh + p = const ,

где p – статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости для этого же сечения; ρυ22 – динамическое

давление жидкости для этого же сечения; h – высота, на которой расположено сечение; ρgh – гидростатическое давление. Для трубки тока, расположенной горизонтально,

ρυ22 + p = const .

Формула Торричелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,

υ= 2gh ,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

18

Сила внутреннего трения между слоями текущей жидкости

F =η ∆υ∆x S ,

где η – динамическая вязкость жидкости; ∆∆υx – градиент скорости; S – пло-

щадь соприкасающихся слоев.

Число Рейнольдса, определяющее характер движения жидкости,

Re =	ρ υ d	,
	η

где ρ – плотность жидкости; υ – средняя по сечению трубы скорость жидкости; d – характерный линейный размер, например, диаметр трубы.

Формула Cтокса, позволяющая определить силу сопротивления, действующую на медленно движущийся в вязкой среде шарик,

F = 6πηrυ,

где r – радиус шарика; υ – его скорость.

Формула Пуазейля, позволяющая определить объем жидкости, протекающий за время t через капиллярную трубку длиной l,

V = πR4 8∆ηptl ,

где R – радиус трубки; ∆p – разность давлений на концах трубки.

При движении твердых тел в жидкостях и газах лобовое сопротивление

R	=C		ρυ2	S ,
			2
x		x

где Cx – коэффициент сопротивления (безразмерный); ρ – плотность среды; υ– скоростьдвижениятела; S – площадьнаибольшегопоперечногосечениятела.

Подъемная сила

	Ry =Cy	ρυ2	S ,
		2

где Cy – коэффициент подъемной силы (безразмерный).

19

2.7. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ

Закон Бойля – Мариотта

рV = const при T = const, m = const,

где р – давление; V – объем; Т – термодинамическая температура; m – масса газа.

Закон Гей-Люссака
V =V (1+αt) , или V1		= T1	, при р = const, m = const.
0	V2	T2
Закон Шарля
p = p (1+ αt) , или	p1	= T1	, при V = const, m = const,
0	p2	T2

где t – температура по шкале Цельсия; V0 и р0 – соответственно объем и давление при 0 °С; коэффициент α = 1273 К–1; индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям.

Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов

n

p = ∑pi ,

i=1

где pi – парциальное давление i-гo компонента смеси.

Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона – Менделеева)

pVm = RT (для одного моля газа);

pV = mµ RT (для произвольной массы газа),

где Vm – молярный объем; R – молярная газовая постоянная; µ – молярная масса газа; m – масса газа; ν = m/µ – количество вещества.

20

Зависимостьдавлениягазаотконцентрацииn молекулитемпературы p = nkT ,

где k – постоянная Больцмана ( k = R , NA – постоянная Авогадро).

NA

Основноеуравнениемолекулярно-кинетическойтеорииидеальныхгазов

p =	1 nm		υ	2	, или pV = 2			N m0 υкв		2	= 2	E , или
	3	0		кв			3	2			3
			pV =		1 Nm υ		2	= 1 m υ	кв	2	,
					3	0	кв	3

где υкв – средняя квадратичная скорость молекул; Е – суммарная кине-

тическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n – концентрация молекул; m0 – масса одной молекулы; m = Nm0 – масса газа; N – число молекул в объеме газа V.

Скорость молекул:

наиболее вероятная

υ	=	2RT =		2kT ;
в		µ		m0
средняя квадратичная
υкв	=	3RT	=	3kT ;
		µ		m0
средняя арифметическая

υ = 8RT = 8kT , πµ πm0

где m0 – масса одной молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа

ε0 = 32 kT .

21

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям

f (υ)=	dN (υ)		m	3 2	2		−m	υ2 /(2kT )
		= 4π	0		υ	e	0		,
	Ndυ
			2πkT

где функция f(υ) распределения молекул по скоростям определяет относительное число молекул dN(υ)/N из общего числа N молекул, скорости которых лежат в интервале от υ до υ + dυ.

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения

f (ε)=

dN

(

ε

)

2

(kT )

−

3 2 1 2

e

−ε/(kT )

=

ε

,

Nd

ε

π

где функция f(ε) распределения молекул по энергиям теплового движения определяет относительное число молекул dN(ε)/N из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии ε = m0υ2/2, заключенные в интервале от ε до ε+dε.

Барометрическая формула

ph = p0e−µg(h−h0 )/(RT ),

где ph и р0 – давления газа соответственно на высоте h и h0. Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

n = n0e−µg(h−h0 )/(RT ) = n0e−m0 gh /(kT ), или n = n0e−П /(kT ),

где n и n0 – концентрации молекул соответственно на высоте h и h = 0; П = m0gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

Среднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с, z = 2πd 2n υ ,

где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; <υ> – средняя арифметическая скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега молекул газа

l =	υ	=	1	.
	z	2	π 2	n
			d

22